Ширина спектра

Теоретически ряд Фурье содержит бесконечное количество слагаемых, поэтому теоретически ширина спектра бесконечна. Поэтому для таких сигналов вводится понятие практической ширины спектра. Если полоса пропускания какого-либо устройства недостаточно широка, чтобы пропустить все гармоники, существенно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Ширина полосы пропускания устройства не должна быть уже ширины спектра сигнала.

Существуют несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала:

1. Можно отбрасывать все гармоники с амплитудами меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре. Тогда частота гармоник и определит ширину спектра сигнала (∆ω_С):

.

2. Энергетический критерий. Можно отбрасывать те гармоники, суммарная мощность которых меньше 10 % общей мощности сигнала. В этом случае ширину спектра также определяют оставшиеся в сигнале гармоники.

Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить закономерности, общие для всех сигналов:

чем круче фронт сигнала, чем короче импульсы,

чем больше пауза между импульсами, тем шире спектр сигнала, т. е. тем медленнее убывают амплитуды гармоник с ростом их номера.

Распределение мощности сигнала по гармоникам

Периодические сигналы характеризуются средней мощностью за период:

.

Если s – это напряжение или ток, то P – это мощность на сопротивлении 1 Ом.

Вместо s(t) можно подставить ряд Фурье:

,

,

где - мощность постоянной составляющей,

- мощность n-й гармоники.

Средняя мощность периодического сигнала равна сумме мощности постоянной составляющей P₀ и сумме средних мощностей каждой гармоники P_n.

,

где N – кол-во учитываемых (пропускаемых устройством) гармоник. Например, , если ∆P = 90 % от полной мощности сигнала.

Практическая ширина спектра при этом равна

,

где N – номер высшей учитываемой гармоники, т. е. практическая ширина спектра равна высшей учтенной гармонике.

Требуемые полосы пропускания для различных задач:

Где используется	Полоса пропускания
Телеграфный сигнал	0…100 Гц
Телефонный сигнал	300…3400 Гц
Звуковое вещание	50 Гц…10 кГц
Телевизионный сигнал	50 Гц…6 МГц

Спектральный анализ непериодических сигналов

Спектральный анализ непериодических сигналов – это описание и исследование свойств непериодических сигналов в частотной области. Спектральный анализ непериодических сигналов проводится на основе интегральных преобразований Фурье.

Прямое преобразование Фурье:

где - величина комплексная.

Прямое преобразование Фурье дает переход от временной модели сигнала к частотной модели

[].

Обратное преобразование Фурье:

Обратное преобразование Фурье восстанавливает сигнал по его частотной модели [].

Эта пара преобразований Фурье устанавливает взаимно-однозначное соответствие между двумя моделями сигнала – временной и частотной моделями:

_.

Функция - это “спектральная плотность”, или “спектральная функция”, или, просто, спектр непериодического сигнала s(t). Так как - непрерывная функция частоты, то спектр непериодического сигнала является непрерывным спектром (в отличие от дискретного спектра периодических сигналов).

в общем случае является комплексной функцией и может быть представлена в показательной форме:

Различают амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала.

Амплитудный спектр – это частотное распределение модуля спектральной плотности:

Фазовый спектр – это частотное распределение фаз (аргументов) спектральной плотности:

_.

Амплитудный спектр – это четная функция частоты, т. е. . Фазовый спектр – это нечетная функция частоты, т. е..

Пример спектральной диаграммы:

Амплитудный спектр

Фазовый спектр