Графический метод анализа

Рассмотрим применение графического метода на примере анализа процесса прохождения тока через диод. Решение начинают с построения характеристики нелинейного элемента в системе координат вход-выход. В данном случае этой характеристикой является ВАХ, входной величиной - напряжение на двухполюснике, а выходной величиной - ток через него. Теперь необходимо построить график входного процесса (здесь напряжения) как зависимость от времени и расположить оси координат согласованно с осью входных величин. При этом ось времени оказывается направленной вниз. Далее справа строят оси системы координат для получения графика выходного процесса. Ось выходной величины (в данном случае тока) располагается также согласованно по отношению к осям ВАХ. Выберем произвольный момент времени t₁ и отложим соответствующую ему точку на осях t входной и выходной величин. Спроецируем точку, соответствующую мгновенному значению входного напряжения, на график ВАХ и проведем горизонтальную прямую до пересечения с перпендикуляром к оси t в точку t₁ графика выходного процесса. Это будет первая точка, показывающая мгновенное значение выходного тока в момент времени t₁. Аналогично в другие моменты времени точки с графика входного процесса переносят в систему координат для выходного процесса. В результате получают весь график выходного тока.

Графоаналитический метод

Графический метод прост, но громоздок и не точен при получении количественных результатов. Для количественных оценок используют аппроксимацию графических выходных или передаточных характеристик аналитически заданными функциями. Такой метод называется графоаналитическим. Наиболее типична аппроксимация многочленами

.

Если известны коэффициенты аппроксимирующего многочлена для характеристики безынерционного нелинейного четырехполюсника, то выходной сигнал находят простой подстановкой:

.

Численные методы

Если для безынерционного нелинейного четырехполюсника нельзя или очень трудно задать графически выходную или передаточную характеристику, то графический и графоаналитический методы неприменимы. В этих случаях составляют полную систему уравнений цепи по законам Кирхгофа и Ома и находят ее численные методы.

Поясним этот подход на примере. Пусть задана резистивная цепь, схема которой приведена на рисунке:

Составим уравнение цепи:

_или

Это нелинейное уравнение, решить которое относительно U(t) можно для любого значения e(t) методом простых итераций, методом Ньютона или любым другим методом численного решения нелинейных уравнений.

7.2. Формирование и демодуляция радиосигналов. Преобразование частоты

Одним из важнейших свойств нелинейных цепей является преобразование спектра входных сигналов. Оно заключается в том, что при действии на входе цепи гармонического или импульсного сигнала, состоящего из суммы нескольких гармонических колебаний различных частот, реакция (т. е. ток или напряжение любой ветви) будет содержать не только гармоники воздействия, но и новые гармоники, которых нет во входном сигнале.

Такое преобразование спектра принципиально невозможно в линейных цепях с постоянными параметрами (RLC - цепях). Там токи и напряжения в любой ветви состоят только из гармоник, содержащихся во входном сигнале.

Пусть задана нелинейная резистивная цепь с передаточной (или выходной) характеристикой, заданной в виде степенного полинома. Пусть это, например, ВАХ в виде

.

Рассмотрим сначала действия на цепь гармонического сигнала:

.

Подставив второе выражение в первое, получаем

Из тригонометрии известно, что

Как видно, гармоническая функция степени n эквивалентна сумме функций кратных частот, причем четная степень содержит только четные гармоники, нечетная - только нечетные. Очевидно, что наибольшая частота гармоник, равная nw, определяется старшей степенью полинома характеристики цепи:

В общем виде можно записать:

На следующем рисунке изображен дискретный спектр входного и выходного сигналов для нелинейности общего вида (а), четной (б) и нечетной (в) функций i(U).

Рассмотрим теперь действие на цепь сигнала, состоящего из суммы двух гармонических функций с частотами w₁ и w₂:

.

Реакция цепи будет состоять из суммы степеней двучленов:

.

При n=2, 3 степени двучленов будут такими:

В отличие от воздействия одного сигнала при воздействии сигнала в виде суммы двух функций в отклике имеются еще и дополнительные слагаемые в виде произведения степеней (), гдеm=1,2,...,n. При этом все степени гармонических функций дают суммы гармоник кратных частот.

Произведения двух гармонических функций дают гармонические функции с частотами, равными разностям и суммам частот сомножителей. В качестве первого приближения можно записать:

Таким образом, в произведении степеней имеем в общем случае частоты w_mn=±m w₁±n w₂, m=1, 2, ..., n. Колебания с частотами w_mn называются комбинационными, а сумма - порядком комбинационного колебания.

Спектр сигнала на выходе безынерционного нелинейного четырехполюсника в случае действия на его входе суммы двух гармонических сигналов приведен на следующем рисунке.

Таким образом, в общем случае при действии суммы двух гармонических сигналов отклик цепи содержит колебания комбинационных частот

Появление в спектре выходного сигнала нелинейного элемента составляющих, которых не было во входном сигнале, широко используют в технике.

Важнейшими применениями этого явления являются умножение частоты, модуляция и детектирование (демодуляция). Во всех устройствах, в которых производятся эти преобразования, нелинейные элементы используются совместно с линейными цепями - фильтрами.