Умножение частоты

Умножение частоты осуществляют преобразования вида Acosw₀t Bcosnw₀t. Такие устройства представляют собой соединения нелинейных элементов и полосовых фильтров, настроенных в резонанс на частоту выделяемой гармоники. Они могут быть построены, например, на базе резонансного усилителя, работающего в режиме с отсечкой тока стока.

Пусть . Найдем сначала токi₀(t). Допустим, что нелинейная характеристика полевого транзистора описывается квадратичным полиномом

.

Тогда

Выберем E₀ так, чтобы в отсутствие входного переменного сигнала ток был равен нулю, т. е. чтобы

.

Тогда при действии переменного напряжения ток будет равен

.

Рассмотрим спектры входного сигнала e(t) и ток i₀(t), последний состоит из двух гармоник. Падение напряжения на контуре, как и на любом линейном двухполюснике, может быть рассчитано в частотной области:

Сопротивление параллельного RLC контура описывается соотношением

Зависимость при малых отклоненияхR/L, т. е. при большой добротности , имеет явно выраженный избирательный характер. Так, для частотыw₀ имеем На резонансной частотеw_p=2w₀ получаем

,

где - характеристическое сопротивление. Следовательно, спектр выходного сигнала будет содержать одну гармонику с частотой 2w₀:

.

Если требуется умножение частоты на 3, т. е. n=3, то необходимо иметь нелинейность I(U) не ниже многочлена 3-го порядка и настраивать RLC-контур на частоту 3w₀. Аналогично для умножения на n требуется порядок нелинейности не ниже n.

Амплитудная модуляция

Амплитудные модуляторы производят преобразования вида

Процесс амплитудной модуляции состоит в преобразовании

“медленного” сигнала S(t), называемого модулирующим, в быстро осциллирующий сигнал, амплитуда которого меняется по закону S(t):

.

Здесь Acosw₀t - функция, называемая несущим колебанием, m - коэффициент модуляции (m≤1), где ;S_max=max|S(t)|, где S(t) – информационная функция.

Например, если S(t) - модулирующий сигнал, то соответствующий ему АМ-сигнал имеет вид следующего графика.

Определим спектр амплитудно-модулированного колебания.

Пусть АМ-колебание описывается функцией V(t)=f(t)cosw₀t. На основании прямого преобразования Фурье спектр этой функции будет содержать 2 группы гармоник: суммарной и разностной частот

Поскольку по определению в выражении

есть спектр функции , то последняя формула означает, что при АМ-модуляции спектр НЧ - колебания переносится в область ВЧ - колебания и раздваивается.

В нашем случае

, где .

Спектр такой функции состоит из двух частей:

.

Следовательно, на основании предыдущей формулы спектр АМ-колебания будет иметь вид

.

На приведенном ниже рисунке изображены спектры модулирующего сигнала, несущего и АМ-колебания. Как видно, в результате модуляции спектр информационного сигнала переносится в область несущего колебания.

Процесс амплитудной модуляции является типичным преобразованием спектра сигнала S(t) и может быть осуществлен только в цепи с нелинейным элементом. Поскольку получение АМ-колебания требует двух сигналов - модулирующего S(t) и несущего Acosw₀t, на нелинейный элемент должна действовать сумма этих сигналов.

Включенный последовательно с нелинейным элементом линейный полосовой фильтр (ПФ), например колебательный контур, настроенный на несущую частоту w₀, выделяет полосу частот, соответствующую АМ-колебанию.

Проанализируем эту модель. Пусть ВАХ безынерционного нелинейного элемента описывается многочленом второй степени

Определим входной ток полосового фильтра:

Рассмотрим спектральный состав тока, полагая, что резонансная частота контура w₀ много больше максимальной частоты w_max в спектре S(t). НЧ - спектр S₁ обусловлен постоянной составляющей и членами сS(t) и S²(t), а спектры S₂ и S₃ образуются сигналами, пропорциональными cosw₀t и cos2w₀t соответственно. Если теперь принять, что полоса пропускания полосового фильтра сосредоточена вблизи w₀ (пунктир на графике), то он будет выделять колебание, пропорциональное cosw₀t, которое и представляет собой АМ-колебание.

Таким образом, АМ-колебания получаются путем нелинейного сложения сигнала модуляции S(t) и несущего колебания. В результате получается выходное напряжение следующего вида:

Практической схемой, осуществляющей процесс АМ-модуляции, является, например, следующая схема на полевом транзисторе с предварительным сложением модулирующего и несущего колебаний.

Напряжение между затвором и истоком U_ЗИ вычисляется по формуле, полученной на основании законов Кирхгофа в предположении, что :

.

Подбором значений сопротивлений R₁, R₂, R₃ и напряжения смещения Е_СМ осуществляется выбор рабочей точки на передаточной характеристике транзистора. Наилучшим считается такое положение рабочей точки, когда коэффициенты разложения ВАХ в окрестности этой точки обеспечивают максимальное значение коэффициента модуляции по первой гармонике выходного тока.

Модулированный сигнал получается как падение напряжения на колебательном контуре, параметры должны обеспечивать центральную частоту Сопротивление потерьR_П должно быть таким, чтобы добротность цепи была достаточно большой, чтобы полоса пропускания контура 2Δw << w₀ (несущей частоты). С другой стороны, спектр модулированного сигнала не должен искажаться, т. е. необходимо, чтобы W_m < Δw, где 2W_m - ширина спектра модулирующего колебания. Используя равенство 2Δw = w₀/Q, получаем неравенства для выбора параметров колебательного контура L, C, R_П:

.

Коэффициенты а₀, а₁, а₂, ..., определяющие вид нелинейной характеристики транзистора, зависят от выбора постоянного смещения на затворе, задаваемого сопротивлением R₁, R₂, R₃ E_cм. При изменении этого напряжения будет меняться амплитуда а₁АQ выходного напряжения V(t). Зависимость амплитуды первой гармоники тока на выходе нелинейного элемента (или падение напряжения на колебательном контуре на первой гармонике) от поданного напряжения смещения называют статической модуляционной характеристикой.

Величину E_ОПТ, оптимальную для рабочего модулятора, выбирают в середине линейного участка статической модуляционной характеристики. Амплитуда сигнала S_max не должна выходить за пределы линейного участка модуляционной характеристики. Статическая модуляционная характеристика – это не есть проходная ВАХ транзистора.