Гармонические колебания со случайной амплитудой

Пусть имеется случайный процесс

.

Будем считать, что передаваемое сообщение содержится в огибающей.

Пусть A(t) – стационарный, эргодический случайный процесс, (t) – детерминированный процесс.

Для каждого момента времени .

Плотность вероятности величины х при заданном времени t

, при этом считается, что А распределено равномерно от 0 до А_max.

и математическое ожидание и дисперсия зависят от времени, т. е. процесс нестационарный.

Гармонические колебания со случайной фазой

Фаза обычно распределена по равномерному закону: .

Имеется случайный процесс . Найдем закон распределения фазы:.

Вероятность того, что х пребывает в интервале dx, равна плотности распределения p_x на интервале dx

при , где

, .

Математическое ожидание

или .

Перемножим 2 значения в разные моменты времени:

.

Математическое ожидание от произведения:

, где .

Процесс x(t) является стационарным, так как корреляционная функция зависит только от разности времени t₁ и t₂, а не от самого времени.

Гармоническое колебание со случайной фазой является стационарным и эргодическим процессом. Гармонические колебания со случайной фазой и случайной амплитудой образуют стационарный, но не эргодический процесс.

При суммировании нескольких гармонических колебаний (5 –6) со случайной фазой мы получим стационарный случайный процесс, близкий к гауссовскому.

5.2. Нормирование случайных процессов в узкополосных линейных цепях

Пусть на входе линейной цепи действует стационарный случайный процесс с распределением, отличным от нормального. Если интервал корреляции этого процесса меньше постоянной времени линейной цепи (т. е. ширина энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение случайного процесса на выходе приближается к нормальному. Эффект нормализации тем выше, чем меньше полоса пропускания цепи.

Например. На высокодобротный контур подается случайный процесс, представляющий собой последовательность импульсов со случайным и ненормальным временем появления. На выходе получаем сигнал как сумму свободных колебаний, вызванных предыдущими импульсами и не успевших затухнуть к рассматриваемому моменту времени. Чем уже полоса пропускания цепи, тем большее число соизмеримых по величине и некоррелированных слагаемых принимает участие в образовании результирующего колебания в момент времени t₁. В соответствии с центральной предельной теоремой этого вполне достаточно для того, чтобы процесс приближался к нормальному.

В широкополосных линейных цепях при некоторых условиях происходит обратный процесс – денормализация, т. е. нормальный процесс на входе порождает случайный процесс на выходе, отличный от нормального.

Но такое отличие только в частности, в целом же, если рассматривать бесконечное число импульсов, то процесс остается нормальным.

Комплексный случайный процесс

Пусть есть случайный процесс x(t). Подберем ему сопряженный по Гильберту сигнал x₁(t):

.

Тогда комплексный случайный процесс

.

Пусть

,

тогда

.

Отсюда комплексный случайный процесс

Спектры сигналов x(t) и x₁(t) равны . Отсюда следует, что корреляционные функции одинаковы:

.

Дисперсии

.

Предположим, что соответствует, тогда,

где . То есть

.

Отсюда следует, что при >0

,

а при <0

.

Спектр комплексного случайного процесса отличен от 0 только на положительных частотах.

Выводы

1.	Для гармонического колебания со случайной амплитудойи математическое ожидание и дисперсия зависят от времени, т. е. процесс является нестационарным.
2.	Гармоническое колебание со случайной фазой является ста-ционарным и эргодическим процессом.
3.	Гармонические колебания со случайной фазой и случайной амплитудой образуют стационарный, но не эргодический про-цесс.
4.	При суммировании нескольких гармонических колебаний (5 –6) со случайной фазой получается стационарный случайный процесс, близкий к гауссовскому.
5.	Если интервал корреляции стационарного случайного процесса с распределением, отличным от нормального меньше постоянной времени линейной цепи (т. е. ширина энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то распределение случайного процесса на выходе приближается к нормальному. Эффект нормализации тем выше, чем меньше полоса пропускания цепи.
6.	Спектр комплексного случайного процесса отличен от 0 только на положительных частотах.