Анализ автоколебаний методом уравнений состояния
Уравнение, полученное для автоколебательной цепи, эквивалентно системе уравнений первого порядка:
Такое представление уравнений цепи соответствует уравнениям состояния.
В силу нелинейного характера функции I(U), найти решение этого уравнения аналитически нельзя. Для анализа процессов применяют численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений - численное моделирование.
Простейший подход состоит в приближенной замене производной от функции f(t):
Обозначим:
получим
Предположим, что известна начальная флуктуация iL(0)=i0; V(0)=0. Поскольку функция I(U) может быть вычислена для любых значений аргумента, подставляя в последнее уравнение, получаем
Теперь, подставив полученные значения снова в данное уравнение, найдем iL2, V2 и т. д. Этот метод приближенного решения носит название метода Эйлера.
Решение системы уравнений может быть представлено графически на плоскости состояния.
Рассмотрение процессов в автоколебательных цепях на плоскости состояния часто оказывается более наглядным, чем в другой форме.
Рассмотрим примеры, показывающие взаимосвязь характеристики и линии ОС с траекторией на плоскости состояния и осциллограммы процессов, полученных численным решением уравнений состояния.
1. Автоколебательная цепь в мягком режиме самовозбуждения с монотонным установлением амплитуды.
2. Мягкий режим самовозбуждения с немонотонным установлением амплитуды.
3. Жесткий режим с монотонным установлением колебаний.
RC - автогенераторы гармонических колебаний
Гармонические колебания можно получить в системах, не содержащих колебательного контура. Выделение колебания нужной частоты здесь основано на том, что условия самовозбуждения в ряде случаев могут выполняться только на одной частоте.
Рассмотрим
вариант такой системы, состоящий из
усилителя с коэффициентом передачи
и цепи обратной связи с коэффициентом
передачи β.
Чтобы
воспользоваться формулами баланса
амплитуд и баланса фаз, примем, что
,
и определим β. Для этого воспользуемся
методом контурных токов, в соответствии
с которым составим систему уравнений,
связывающих
Решая
эту систему относительно
,
находим:
Так
как
то
Так как фазовый сдвиг, вносимый усилителем, составляет π рад, то условие самовозбуждения будет выполнено, если
φос(ω)=arctg(Imβ/Reβ)=π.
Как следует из предыдущего выражения, последнее соотношение выполняется при условии
Откуда для частоты генерации находим:
Находим значение модуля передаточной функции:
.
Теперь находим коэффициент усиления усилителя, при котором возможна генерация:
Аналогичным образом анализируются и другие схемы RC - автогенераторов.
Выводы
|
1. |
Анализ колебательной системы сводится к анализу активной цепи с обратной связью. |
|
2. |
Активный элемент колебательной системы является нелинейным четырехполюсником, коэффициент передачи которого зависит от действующих в его цепях токов и напряжений, а цепь обратной связи – линейным четырехполюсником. |
|
3. |
Условие баланса амплитуд свидетельствует о том, что автоколебания в системе возможны, если активный элемент компенсирует все потери энергии в системе, включая нагрузку.Условие баланса фазтребует, чтобы при этом колебания на входе и выходе петли обратной связи были синфазными. |
|
4. |
Условием возникновения автоколебаний является положительность действительной части корней характеристического уравнения цепи.
|