Энергетический метод определения эффективной длительности сигнала

Эффективная длительность сигнала определяется как интервал времени, внутри которого сосредоточена заданная часть (например 90 %) полной энергии сигнала.

1.3. Спектральные характеристики сигналов

Для описания одного и того же сигнала в зависимости от решаемых задач могут быть использованы различные математические представления:

временное представление,

спектральное (частотное) представление.

Временное представление – это описание сигнала с помощью функций времени. Оно определяет свойство и параметры сигнала во временной области (форму, длительность сигнала, энергию, мощность).

Однако при практическом применении сигналов важно знать их свойства не только во временной, но и в частотной области. В этом случае при анализе и расчетах сигналы представляются своими частотными характеристиками, что облегчает решение многих практических задач обработки сигнала. Обычно частотные характеристики называют частотными спектрами, или спектрами, сигнала. Принято и другое название – спектральные характеристики. Спектральные характеристики сигналов изучают на специальных приборах – анализаторах спектра, например на С4-27.

Определение спектра сигнала составляет задачу спектрального анализа. В основе спектрального анализа лежит разложение сигнала на спектральные составляющие. Математические методы спектрального анализа различаются для периодических и непериодических сигналов.

Спектральный анализ периодических сигналов

Периодическим называется сигнал, значение которого повторяется через определенные интервалы времени, которые называют периодом сигнала и обычно обозначают буквой Т.

Простейшие периодические сигналы основаны на функциях косинуса или синуса.

,

где ω – круговая частота,

,

Одно из простейших гармонических колебаний – это сумма колебаний синуса и косинуса. В данном случае частота одинакова для обоих слагаемых.

Начало координат в данном случае может располагаться произвольно.

Сложим колебания:

На рисунке показан результат сложения двух сигналов: f₁ = 600 Гц, f₂ = 1000 Гц.

Сдвиг между фазами φ = 45°, одно деление (клеточка) = 1мс.

Фурье в 20 гг. XIX века доказал, что любой периодический сигнал можно представить в виде разложения на гармонические (составляющие) колебания

,

где Т – период,

,

.

Если сигнал описывается четной функцией времени (s(-t) = s(t)), то тогда все коэффициенты b_n равны нулю и можно записать, что

Если сигнал s(t) описывается нечетной функцией времени (s(-t) = - s(t)), то тогда все коэффициенты a_n равны нулю и можно записать, что

В общем случае, когда сигнал произвольный, используют другую, более удобную форму записи ряда Фурье:

Формулы для нахождения a_n и b_n остаются такие же:

Это представление называют спектральным, или частотным, представлением сигнала. Спектральное представление сигнала - это постоянная составляющая (А₀/2) и бесконечное число гармонических составляющих (гармонических сигналов). Число n определяет порядковый номер гармоники. Каждая гармоника характеризуется амплитудой A_n, частотой nω₁ и начальной фазой φ_n∙ Гармоника, соответствующая n = 1 – это первая (основная) гармоника. Она имеет частоту, равную частоте сигнала.

Совокупность всех амплитуд гармоник A_n определяет амплитудный спектр сигнала, а совокупность всех начальных фаз называется фазовым спектром сигнала.

Графическое изображение спектра называется спектральной диаграммой. Пример амплитудной спектральной диаграммы.

Пример фазовой спектральной диаграммы.

Графический спектр состоит из отдельных линий, и поэтому он называется линейчатым. Расстояния между гармониками равны основной частоте (чаще бывает так, что какая-либо гармоника равна нулю, и кажется, что расстояние между гармониками разное). На самом деле, это не так и гармонику, равную нулю, тоже необходимо считать (см. пример ниже). Спектр периодического сигнала называют также дискретным, поскольку гармоники определены на дискретных частотах ω₁, 2ω₁, 3ω₁…