Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

			Ak/2										Ak/2
			Àè/2
							q = 2												q = 4
-6 -5 -4			-2 -1 0 1 2				4 5 6 k		-12 -8				-4 0 4							8	12 k
		-3	à)				3					á)

Ðèñ. 5.4

Комплекснàÿ àмплитуäà k-é ãàрмоники рàâíà ñîãëàсно (5.8) после âîçâðàщения к исхоäной переменной t.

A =

2

T 2 f (

t

) e

− jkω1tdt =

2 tè 2

A e jkω1tdt =

k T −Tò 2

T

−tèò 2

è

(5.27)

2A

sin (kω 1 tè

2)

=

è

.

q

kω t

è

2

1

Ïîäñòàâèâ çíàчение Ak â óðàâнение (5.6), получим рàзложение â ðÿä Фурье:

	1	∞		A	∞	sin (kω1tè	2)
f ( t ) =		å Ake jkω1t	=	è	å			e jkω1t. (5.28)
				q		kω1tè 2
	2 k=−∞				k=−∞

Íà рис. 5.4 изобрàжен спектр комплексных àмплитуä äëÿ q = 2 è q = 4. Êàê âèäно из рисункà, спектр послеäîâàтельности прямо- уãольных импульсоâ ïðåäñòàâляет собой äискретный спектр с оãè- áàющей (штрихоâàя линия нà рис. 5.4), которàя описыâàется функцией

f ( x ) = sin ( x ) x, ãäå x = kπ q,

(5.29)

носящей нàçâàние функции отсчетоâ (ñì. ãл. 19). Число спектрàльных линий межäó íà÷àлом отсчетà ïî îñè ÷àñòîò è ïåðâым нулем оãèáàþùåé ðàâíî q 1. Постояннàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèãíàëà (ñðåä- íåå çíàчение) a0 2 = Aè q , à äåéñòâующее знàчение A = Aè q , т. е. чем больше скâàжность, тем меньше уроâень постоянной состàâляющей и äåéñòâующее знàчение сиãíàëà. Ñ óâеличением скâàжности q число äискретных состàâляющих уâеличиâàется спектр стàíîâèòñÿ ãóùå (ñì. ðèñ. 5.4, á), è àмплитуäà ãàрмоник убыâàåò ìåäленнее. Слеäóåò ïîäчеркнуть, что â ñîîòâåòñòâии с (5.27) спектр рàññìàòðèâàемой послеäîâàтельности прямоуãольных импульсоâ âещестâенный.

Из спектрà комплексных àмплитуä (5.27) можно âûäелить àм- плитуäíûé Ak = | Ak | è ôàçîâый спектр ϕk = arg Ak , изобрàженный нà ðèñ. 5.5 äëÿ ñëó÷àÿ q = 4. Из рисункоâ âèäíî, ÷òî àмплитуäный спектр яâляется четной, à ôàçîâый нечетной функцией чàстоты. Причем, фàçû îòäельных ãàрмоник принимàþò ëèáî íóëåâîå çíà-

151

Ak/2

ϕk

Àè/2

π

-8

-4 -3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k

-8

-4 -3 -2-1 0 1 2 3 4

8 k

à)

á)

Ðèñ. 5.5

чение межäó óçëàìè, ãäе синус положительный, либо ±p, ãäе синус отрицàтельный (рис. 5.5, á)

Íà îñíîâàнии формулы (5.28) получим триãонометрическую форму рàзложения â ðÿä Фурье по четным ãàрмоникàì (ñðàâíè ñ (5.15)):

A

4A

æ cos w

t

cos 3w

t

cos 5w

t

ö

f (t ) =

è

+

è

ç

1

-

1

+

1

- K÷

. (5.30)

p

1

3

5

q

è

ø

Ïðè ñäâèãе импульсной послеäîâàтельности по оси âремени (рис. 5.2, á) â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.13) åå àмплитуäный спектр остà- нется прежним, à ôàçîâый спектр изменится:

A

4A

æ sin w

t

sin 3w

t

sin 5w

t

ö

f (t ) =

è

+

è

ç

1

+

1

+

1

+ K÷.

(5.31)

p

q

è

1

3

5

ø

 ñëó÷àå, êîãäà периоäическàя послеäîâàтельность имеет рàзнополярную форму (см. рис. 5.1), â спектре буäет отсутстâîâàть постояннàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ (ñðàâíèòå (5.30) è (5.31) ñ (5.14) è (5.15)).

Àíàëîãичным обрàзом можно исслеäîâàть спектрàльный состàâ периоäических неãàрмонических сиãíàëîâ äðóãой формы. В тàáë. 5.1 ïðèâåäåíî ðàзложение â ðÿä Фурье некоторых нàиболее рàспрострàненных сиãíàëîâ.

5.4. Расчет цепей при периодических негармонических воздействиях

 îñíîâå ðàñ÷åòà линейных электрических цепей, нàõîäящихся поä âîçäåéñòâием периоäических неãàрмонических сиãíàëîâ, лежит принцип нàложения (см. § 1.6). Еãо суть применительно к неãàр- моническим âîçäåéñòâèÿì çàêëþ÷àåòñÿ â ðàзложении неãàр- моническоãо периоäическоãî ñèãíàëà â îäíó èç ôîðì ðÿäà Фурье (см. § 5.1) и опреäелении реàêöèè öåïè îò êàæäîé ãàрмоники â îò- äельности. Результирующàÿ ðåàêöèÿ íàõîäится путем суперпозиции (нàложения) полученных чàстичных реàêöèé. Òàêèì îáðà- çîì, ðàсчет цепей при периоäических неãàрмонических âîçäåéñò- âèÿõ âêëþ÷àåò â ñåáÿ çàäà÷ó àíàëèçà спектрàëüíîãî ñîñòàâà ñèã- íàëà (ðàзложение еãî â ðÿä Фурье), рàñ÷åò öåïè îò êàæäîé ãàð-

152

Òàáëèöà 5.1

Òèïû ñèãíàëà

Ðàзложение â ðÿä Фурье

1

f(t)

Aè

tè

4A

∞

1

kw 1t

f (t ) =

è

kå=1 k

sin

cos kw

1

t

p

2

T

t

2

Aè

é

1

1

∞

1 sin kw 1t

ù

-

f (t ) = Aè ê

å

ú

ë

2

p k=1 k

û

0

T

2T

t

3

f(t)

Aè

é (t

+ t

)

2T

∞

1

f (t ) = Aè

ê

1

T

2

+

p

2

å

2

´

ë

(t2 - t1 ) k=1 k

t2 t1

0 t1

t2

t

´ sin k

p (t + t

)

sin k

p (t

- t

)

cos kw

ù

1

2

2

1

1t ú

T

T

T

û

4

f(t)

Aè

p

T

∞

sin

2

k

0

T

/2

T

t

f (t ) = 8pA2è å

k2

2 cos kw 1t

/

3/4T

k=1

4

-Aè

5

f(t)

Aè

2A

é

∞

cos (2kw 1t + p )

ù

f (t ) =

è

ê1 + 2å

4k

2

- 1

ú

-T -T/2

T/2 T

t

p

ë

k=1

û

f(t)

é

∞

6

Aè

f (t ) =

Aè ê tè

+

42T å´

ë

2T

p

tè k=1

sin

2

k

ptè

ù

-tè/2 0

tè/2

t

2T cos kw 1t

ú

´

k2

ú

T

û

монической состàâляющей и зàäàчу синтезà, â результàте котороãî îïðåäеляется результирующий âûõîäíîé ñèãíàë êàк функция âремени (чàстоты) или еãî äåéñòâующее (àмплитуäíîå çíàчение).

При решении зàäà÷è àíàëèçà обычно пользуются триãонометрической (5.3) или комплексной (5.6) формой ряäà Фурье с оãðà- ниченным числом членоâ ðàзложения, что приâîäит к некоторой поãрешности àппроксимàции истинноãî ñèãíàëà. Коэффициенты рàзложения ak è bk â (5.3) èëè Ak è ϕk â (5.6) îïðåäеляются с по-

153

мощью урàâнений (5.4), (5.7) и (5.8). При этом âõîäíîé ñèãíàë f(α) äолжен быть зàäàí àíàлитически. В случàå, åñëè ñèãíàë çàäà- åòñÿ ãðàфически, нàпример â âèäе осциллоãðàììû, òî äëÿ íàõîæ- äения коэффициентоâ ðàзложения ak è bk можно использоâàòü ãðàôîàíàлитический метоä (ñì. (5.16)).

Ðàñ÷åò öåïè îò îòäельных ãàрмоник âåäется обычно симâоли- ческим метоäîì (ñì. ãл. 3). При этом необхоäимо иметь â âèäó, ÷òî íà k-é ãàрмонике инäóêòèâное сопротиâление XL(k) = kωL, à емкостное сопротиâление XC(k) = 1/(kωÑ), ò. å. íà k-é ãàрмонике инäóêòèâное сопротиâление â k ðàз больше, à емкостное â k ðàз меньше, чем нà ïåðâîé ãàрмонике. Этим â ÷àстности объясняется то обстоятельстâî, ÷òî âысокие ãàрмоники â емкости âûðàжены сильнее, à â èíäóêòèâности слàáåå, ÷åì â приложенном к ним нà- пряжении. Актиâное сопротиâление R íà низких и среäíèõ ÷àñòî- òàх можно считàòü íå çàâисящим от чàстоты.

После опреäеления искомых токоâ è íàпряжений от отäельных ãàрмоник метоäîì íàложения нàõîäят результирующую реàêöèþ öåïè íà íåãàрмоническое периоäическое âîçäåéñòâèå. Ïðè ýòîì ëèáî îïðåäеляют мãíîâенное знàчение результирующеãî ñèãíàëà íà îñíîâàíèè ðàñ÷åòà àмплитуä è ôàç îòäельных ãàрмоник, либо еãî àм- плитуäíûå èëè äåéñòâующие знàчения соãëàñíî óðàâнениям (5.18), (5.19). При опреäелении результирующей реàкции необхоäимо помнить, что â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâлением периоäических неãàрмонических колебàíèé íà комплексной плоскости (см. § 3.2) âекторы рàзличных ãàрмоник âðàùàþòñÿ ñ ðàзличной уãëîâîé ÷àстотой.

Пример. К цепи, изобрàженной нà рис. 5.6, приложено нàпряжение u(t) â форме прямоуãольных импульсоâ с периоäîì ïîâторения T = 2tè è àмплиту- äîé Aè = 1 (ñì. ðèñ. 5.3, á). Îïðåäелить мãíîâенное и äåéñòâующее знà÷å- íèÿ íàпряжения нà емкости.

Ðàзложение äàííîãî íàпряжения â ðÿä Фурье опреäеляется по формуле (5.31). Оãðàничимся перâыми тремя членàìè ðàзложения (5.31):

	u ( t ) =	1	+	4 sin ω 1t	+	4sin 3ω 1t	.
		2		π		3π

Òàêèì îáðàзом, приложенное нàпряжение соäержит постоянную состàâляющую U0 = 1/2, ïåðâóþ U1 = 4/π и третью U3 = 4/(3π) ãàрмоники с нулеâû- ìè íà÷àльными фàçàìè. Íàéäåì íàпряжение нà емкости от постоянной состàâляющей приложенноãî íàпряжения U0:

	UC( 0 ) = I2( 0 )R2	=	U0		R2 .
			R1	+ R2

Комплексное äåéñòâующее нàпряжение от перâîé ãàрмоники

	1				= I2(1) ( R2 + jω1L).
		U	C (1) = I3 (1)
				jω C
	1

Òîêè I2 (1) èëè I3 (1) можно нàйти по формуле рàзбросà (ñì.§ 2.2). Íàпример, äëÿ I3 (1) имеем:

154

R1

i1

i

i1

i2

u(t)

R2

uC

u(t)

L1

C2

C

L

C1

i3

i2

Ðèñ. 5.6					Ðèñ. 5.7
I3 (1) = I1(1)					R2 + jω 1L			,
					R2 + j (ω 1L − 1 ω 1C )
ãäå						U
I1			=				(1)		.
	1
		)			( R2 + jω 1L) ( jω 1C )
	(			R +
					R2 + j (ω 1L − 1 ω 1C )
			1

Àíàëîãичным обрàçîì íàõîäèòñÿ íàпряжение нà емкости от 3-й ãàрмоники;

			UC ( 3 ) = I3 ( 3 ) ( j3ω 1C ),
ãäå						R2 + j3ω 1L
I3 ( 3 ) = I1( 3 )										;
						R2 + j (3ω 1L − 1 3ω 1C )
I1			=				U	( 3 )			.
	3
		)			( R2 + j3ω 1L) ( j3				ω 1C )
	(			R +
						R2 + j (3ω 1L − 1 3			ω 1C )
			1

После нàõîæäения комплексных äåéñòâующих знàчений нàпряжений нà

емкости отäельных ãàрмоник и âûäеления â íèõ ìîäóëåé UC (1), UC (3) è ôàç ϕC1 = arg UC (1), ϕC3 = arg UC (3) çàïèñûâàåò ìãíîâенное знàчение нàпряжения нà емкости â форме суммы (ряäà):

uC (t ) = UC( 0 ) + UC(1) sin (ω 1t + ϕC1 ) + UC( 3 ) sin (3ω 1t + ϕC3 ) .

Дейстâующее знàчение нàпряжения опреäеляем соãëàñíî (5.19)

UC = UC2( 0 ) + UC2(1) + UC2( 3 ) .

Ïðè àíàлизе резонàнсных яâлений â электрических цепях при периоäических несинусоиäàльных âîçäåéñòâèÿõ ñëåäует иметь â âèäу, что резонàíñ íàпряжений и токоâ может äîñòèãàòüñÿ íà ðàç- íûõ ãàрмоникàõ. Ïðè ýòîì, êàê è ðàнее, резонàíñîì íà k-é ãàр- монике нàçûâàåòñÿ òàкое состояние электрической цепи, состоящей из рàçíîõàðàктерных реàêòèâных элементоâ, при котором фàçîâûé ñäâèã ìåæäó âõîäным током и приложенным нàпряжением k-x ãàрмоник рàâåí íóëþ. ßâление резонàíñà может быть использоâàíî äëÿ âûäеления отäельных ãàрмоник из периоäическоãо несинусои-

155

äàëüíîãî ñèãíàëà. Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что â цепи может оäíî- âременно быть äîñòèãнут резонàíñ òîêîâ íà îäíîé ÷àстоте и резо- нàíñ íàпряжений нà äðóãîé.

Пример. Для цепи, изобрàженной нà ðèñ. 5.7, ïðè çàäàííîé w1, L1 íàéòè çíàчение C1 è C2, при которых оäíîâременно âозникàет резонàíñ íàпряжений нà 1-й и резонàíñ òîêîâ íà 5-é ãàрмонике. Из услоâия резонàíñà íàпряжений нàõîäèì, ÷òî âõîäíîå ðåàêòèâное сопротиâление цепи нà ïåðâîé ãàрмонике äолжно рàâняться нулю:

	X ( jw 1 ) =	(w 1L1 - 1 w 1C1 ) ×1 w 1C2	= 0,	(5.32)
		j (w 1L1 - 1 w 1C1 - 1 w 1C2 )

à íà пятой бесконечности (âõîäíàÿ ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäимость нà пятой ãàр- монике äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ):

	X ( j5w 1 ) =	(5w 1L1 - 1 5w 1C1 ) ×1 5w 1C2	= ¥.	(5.33)
		j (5w 1L1 - 1 5w 1C1 - 1 5w 1C2 )

Èç óñëîâèé (5.32) è (5.33) íàõîäим искомое знàчение емкостей:

C1 = 1(w21L1 ); C2 = 1(24w21L1 ).

Вопросы и задания для самопроверки

1.Êàêîâà ìàòåìàтическàÿ ìîäель спектрà периоäическоãо несинусоиäàëüíîãî ñèãíàëà?

2.Êàêîé âèä имеет спектр периоäическоãî íåãàрмоническоãî ñèã- íàëà?

3.Êàк изменяется спектр периоäическоãî íåãàрмоническоãî ñèãíà- ëà ïðè ñäâèãå íà÷àëà отсчетà çàäàнной функции?

4.Êàê îïðåäелить спектр периоäической функции, зàäàííîé ãðà- фически?

5.Êàê îïðåäеляется среäíÿÿ çà периоä àêòèâíàя мощность перио- äическоãî íåãàрмоническоãî ñèãíàëà?

6.Êàê îïðåäеляется и что хàðàктеризует мощность искàжений?

7.Êàê ðàссчитыâàется спектр комплексных àмплитуä послеäîâà- тельности прямоуãольных импульсоâ?

8.Êàê âлияет скâàжность импульсоâ íà спектр сиãíàëà?

9.Ðàссчитàть и построить спектр àмплитуä послеäîâàтельности

прямоуãольных импульсоâ ñ ïàðàìåòðàìè: Um = 3Â, f = 0,5 êÃö äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ (q = 2, q = 5).

Îòâåò: 1) q = 2;

U0 = 3 Â; Um1 = 1,9 Â; Um2 = 0; Um3 = 0,64 Â; Um4 = 0; Um5 = 0,38 Â; Um6 = 0.

156

2)q = 5;

U0 = 1,2 Â; Um1 = 1,1 Â; Um2 = 0,91 Â; Um3 = 0,6 Â; Um4 = 0,28 Â; Um5 = 0;

Um6 = 0,19 Â; Um7 = 0,25 Â; Um8 = 0,23 Â; Um9 = 0,12 Â; Um10 = 0.

10.Êàêîâ àëãоритм рàñ÷åòà линейных электрических цепей, нàõî- äящихся поä âîçäåéñòâием периоäических неãàрмонических си- ãíàëîâ?

11. Íà âõîä

цепи, изобрàженной

íà

i1

R1

ðèñ. 5.8,

поступàет периоäический

íåãàрмонический сиãíàë u(t) = U0 +

R2

+ Um1 sin w1t + Um3 sin(3w1t +

j3);

u(t)

R3

C

U0 = 30 Â; Um1 = 100 Â; Um3 = 40 Â;

L

i4

i3

j3 = 20°. Ïàðàметры элементоâ öåïè

i2

íà îñíîâíîé ÷àстоте изâестны: w1L =

= 12 Îì; 1/(w1Ñ) = 30 Îì; R1 = 6

Îì;

Ðèñ. 5.8

R2 = 5 Îì; R3 = 20 Îì. Ðàссчитàòü:

1) òîê â íåðàçâåòâленной чàсти схемы и зàïèñàòü åãî ìãíîâенное знàчение; 2) äåéñòâующие знàчения âñåõ òîêîâ; 3) àêòèâ- ную мощность, потребляемую цепью.

Îòâåò: 1) i1(t) = 3 + 5,88sin(w1t 16°30¢) +

+2,6sin(3w1t + 55°), A.

2)I1 = 5,45 À; I2 = 4,4 À; I3 = 2,64 À; I4 = 2,57 À.

3)P = 415 Âò.

12.Резонàнсные яâления â линейных электрических цепях при не- ãàрмонических периоäических âîçäåéñòâèÿõ.

13.Для цепи изобрàженной нà ðèñ. 5.7, íàéòè çíàчения Ñ1 è Ñ2, при которых оäíîâременно âозникàет резонàíñ íàпряжений нà

1-îé ãàрмонике и резонàíñ òîêîâ íà 5-îé ãàрмонике, если зàäàíû L1 = 10 ìÃí; w1 = 5 ×103 ðàä/ñ.

Îòâåò: Ñ1 = 4 ìêÔ; Ñ2 = 0,167 ìêÔ.

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА

6.1. Переходный режим электрических цепей. Законы коммутации

 ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ðàññìàòðèâàлись процессы â электриче- ских цепях и метоäû èõ ðàñ÷åòà â óñòàíîâèâшемся режиме, т. е. â режиме, при котором нàпряжения и токи â цепях либо не зàâèñÿò

157

îò âремени, либо яâляются периоäическими функциями âремени â çàâисимости от âèäà приложенноãî âîçäåéñòâèÿ. Óñòàíîâèâшийся режим â öåïè äîñòèãàется обычно через опреäеленный промежуток âремени после нà÷àëà âîçäåéñòâия, поэтому рàссмотренные рàíåå ìåòîäû àíàëèçà íå îõâàòûâàþò òàê íàçûâàемый перехоäный режим от нà÷àëà âîçäåéñòâèÿ äî óñòàíîâèâøåãося состояния цепи. Перехоäной режим рàботы цепи обуслоâëåí íàличием â íåé ðåàêòèâных элементоâ (èíäóêòèâности, емкости), â которых нàêàïëèâàåòñÿ ýíåðãèÿ ìàãнитноãо и электрическоãо полей. При рàзличноãî ðîäà âîçäåéñòâèÿõ (ïîäключении к цепи или исключении источникоâ электрической энерãии, изменении пàðàметроâ цепи) изменяется энерãетический режим рàботы цепи, причем эти изменения не мо- ãут осущестâляться мãíîâåííî â силу непрерыâности изменения энерãии электрическоãî è ìàãнитноãо полей (принцип непрерыâности), ÷òî è ïðèâîäèò ê âозникноâению перехоäных процессоâ. Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что перехоäные процессы âî ìíîãих устройстâàх и системàõ ñâÿçè ÿâляются состàâíîé «íîðìàльной» чàстью режимà èõ ðàáîòû.  òî æå âðåìÿ â ðÿäå ñëó÷àåâ перехоäные процессы моãóò ïðèâîäèòü ê òàким нежелàтельным яâлениям, кàê âозникноâåíèå ñâерхтокоâ и перенàпряжений. Все это опреäеляет âàжность рàссмотрения метоäîâ àíàëèçà перехоäных процессоâ â электрических цепях.

 îñíîâå ìåòîäîâ ðàñ÷åòà перехоäных процессоâ ëåæàò çàконы коммутàöèè. Коммутàöèåé принято нàçûâàть любое изменение пàðàметроâ цепи, ее конфиãóðàöèè, ïîäключение или отключение источникоâ, ïðèâîäÿùåå ê âозникноâению перехоäных процессоâ. Коммутàöèþ áóäåì ñ÷èòàòü ìãíîâенной, оäíàко перехоäный процесс, кàк было отмечено âûøå, áóäет протекàòü îïðåäеленное âремя. Теоретически äëÿ çàâершения перехоäíîãо процессà требуется бесконечно большое âðåìÿ, íî íà ïðàктике еãо принимàют конеч- ным, зàâисящим от пàðàметроâ öåïè. Áóäåì ñ÷èòàть, что комму- тàция осущестâляется с помощью иäåàëüíîãî êëþ÷à Ê (рис. 6.1), сопротиâление котороãî â ðàзомкнутом состоянии бесконечно âå- ëèêî, à â çàмкнутом рàâíî íóëþ. Íàïðàâление зàìûêàíèÿ èëè ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à áóäåì ïîêàçûâàть стрелкой. Буäåì òàêæå ñ÷è- òàòü, åñëè íå îãîâорено иное, что коммутàция осущестâляется â момент t = 0.

Ðàçëè÷àþò ïåðâûé è âторой зàконы коммутàöèè. Ïåðâûé çàкон коммутàöèè ñâÿçàн с непрерыâностью изменения мàãнитноãî ïîëÿ êàтушки инäóêòèâности WL = Li2/2 è ãëàñèò: â íà÷àльный момент t = 0+ непосреäñòâенно после коммутàöèè òîê â èíäóêòèâности имеет то же знàчение, ÷òî è â момент t = 0 äо коммутàöèè è ñ ýòîãо моментà ïëàâно изменяется

Çäåñü è äàëåå ïîä f (0 ) понимàåòñÿ ëåâосторонний преäел функции f (t) ïðè t → 0 , à ïîä f (0+) ïðàâосторонний преäåë f (t) ïðè t → 0+.

158

iL ( 0− ) = iL ( 0+ ).

(6.1)

Второй зàкон коммутàöèè ñâÿçàн с непрерыâностью изменения электрическоãо поля емкости WC = Cu2/2; â íà÷àльный момент t = 0+ непосреäñòâенно после коммутàöèè íàпряжение нà емкости имеет то же знàчение, ÷òî è â момент: t = 0 äо коммутàöèè è ñ ýòîãо моментà ïëàâно изменяется:

uC ( 0− ) = uC ( 0+ ).

(6.2)

В отличие от токà â èíäóêòèâности iL è íàпряжения нà емкости uC íàпряжение нà èíäóêòèâности uL è òîê â емкости iC ìîãут изменяться скà÷êîì, òàê êàê ñîãëàñíî (1.9) è (1.12) îíè ÿâляются произâîäíûìè îò iL è uC и с ними непосреäñòâåííî íå ñâÿçàíà ýíåðãèÿ ìàãнитноãо и электрическоãо полей. Знàчения токоâ â èí- äóêòèâности iL(0+) è íàпряжений нà емкостях uC(0+) îáðàçóþò íà- ÷àльные услоâèÿ çàäà÷è.  çàâисимости от нà÷àëüíîãî ýíåðãе- тическоãо состояния цепи рàçëè÷àþò äâà òèïà çàäà÷ ðàñ÷åòà перехоäных процессоâ: çàäà÷è ñ íóëåâûìè íà÷àльными услоâèÿìè, êîãäà непосреäñòâенно после коммутàöèè (ïðè t = 0+) iL(0+) = 0;

uC(0+) = 0 (ò. å. WL(0+) + WC (0+) = 0) è çàäàчи с ненулеâûìè íà÷àльными услоâèÿìè, êîãäà iL(0+) ¹ 0 è (èëè) uC (0+) ¹ 0 (ò. å.

WL(0+) + WC (0+) ¹ 0). Íóëåâые и ненулеâûå çíàчения нà÷àльных услоâèé äëÿ iL è uC íàçûâàþòñÿ íåçàâисимыми, à íà÷àльные услоâèÿ îñòàльных токоâ è íàпряжений зàâисимыми. Íåçàâисимые нà÷àльные услоâèÿ îïðåäеляются с помощью зàêîíîâ коммутàöèè (6.1) è (6.2).

6.2.Классический метод расчета переходных процессов

Âîñíîâå êëàссическоãî ìåòîäà ðàñ÷åòà перехоäных процессоâ â электрических цепях лежит состàâление интеãðàëüíî-äифферен- циàльных урàâнений äëÿ ìãíîâенных знàчений токоâ è íàпряжений. Эти урàâнения состàâляются нà îñíîâå çàêîíîâ Êèðõãîôà, ìåòîäîâ контурных токоâ, óçëîâûõ íàпряжений и моãóò ñîäåðæàòü êàê íåçàâисимые, тàê è çàâисимые переменные. Для уäîáñòâà решения обычно принято состàâëÿòü äифференциàльные урàâнения относительно незàâисимой переменной, â êà÷åñòâе которой может

служить iL èëè uC . Решение полученных äифференциàльных урàâнений относительно âûáðàнной переменной и состàâляет сущность клàссическоãî ìåòîäà.

Учитыâàÿ, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ решение äифференциàльных урàâнений проще интеãðàëüíî-äифференциàльных, полученную систему сâîäÿò ê îäíîìó äифференциàльному урàâнению соотâåòñò- âóþùåãî ïîðÿäêà относительно âûáðàííîé íåçàâисимой переменной iL èëè uC . Ïîðÿäîê äифференциàëüíîãî óðàâнения опреäåëÿ-

159

ется числом незàâисимых нàкопителей энерãии электрическоãî è ìàãнитноãо полей.

Обознà÷èì íåçàâисимую переменную (iL èëè uC ) через x = x(t). Дифференциàльное урàâнение m-ão ïîðÿäêà, описыâàющее перехоäный процесс â электрической цепи, нàõîäящейся поä âîçäåé-

ñòâием источникà w(t), описыâàåòñÿ óðàâнением:

	bm	dmx	+ bm−1	dm−1x	+ K + b1	dx	+ b0x = w ( t ),	(6.3)
		dtm		dtm−1		dt

ãäå b0, b1, ..., bm 1, bò коэффициенты пàðàметроâ öåïè; w(t) функция, описыâàþùàÿ õàðàêòåð âîçäåéñòâèÿ íà öåïü.

Öåïü, ïàðàметры которой b0, b1, ..., bm 1, bò неизменны, нà- çûâàþò цепью с постоянными пàðàìåòðàìè. Åñëè æå êàкой-либо из коэффициентоâ b0, b1, ..., bm 1, bò переменен, то цепь нàçû- âàþò ïàðàметрической. Â äàльнейшем буäåì ðàññìàòðèâàть цепи с постоянными пàðàìåòðàìè.

Дифференциàльное урàâнение (6.3) относится к линейным не- оäíîðîäíûì óðàâнениям ò-ãî ïîðÿäêà. Êàê èçâестно, еãо решение нàõîäèòñÿ êàê ñóììà îáùåãо решения xñâ îäíîðîäíîãî äифферен-

öèàëüíîãî óðàâнения m-ãî ïîðÿäêà:
bm	dmx	ñâ + bm−1	dm−1x	ñâ + K + b1	dx	ñâ	+ b0xñâ = 0	(6.4)
	dtm		dtm−1		dt
è ÷àñòíîãо решения xïð óðàâнения (6.3):
			x = xïð + xñâ ,					(6.5)

ãäå xñâ è xïð общее и чàстное решения. Общее решение xñâ îïðåäеляет сâîáîäные процессы, которые протекàþò â öåïè áåç ó÷à-

стия источникà w(t) (îòñþäà èíäåêñ «ñâ»). ×àстное решение xïð îïðåäеляет принуäительный процесс (отсюäà èíäекс «пр»), который протекàåò â öåïè ïîä âлиянием w(t). В теории цепей xïð обычно нàõîäÿò îäíèì èç ðàíåå ðàссмотренных метоäîâ ðàñ÷åòà цепей â óñòàíîâèâшемся режиме.

Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàя перехоäíîãо процессà xñâ áóäåò çà- âисеть от хàðàêòåðà корней хàðàктеристическоãî óðàâнения:

bmpm + bm−1pm−1 + K + b1p + b0 = 0.

(6.6)

 ñëó÷àå, êîãäà корни p1, p2, ..., ðò õàðàктеристическоãî óðàâ- нения (6.6) âещестâенные и рàзличные, решение (6.4) имеет âèä

xñâ = A1ep1t + A2ep2t + K + Amepmt.

(6.7)

ãäå A1, A2, ..., Aò постоянные интеãðèðîâàния, которые нàõî- äÿòñÿ èç íà÷àльных услоâèé.

Âñëó÷àå, êîãäà корни урàâнения (6.6) âещестâенные и рàâíûå,

ò.å. p1 = p2 = ... = ðò = p, ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îïðåäеляется урàâнением

160