Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

	R
uâõ (t)		C uâûõ (t)
uâõ (t ), B		h( t)
30		1
0	t	0	t
uâõ (kT ), B		h(kT )
30		1
0 T 2T . . .	t	0 T 2T . . .	t
	Ðèñ. 19.31

h ( k ) = h ( kT ) = RC1 e−kTRC,

то получим äискретную мàòåìàтическую моäåëü RC öåïè, âûõîä- íóþ ðåàкцию которой можно нàйти с помощью (19.36). При этом, естестâåííî âõîäíîé ñèãíàë òàêæå äолжен быть äискретизироâàн (рис. 19.31). Точно тàкже можно получить äискретные моäåëè äðó- ãèõ àíàëîãîâых цепей. Тàêèì îáðàзом формулà äискретной сâертки (19.36) яâляется äîñòàточно униâåðñàльной, приãîäíîé äëÿ îïèñà- íèÿ êàê àíàëîãîâûõ, òàê è äискретных цепей.

Пример. Íà âõîä цепи поступàåò ñèãíàë â âèäå äискретной d-функции. Рàссчитàåì âûõîäные послеäîâàтельности y(k) цепей, имеющих äискретные импульсные хàðàктеристики

à) h{ k } = {1; 1; 0; 0; ...};

á) h{ k } = {1; 1; 0; 0; ...}; â) h[k] = 2e k/2.

Ãðàфики импульсных хàðàктеристик à), á), â) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 19.32. Ðàссчитыâàåì çíàчения y(n), используя формулу (19.36)

∞

y(n) = åh ( k )x ( n − k ) , â которой x(k) = d{ k }.

k=0

Для цепи, имеющей äискретную импульсную хàðàктеристику à) h{ k } = {1; 1; 0; 0; ...}, получàåì

y ( 0 ) = h ( 0 ) × d ( 0 ) = 1 × 1 = 1,

y (1) = h ( 0 ) × d (1) + h (1) × d ( 0 ) = 1 × 0 + 1 × 1 = 1,

y ( 2) = h ( 0 ) × d ( 2) + h (1) × d (1) + h ( 2) × d ( 0 ) = 1 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0, y ( 3 ) = h ( 0 ) × d ( 3 ) + h (1) × d ( 2) + h ( 2) × d (1) + h ( 3 ) × d ( 0 ) = 0.

Âñå îñòàльные знàчения y(n) áóäóò òàêæå íóëåâûìè.

541

h (k)

h (k)

h (k)

2

1

1

1

0 1 2 3 k

0

1 2 3 4 k

0

1 2 3 4 k

_1

a)

á)

â)

Ðèñ. 19.32

Для цепи с импульсной хàðàктеристикой б) h{ k } = {1; 1; 0; 0; ...} получàåì

y ( 0 ) = h ( 0 ) × d ( 0 ) = 1 × 1 = 1,

y (1) = h ( 0 ) × d (1) + h (1) × d ( 0 ) = 1 × 0 + ( -1) × 1 = -1, y ( 2) = h ( 0 ) × d ( 2) + h (1) × d (1) + h ( 2) × d ( 0 ) = 0.

Îñòàльные знàчения y(n) ðàâны нулю. Для цепи с импульсной хàðàктеристикой

â) h{ k } = 2e k/2 = {2; 1,22; 0, 74; 0,45; 0,27; ...} получàåì y ( 0 ) = h ( 0 ) × d ( 0 ) = 2,

y (1) = h ( 0 ) × d (1) + h (1) × d ( 0 ) = 1,22,

y ( 2) = h ( 0 ) × d ( 2) + h (1) × d (1) + h ( 2) × d ( 0 ) = 0,74.

Âñå îñòàльные отсчеты âûõîäной послеäîâàтельности y{ k } ïîâторяют соотâåòñòâующие отсчеты äискретной импульсной хàðàктеристики h(k), òàêæå êàê è â äâóõ ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ à) è á). Ýòîò âûâîä î÷åâèäен, т. к. импульснàÿ õàðàктеристикà ýòî ðåàêöèÿ öåïè íà d-импульс.

Ãðàôèêè y(k) áóäóò òàêèìè æå, êàê ãðàôèêè h(k) íà ðèñ. 19.32, ÷òî ÿâляется очеâèäíûì, ò.ê. h(k) ïî îïðåäелению есть реàêöèÿ öåïè íà d-функцию.

Элементы дискретных цепей. Êàê ñëåäóåò èç óðàâнения (19.36) при âычислении реàêöèè äискретной цепи нà çàäàííîå âîçäåéñòâèå âыполняется âñåãî òðè îïåðàции: умножение, зàäåðæêà и сложение.

Íà ðèñ. 19.33 ýòè äåéñòâèÿ ïðåäñòàâëåíû â âèäе элементоâ структурной схемы. Оперàцию умножения äискретноãî ñèãíàëà x(k) íà число à можно преäñòàâèòü â âèäе усилителя с коэффициентом усиления à. Íà åãî âûõîäе получàåì ñèãíàë y(k) = à× x(k). Сложение чисел естестâенно отобрàçèòü íà схеме â âèäå ñóììàòîðà. Получение отсчетà x(k 1) = x(kT T) èç x(k) = x(kT) можно сâÿ- çàòü ñ çàäержкой послеäíåãî íà âðåìÿ Ò, ò.å. íà îäèí «òàкт». Дейстâие элементà çàäержки поясняется нà ðèñ. 19.33.

Òàêèì îáðàçîì, àëãоритм âычислений	äискретноãî ñèãíàëà
y(k), описыâàåìûé âûðàжением (19.36),	можно преäñòàâèòü â
âèäе структурной схемы.

542

Ðèñ. 19.33

x (k) y (k) = x(k 1)

T

x (k)

y (k) = x(k _1)

1

. . .

1

_2 _1 0

_2 _1 0

1 2 3 4 5

k

1 2 3 4 5 6 k

x (k)

y (k) = x(k

_3)

x (k)

3T

y (k) = x(k_3)

T

T

T

y (k) = x(k _3)

x (k)

1

. . .

1

_2 _1 0

_2 _1 0

1 2 3 4 5

k

1 2 3 4 5 6 k

Ðèñ. 19.34

Пример. Ñîñòàâим структурную схему цепи, äискретнàя импульснàÿ õà- ðàктеристикà которой äàíà â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ò.å. h{ k } = { 1; 1; 2} (ðèñ. 19.28).

 ñîîòâåòñòâèè ñ àëãоритмом (19.36) и с учетом зàäàííûõ çíàчений хàðàк- теристики h(k) структурнàÿ ñõåìà öåïè ïðèâåäåíà íà рис. 19.35. По этой схеме несложно опреäелить âûðàжение äëÿ âûõîäной послеäîâàтельности y(k) =x(k) + x(k 1) + 2x(k 2).

Êàê ñëåäует из рис. 19.33 и рис. 19.34 общим сâîéñòâом элементоâ äискретных цепей яâляется их оäíîíàïðàâленное äåéñòâèå, ïî- êàçàííîå íà рисункàх стрелкàми. С точки зрения тополоãии, элементы äискретных цепей преäñòàâляют собой äâухполюсные (элемент зàäержки, умножитель) или мноãополюсные элементы (сум- мàòîð).

Общее уравнение дискретных цепей. Èç óðàâнения (19.36), рàссмотренных примероâ и рис. 19.35 отклик äискретной цепи y(k) íà âîçäåéñòâèå õ(k) можно зàïèñàòü â âèäå ñëåäóþùåãî óðàâнения

y (k) = a0x (k) + a1x (k −1) + a2x (k − 2) +K+ aN x (k − N ), (19.38)

543

x (k)

T

T

_

1

1

2

_ x (k)

+

x(k _1)

+

2 x(k _2)

+

+

y (k) = _x(k)

+ x(k _1) + 2x (k _2)

+

+

Ðèñ. 19.35

ãäå a0, a1, a2, ..., aN некоторые числà (âåñà) ïðåäñòàâляющие собой по сути отсчеты импульсной хàðàктеристики цепи.

Óðàâнению (19.38) соотâåòñòâóåò äискретнàя цепь, изобрàæåí- íàÿ íà рис. 19.36. В литерàòóðå ýòó öåïü íàçûâàþò èíîãäà òðàíñ-

âåðñàльным фильтром.

Êàê ñëåäóåò èç (19.38) äля получения k-ãо отсчетà âûõîäíîãî ñèãíàëà ïîäâåðãàþòñÿ îáðàботке (k N) отсчетоâ âõîäíîãî ñèãíà- ëà ñ ñîîòâåòñòâующими âåñîâыми коэффициентàìè.

Ñëåäóåò îäíàко отметить, что урàâнением (19.38) не исчерпы- âàþòñÿ âñå âозможные àëãоритмы рàáîòû äискретных цепей. В чà- стности, этот àëãоритм может âêëþ÷àòü îáðàботку не только отсче- тоâ âõîäíîãо, но и отсчетоâ âûõîäíîãî ñèãíàëà, ñäâинутоãî íà îïðåäеленное число тàêòîâ. Поэтому нàиболее общее урàâнение äискретной цепи имеет слеäующий âèä

N	M
y ( n ) = å akx ( n − k ) + å bly ( n − l ),		(19.39)
k=0	l=1

ãäå bl âåñîâые коэффициенты.

Íà рис. 19.37 изобрàæåíà ñõåìà äискретной цепи, соотâåòñò- âующей àëãоритму (19.39).

x (k)	a0	+ y (k)	x (k)
	a0 x (k)
	T		T
	a1	_ 1)
	a1 x (k		T
	T
	a2	_2)
	a2 x (k
	T		T
	aN	_N)
	aN x (k

Ðèñ. 19.36

a0 + a0 x (k)

a1

a1 x (k _ 1)

a2

a2 x (k _2)

aN

aN x (k _N)

y (k)

T

			_ b1
b1 y (l
		1)		T

_ b2 b2 y (l 2)

T

_ bM bM y (l M)

Ðèñ. 19.37

544

Принципиàльным отличием схемы, изобрàженной нà рис. 19.37 от схемы нà ðèñ. 19.36 ÿâляется нàличие цепи обрàòíîé ñâязи, поэтому схемы, описыâàåìûå óðàâнением (19.39), получили нàçâàíèå рекурсиâíûõ, à цепи, описыâàåìûå (19.38), нерекурсиâíûõ.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåàêöèè äискретной цепи необхоäимо решить ðàзностные урàâнения (19.38) и (19.39). Если решение (19.38) обычно не преäñòàâляет особоãî òðóäà, òî äля решения (19.39) необхоäимо использоâàть специàльные метоäû. Ïî àíàëîãии с решением äифференциàльных урàâнений, описыâàþùèõ àíàëîãîâую цепь, решение рàзностных урàâнений можно осущестâèòü êàê êëàс- сическим, тàê è îïåðàторным метоäом. Обычно äля решения рàз- ностных урàâнений â теории äискретных цепей используется опе- рàторный метоä, причем âместо преобрàçîâàíèÿ Ëàïëàñà используют z-преобрàçîâàíèå.

Передаточные функции. Ïðè àíàлизе и синтезе äискретных систем âàжнейшую роль иãðàþò ïåðåäàточные èëè системные функции цепей.

Применим к урàâнению (19.39) прямое z-преобрàçîâàíèå è ó÷òÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà z-преобрàçîâàния (см. § 19.3), получим

N	M
Y ( z ) = X ( z ) å akz−k + Y ( z ) å blz−l.
k=0	l=1

Îòñþäà ñëåäóåò

é	M	ù	N
Y ( z ) ê1	- å blz−l ú		= X ( z ) å akz−k.
ë	l=1	û	k=0

Îïðåäåëèì ïåðåäàточную функцию äискретной

ношение z-преобрàçîâàíèé âûõîäíîãî êî âõîäíîìó ñèãíàëó:

H ( z ) = Y (( z ))

X z

		N
		å akz−k
=		k=0	.
		M
	1 - å blz−l
		l=1

(19.40)

öåïè êàê îò- äискретному

(19.41)

Èç (19.41) ñëåäует, что коэффициенты ak числителя опреäеляют нерекурсиâíóþ ÷àñòü äискретной цепи, à коэффициенты bl çíàìå- íàтеля рекурсиâíóþ ÷àñòü.

Для нерекурсиâíîé öåïè (M = 0) ïåðåäàòî÷íàя функция опре- äелится кàê

N
H ( z ) = å akz−k.	(19.42)

k=0

Ïåðåäàточную функцию (19.42) можно опреäелить кàê z-преоб- рàçîâàние от импульсной хàðàктеристики цепи:

545

N
H ( z ) = å h ( k ) z−k.	(19.43)

k=0

Ñðàâнение (19.42) и (19.43) покàçûâàет, что роль коэффициентоâ ak èãðàют отсчеты импульсной хàðàктеристики h(k). Нетруäíî òàêæå âèäеть, что импульснàÿ õàðàктеристикà нерекурсиâíîé öåïè ñîãëàñíî (19.38) ÿâляется конечной, à рекурсиâíîé ñîãëàсно (19.39) бесконечной, поэтому иноãäà нерекурсиâíûå äискретные цепи нàçûâàþò цепями с конечной импульсной хàðàктеристикой (ÊÈÕ), à рекурсиâíûå ñ бесконечной импульсной хàðàктеристикой (ÁÈÕ).

Пример. Положим, что переäàòî÷íàя функция äискретной цепи имеет âèä

H ( z ) =		a	.
		− bz−1
1

Ïðè a = 1; b = 0 получàåì èäåàльный интеãðàтор с импульсной хàðàктеристикой h{k} = {1, 1, ..., 1, ...}. По нерекурсиâной схеме тàкую импульсную хà- ðàктеристику реàëèçîâàть нельзя.

Àíàëèç (19.41) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïåðåäàòî÷íàя функция рекурсиâной цепи имеет структуру, àíàëîãичную типичной переäàточной функции цепи с ОС (см. ãë. 14). H(z) ÿâляется äробно-рàöèîíàль- ной функцией относительно z 1:

H ( z ) = a0 + a1z−1 + a2z−2 + K + aNz−N . 1 − b1z−1 − b2z−2 − K − bMz−M

Èç (19.41) è (19.42) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî H(z) из (19.41) имеет полюсà (нули полиномà çíàìåíàтеля), которые моãóò ðàñïîëàãàòüñÿ â любой точке z-плоскости, à H(z) из (19.42) только полюс крàтности N â íà÷àëå êîîðäèíàò.

Пример. Íàéäåì ïåðåäàточную функцию элементà çàäержки. Сиãíàë íà åãî âûõîäе описыâàåòñÿ óðàâнением

y ( k ) = x ( k − 1). Примениâ ê íåìó z-преобрàçîâàíèå, получим

Y ( z ) = X ( z ) z−1.

Îòñþäà получàåì

H ( z ) = Y ( z )X ( z ) = z−1,

Ðèñ. 19.38

546

x (k)			−1,5 x(k− 1)			+	y (k) = 4 x(k) −1,5 x (k− 1)
	T

4

4 x(k)

Ðèñ. 19.39

поэтому нà структурных оперàторных схемàõ äискретных цепей элемент зà- äержки обычно обознà÷àþò z 1 (ðèñ. 19.38).

Пример. Íàéäем импульсную хàðàктеристику и переäàточную функцию äискретной цепи (рис. 19.39), âûõîäíàя послеäîâàтельность которой зàäàíà âûðàжением y(k) = 4x(k) 1,5x(k 1).

Отсчеты äискретной импульсной хàðàктеристики h(k) это отсчеты y(k), ðàссчитàííûå ïðè óñëîâèè, ÷òî íà âõîä öåïè ïîäàåòñÿ äискретнàя d-функция, т. е. x{ k } = d{ k } = {1; 0; 0; ...}.

h ( 0 ) = 4d ( 0 ) - 1,5 d ( -1) = 4,1 - 1,5 × 0 = 4 , h (1) = 4d (1) - 1,5 d ( 0 ) = -1,5,

h ( k ) = 0 ïðè k > 1.

Òàêèì îáðàзом, отсчеты äискретной импульсной хàðàктеристики h{ k } = = {4; 1,5} ñîîòâåòñòâуют коэффициентàм усиления усилителей â схеме (рис. 19.39).

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðåäàточной функции H(z) âоспользуемся формулой (19.42):

∞

H ( z ) = å h ( k ) × z−k = h ( 0 ) z0 + h (1) z−1 = 4 - 1,5z−1 .

k=0

Äðóãой способ нàõîæäåíèÿ ïåðåäàточной функции H(z) çàêëþ÷àåòñÿ â том, чтобы опреäелить z-изобрàжение âûõîäной послеäîâàтельности, à çàòåì íàéòè H(z) êàк отношение Y(z) è X(z):

Y ( z ) = 4X ( z ) - 1,5X ( z ) z−1

èëè

Y ( z ) = X ( z ) ( 4 - 1,5z−1 ) = X ( z ) × H ( z ) .

Î÷åâèäíî, ÷òî H(z) = 4 1,5z 1. Íà ðèñ. 19.40 ïðèâåäåíî z-изобрàжение этой äискретной цепи.

X (z)			_1		−1,5X (z)z		1	Y (z) = 4X (z) − 1,5X (z)z		1
		z					+
								H (z) = 4 − 1,5 z_1
4

4X (z)

Ðèñ. 19.40

547

Пример. Íàéäåì ïåðåäàточную функцию äискретной цепи, âõîäíàÿ è âû- õîäíàя послеäîâàтельности которой имеют âèä

x{ k } = {1; 0; 1; 2}, y{ k } = {0; 1; 2; 1}. Z-изобрàжения послеäîâàтельностей

	∞
	X ( z ) = å x ( k ) × z−k = 1 + z−2 + 2z−3 ;
	k=0
	∞
	Y ( z ) = å y ( k ) × z−k = z−1 + 2z−2 + z−3 .
	k=0
	Ñëåäîâàтельно, переäàòî÷íàя функция
	H ( z ) =	Y ( z )	=	z−1 + 2z−2	+ z−3	.
		X ( z )		1 + z−2 +	2z−3

Çíàÿ ïåðåäàточную функцию äискретной цепи H(z) с помощью

формулы
Y ( z ) = X ( z ) H ( z )	(19.44)

можно нàéòè z-изобрàжение âûõîäíîãî ñèãíàëà Y(z) ïî z-изобрà- жению âõîäíîãî Õ(z).

Äëÿ íàõîæäения отсчетоâ âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) ïî åãî z-изобрàжению Y(z) можно точно тàêæå êàê è äëÿ àíàëîãîâых цепей использоâàть теорему рàзложения (см. § 7.2), которàя применительно к äискретным цепям äëÿ ïðà- âильной äробно-рàöèîíàльной функции Y(z) = P(z)/Q(z) (ãäå P(z), Q(z) полиномы) имеет âèä

M	M
y ( n ) = å yl	( n ) = å Alzln,	(19.45)
l=1	l=1

ãäå Al коэффициенты рàзложения Y(z):

Y ( z ) =

P ( z )

=

M

A

l

, zl простые полюсà Y(z).

Q ( z )

ål=1 1

- zlz−1

Коэффициент Al может быть нàéäåí

A =

é P ( z )

ù

ê

ú

l

ë dQ ( z )

dz û z=zl

âычет функции Y(z) â полюсе z = zl.

Ñëåäует отметить, что отсчеты y(k) äля нерекурсиâíîé öåïè ìî- ãóò áûòü íàéäåíû êàк коэффициенты при отрицàтельных степенях z â óðàâнении äëÿ Y(z).

Пример. Íàéäем отсчеты âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) äискретной цепи, z-èçîá- ðàжение которой приâåäåíî íà ðèñ. 19.41, à âõîäíîé ñèãíàë x{ k } = { 2; 1; 2; 1}.

Íàéäåì z-изобрàжение âõîäíîãî ñèãíàëà x(k):

∞

X ( z ) = å x ( k )

k=0

= -2 + z−1

× z−k = x ( 0 ) + x (1) z−1 + x ( 2) z−2 + x ( 3 ) z−3 = + 2z−2 - z−3.

548

X (z)			z_1	H (z) = − 1 + z 1 + 2 z 2
z_1
_1		1		2
− X (z)			X (z)z_1	2X (z)z_2
		+
			Y (z) =X (z) . H (z) =−X (z) + X (z)z_1 + 2X (z)z_2
				Ðèñ. 19.41
Ïåðåäàòî÷íàя функция цепи (рис. 19.41)							H ( z ) = -1 + z−1 + 2z−2 . Îíà íà-
õîäится непосреäñòâенно по схеме либо кàê z-изобрàжение äискретной им-
пульсной хàðàктеристики h{ k } = { 1; 1; 2}.
Íàéäåì z-изобрàжение âûõîäíîãî ñèãíàëà
Y ( z ) = X ( z ) × H ( z ) = ( 2 + z−1 + 2z−2 - z−3 )( -1 + z−1 + 2z−2 ) =
= 2 - 3z−1 - 5z−2 + 5z−3 + 3z−4 - 2z−5.
Коэффициенты при z â отрицàтельных степенях â ýòîì âûðàжении яâляются
отсчетàìè âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) (ðèñ. 19.29):
		y{ k } = {2; 3; 5; 5; 3; 2}.
Пример. Íàéäем отсчеты âûõîäíîãî ñèãíàëà нерекурсиâíîé äискретной
цепи, имеющей äискретную импульсную реàêöèþ h{ k } = {1; 0,6; 1,5; 1},
ïðè âîçäåéñòâèè íà íåå äискретноãî ñèãíàëà x{ k } = {1; 0; 1; 0}.
Отсчеты äискретной импульсной хàðàктеристики это коэффициенты
усиления a0 = 1; a1 = 0,6; a2 = 1,5; a3 = 1. Структурнàÿ ñõåìà нерекур-
ñèâíîé äискретной цепи			ñ çàäàííîé		импульсной реàкцией приâåäåíà íà
ðèñ. 19.42.
Âûõîäíîé äискретный сиãíàë y(k) íàéäем, используя âûðàжение (19.38)
y ( k ) = a	0	x ( k ) + a x ( k - 1)			+ a	x ( k - 2) + a		3	x ( k - 3 ) =
			1		2
= x ( k )			- 0,6x ( k - 1)		- 1,5x ( k - 2) + x ( k - 3 ).
x (n)			1	x (n)			+
		T					y (n) =x (n) −
			−0,6x (n− 1)				− 0,6x (n− 1) −
							− 1,5x (n− 2) +
		T	−1,5x (n− 2)				+x (n− 3)
		T		x (n− 3)
			1
				Ðèñ. 19.42

549

x (k)								y (k)
2								2
1								1
0				1	2 3 k			0				1		2 3		4 5		k
_1								_1

Ðèñ. 19.43

Отсчеты сиãíàëà y(k) íàéäåì, ïîäñòàâëÿÿ çíàчения x(k) â полученное рàзностное урàâнение.

y ( 0 ) = x ( 0 ) = 1;

y (1) = x (1) - 0,6x ( 0 ) = 0 - 0,6 × 1 = -0,6 ;

y ( 2) = x ( 2) - 0,6x (1) - 1,5x ( 0 ) = 1 - 0,6 × 0 - 1,5 × 1 = -0,5 ;

y ( 3 ) = x ( 3 ) - 0,6x ( 2) - 1,5x (1) + x ( 0 ) = 0 - 0,6 × 1 - 1,5 × 0 + 1 = 0,4 .

Àíàëîãичным обрàçîì ðàссчитыâàåì y(4) = 1,5; y(5) = 1; y(6) = 0. Âñå îñòàльные отсчеты тàêæå ðàâíû íóëþ.

Òàêèì îáðàçîì, âûõîäíàя послеäîâàтельность y{ k } = {1; 0,6; 0,5; 0,4;1,5; 1}. Ãðàôèêè x(k) è y(k) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 19.43.

Èç ðèñ. 19.37 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðåàëèçàöèè àëãоритмоâ рекурсиâíîé îáðàботки сиãíàëà äискретнàÿ öåïü äîëæíà иметь большое количестâо ячеек пàмяти, что сущестâенно усложняет схему. Для упрощения äискретной цепи используют, тàê íàçûâàåìóþ êàнони- ческую схему. Êàноническàÿ ñõåìà может быть полученà èç (19.43), åñëè ïðåäñòàâèòü Y(z) â âèäå:

N
Y ( z ) = W ( z ) å akz−k,	(19.46)

k=0

x (k) +

a0

T

b1a1

T

b2a2

T

bMaN

Ðèñ. 19.44

+ y (k)

550