Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

x (k) + a0 + y (k)

							a0 = 1
		T		a1			a1 = _1
b1							a2	= 1
							b1	= 0,5
		T					b2	= _0,5
b	2			a2

Ðèñ. 19.45

ãäå W(z) z-преобрàçîâàние промежуточной послеäîâàтельности

	W ( z ) =	X ( z )	.	(19.47)
		M
		1 − å blz−l

l=1

Òîãäà ñîãëàñíî (19.46) àëãоритм äискретной обрàботки сиãíàëà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âíà÷àëå ðåàлизуется рекурсиâное преобрà- çîâàíèå (19.47), à çàтем нерекурсиâíîå (ðèñ. 19.44).

Пример. Íàéäåì ðåàêöèþ äискретной цепи нà âîçäåéñòâèå x{ k } = {1; 1; 1; 1}, åñëè ïåðåäàòî÷íàя функция цепи имеет âèä

H ( z ) =		1 - z−1	+ z−2	.
		- 0,5z−1	+ 0,5z−2
1

Ñîñòàâим структурную кàноническую схему äискретной цепи с зàäàííîé ïåðåäàточной функцией (рис. 19.45). Коэффициенты усиления изâестны:

a0 = 1; a1 = 1; a2 = 1; b1 = 0,5; b2 = 0,5.

Íàéäåì âûõîäíîé ñèãíàë y(k) цепи, используя урàâнение (19.38) или непосреäñòâенно по схеме:

y ( k ) = a0x ( k ) + a1x ( k - 1) + a2x ( k - 2) + b1y ( k - 1) + b2y ( k - 2) = = x ( k ) - x ( k - 1) + x ( k - 2) + 0,5y ( k - 1) - 0,5y ( k - 2).

Ðàссчитàем отсчеты y(k):

y ( 0 ) = x ( 0 ) = 1;

y (1) = x (1) - x ( 0 ) + 0,5y ( 0 ) = -1 - 1 + 0,5 × 1 = -1,5 ; y ( 2) = x ( 2) - x (1) + x ( 0 ) + 0,5y (1) - 0,5y ( 0 ) =

= 1 + 1 + 1 + 0,5 ( -1,5 ) = 2,25.

Àíàëîãичным обрàçîì ðàссчитыâàåì y(3) = 1,125, y(4) = 1,3125 è ò.ä.

Устойчивость рекурсивных цепей. Дискретнàÿ öåïü ñ÷èòàется неустойчиâîé, åñëè îãðàниченное по àмплитуäå âõîäíîå âîçäåéñò- âèå âûçûâàåò íà åå âûõîäе бесконечно нàðàñòàющий отклик. Нà-

551

оборот, äискретнàя цепь устойчиâà, êîãäà отклик нà îãðàниченное âîçäåéñòâèå òàêæå îãðàничен.

Èçâестно, что у устойчиâîé àíàëîãîâой цепи полюсы переäàточ- ной функции рàñïîëàãàþòñÿ â ëåâой полуплоскости переменной p. При перехоäå îò àíàëîãîâîé öåïè ê äискретной и зàмене преобрà- çîâàíèÿ Ëàïëàñà z-преобрàçîâàнием точки леâой полуплоскости p- плоскости перехоäÿò â точки, лежàùèå âнутри еäиничной окружности z-плоскости (рис. 19.19). Тàêèì îáðàзом, полюсы переäàточ- ной функции устойчиâîé äискретной цепи рàñïîëàãàþòñÿ âнутри еäиничной окружности z-плоскости.

Нерекурсиâíûå öåïè âñåãäà устойчиâû.

à)

á)

â)

ã)

Пример. Îïðåäелим устойчиâость цепей, имеющих переäàточные функции:

	H ( z ) =					1 − z−1		,
	1		1			− 0,3z−1
	H2	( z ) =			1 − z−1		,
			1			− 2z−1
	H3	( z ) =				1 − z−2			,
			1			− 1,8z−1		+ 0,97z−2
	H4	( z ) =				1 − z−2			.
			1			− 2,4z−1		+ 1,69z−2

Полюс переäàточной функции

H1	( z ) =		1 − z −1
			− 0,3z −1
	1

íàéäåì, ïðèðàâíÿâ çíàìåíàòåëü H1(z) ê íóëþ, 1 0,3z 1 = 0.

Получàем полюс z 1(1) = 0,3, который нàõîäèòñÿ âнутри еäиничной окружности z-плоскости. Это ознà÷àет, что цепь устойчиâà.

Ïåðåäàòî÷íàя функция

	H2 ( z ) =				1 − z−1
				1 − 2z−1
имеет полюс â точке z 1( 2) = 2; òàêàя цепь неустойчиâà.
Полюсы переäàточной функции
	H3 ( z ) =				1 − z−2
							−2
	1 − 1,8z−1 + 0,97z
ÿâляются	комплексно-сопряженными		z 1( 3 ) = 0,9 + j0,4 è z (23 ) = 0,9 − j0,4 . Ïî-
скольку	эти полюсы лежàò âнутри			åäиничной			окружности (их моäóëè

z1( 3 ) = z2( 3 ) < 1), òî äàííàÿ äискретнàя цепь устойчиâà.

Примером неустойчиâой цепи служит цепь с переäàточной функцией

H4

( z ) =

1 − z−2

,

− 2,4z−1 +

1,69z−2

1

у которой z 1( 4 ) = 1,2 + j0,5 è z (24 ) = 1,2 − j0,5 è

z 1( 4 )

=

z (24 )

> 1.

552

Частотные характеристики. Для перехоäà îò ïåðåäàточной функции H(z) ê ÷àстотной хàðàктеристике H(jf) необхоäимо произâåñòè çàìåíó

z = e jωt = e j2πf T .

Обычно ââîäÿò â

ðàссмотрение

нормироâàííóþ ÷àстоту Ω =

= fT = f/fä. С учетом этоãо формулà (19.41) примет âèä:

H ( jΩ ) = H (e j2πΩ ) =

=

a

0

+ a e− j2πΩ

+ a

e− j4πΩ +K+ a

N

e− j2πNΩ

=

1

2

1− b e− j2πΩ − b e− j4πΩ −K− b

M

e− j2πMΩ

1

2

=

(a0 + a1 cos2πΩ + a2 cos 4πΩ +K+ aN cos2πNΩ ) −

×

(19.48)

(1− b1 cos2πΩ − b2 cos 4πΩ −K− bM cos2πMΩ ) +

×− j((a1 sin 2πΩ + a2 sin 4πΩ +K+ aN sin 2πNΩ )).

+j b1 sin 2πΩ + b2 sin 4πΩ +K+ bM sin 2πMΩ

Èç (19.48) ëåãко получить àмплитуäíî-÷àстотную и фàçî-÷àñòîò- íóþ õàðàктеристики äискретной цепи. В чàстности, àмплитуäíî- ÷àстотнàÿ õàðàктеристикà áóäåò ïðåäñòàâëåíà âûðàжением

H ( Ω ) =		H ( jΩ )		=	( a0 + a1 cos 2πΩ + a2 cos 4πΩ + K)2 + ×
					(1 − b1 cos 2πΩ − b2 cos 4πΩ − K)2 +			(19.49)
×	+ ( a1 sin 2πΩ + a2 sin 4πΩ + K)2					.
	+ (b1 sin 2πΩ + b2 sin 4πΩ + K)2

Пример. Дискретнàÿ öåïü 3-ãî ïîðÿäêà описыâàåòñÿ ïåðåäàточной функцией

		z-плоскость		x(n)
				+
	z	(6)
	z1(6)	2	1
	z (6)
	3
Полюсы	z (6)		= 0,544
	1
	z (6)		= 0,731 e+ j0,544
	2		= 0,731 e_ j0,544
	z (6)
	3
	a)			á)

Ðèñ. 19.46

y(n)

T

T

T

553

H(Ω) = |H( jΩ)|

1

	0		0,1					0,5				1,0							Ω
					Ðèñ. 19.47
	H6 ( z ) =							0,1317										(19.50)
			1 - 1,785z−1 + 1,202z−2									- 0,2853z−3
( 6 )	= 0,544 è		( 6 )		= 0,731e			± j 0,544		. Ðàсположение полюсоâ â ïëîñ-
с полюсàìè z 1			z 2,3

кости z ïîêàçàíî íà ðèñ. 19.46, à. Çäåñü æå ïðèâåäåíà структурнàÿ ñõåìà äискретной цепи (рис. 19.46, á). Îïðåäелить АЧХ цепи.

	Ïîäñòàâèì â (19.50)
	H ( W ) =		0,1317			´
			(1 - 1,785 cos 2pW + 1,202cos 4pW - 0,2853 cos 6pW )2	+

´ + (1,785sin 2pW - 1,202sin 4pW + 0,2853sin 6pW )2 .

Íà рис. 19.47 изобрàæåí ãðàôèê À×Õ H(W) цепи. Из рисункà âèäíî, ÷òî À×Õ ñ ïåðåäàточной функцией (19.50) соотâåòñòâóåò ÔÍ× Áàòòåðâîðòà. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, àмплитуäíî-÷àстотнàÿ õàðàктеристикà äискретной цепи яâ- ляется периоäической функцией (тàê êàê H(jW) есть преобрàçîâàние Фурье от äискретной импульсной реàкции). Ее периоä ðàâåí fä = 1/ T èëè W = fä × T = 1. Поэтому онà используется â äèàïàçîíå ÷àñòîò îò 0 äî 0,5fä (èëè äо W = 0,5). Цепь устойчиâà.

Пример. Íàéäåì ÷àстотную хàðàктеристику äискретной цепи с импульсной
õàðàктеристикой h{ k } = {1,5; 1; 0,5}.
Çàпишем переäàточную функцию H(z) цифроâîãо фильтрà,												âоспользо-
âàâшись формулой
						∞
			H ( z ) = å h				( k ) z−k .
					k=0
Получим H ( z ) = 1,5 + z−1 + 0,5z−2					ïåðåäàточную функцию нерекурсиâíîé öåïè.
H(Ω)
3
2
1
0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	Ω
				Ðèñ. 19.48

554

H(Ω)

4

3

2

1

0 0,1		0,5				1,0						Ω

Ðèñ. 19.49

Íàéäåì À×Õ ýòîé öåïè, ïîäñòàâëÿÿ â формулу (19.48) знàчения коэффициентоâ усиления a0 = 1,5; a1 = 1; a2 = 0,5,

H ( Ω ) = ( a0 + a1 cos 2πΩ + a2 cos 4πΩ )2 + ( a1 sin 2πΩ + a2 sin 4πΩ )2 = = (1,5 + cos 2πΩ + 0,5 cos 4πΩ )2 + (sin 2πΩ + 0,5 sin 4πΩ )2.

Ãðàфик АЧХ изобрàæåí íà ðèñ. 19.48.

Пример. Изменим коэффициенты усиления â ïðåäûäущем примере. Выбе-

ðåì a0 = a2 = 1, a1 = 2. Âíîâü íàéäåì âûðàжение H(Ω) и построим ãðàôèê åãî àмплитуäíî-÷àстотной хàðàктеристики.

Çàменим â формуле äëÿ H(Ω), полученной â ïðåäûäущем примере, знàче- ния коэффициентоâ a0, a1 è a2. Получим

H ( Ω ) = (1 − 2cos 2πΩ + cos 4πΩ )2 + ( −2sin 2πΩ + sin 4πΩ )2 .

Ãðàфик АЧХ изобрàæåí íà ðèñ. 19.49. Èç ãðàôèêà âèäно, что нерекурсиâ- íàÿ öåïü ñ òàêèìè çíàчениями коэффициентоâ усиления это режекторный фильтр.

19.5. Типовые звенья дискретных цепей

Звенья 1-го и 2-го порядков. В литерàòóðå òèïîâûìè çâеньями äискретных цепей считàþòñÿ çâåíüÿ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Они получàются из общей структуры рис. 19.44, если остàâèòü â ней только оäèí ëèáî äâà элементà çàäержки.

Íà ðèñ. 19.50, à ïîêàçàíî çâåíî 1-ãî ïîðÿäêà ñ ïåðåäàточной функцией

		H ( z ) =		a		+a z−1
					0	1
				1 − b z−1
						1
è À×Õ
H ( Ω ) =	( a		+ a cos 2πΩ )2				+ ( a sin 2πΩ )	2
		0	1				1	.
	(1 − b cos 2πΩ )2						+ (b sin 2πΩ )2
			1				1

Òèïîâîå çâåíî 2-ãî ïîðÿäêà изобрàæåíî íà ðèñ. 19.50, á. Åãî ïåðåäàòî÷íàя функция

555

x (k)

+

a0

+

y (k)

x (k)

+

a0

+

y (k

)

T

b

a1

T

1

b

a1

T

1

b

a2

2

a)

á)

Ðèñ. 19.50

H ( z ) = a0 +a1z−1 +a2z−2 1 − b1z−1 − b2z−2

è À×Õ

H ( Ω ) =	( a		+a cos 2πΩ+a		cos 4πΩ )2	+ ( a sin 2πΩ + a sin 4πΩ )2		.
		0	1	2		1	2
	(1 − b cos 2πΩ − b				cos 4πΩ )2	+ (b sin 2πΩ + b sin 4πΩ )2
			1	2		1	2

Пример. Построим ãðàôèê À×Õ çâåíà ïåðâîãî ïîðÿäêà, у котороãî a0 = 1,

a1 = 0.

Ïåðåäàòî÷íàя функция тàêîãî çâåíà ïåðâîãî ïîðÿäêà

		H ( z ) =	a		+a z−1	=			1
				0	1									.
								− b z−1
			1 − b z−1			1
					1				1
Амплитуäíî-÷àстотнàÿ õàðàктеристикà
H ( Ω ) =		1								=					1		.
		(1 − b cos 2πΩ )2	+		(b sin 2πΩ )2				1					+ b12	− 2b1 cos 2πΩ
		1			1

Поскольку полюс zn ïåðåäàточной функции H(z) ðàâåí b1, òî äëÿ òîãо, чтобы цепь былà устойчиâой необхоäèìî âûáèðàòü çíàчения b1 òàкими, чтобы âыполнялось услоâèå | b1 | < 1.

Íà ðèñ. 19.51 ïðèâåäåíû ãðàфики АЧХ, построенные äëÿ çíàчений b1 = 0,5 è b1 = 0,5.

H(Ω)		b1 = _0,5			H(Ω)		H2(	Ω)
2					4
1					2			H(Ω)
	b1	= 0,5					H1(Ω)
0	0,1	0,5	1,0	Ω	0	0,1	0,5	1,0	Ω

Ðèñ. 19.51

Ðèñ. 19.52

556

À×Õ ðàññìàòðèâàåìîãо фильтрà çàâèñèò îò çíàêà коэффициентà b1. Ïðè b1 > 0 получàем режекторный фильтр, при b1 < 0 полосоâîé.

Пример. Íàéäåì ïåðåäàточную функцию и построим ãðàôèê À×Õ çâåíà 2-

ãî ïîðÿäêà (ðèñ. 19.50, á) ïðè a0 = a2 = 1, a1 = 2, b1 = 0,2 è b2 = 0,4. Ïåðåäàòî÷íàя функция тàêîãî çâåíà

H ( z ) =	a		+ a z−1	+ a		z−2	=		1+ z−1 - 2z−2
		0	1		2						.
								1 - 0,2z−1		+ 0,4z−2
	1 - b z−1			- b z−2
			1	2

Êàê óêàçûâàëîñü ðàнее, рекурсиâную цепь с прямыми и обрàтными сâязями можно преäñòàâèòü êàê êàñêàäíîå ñîåäинение рекурсиâíîãо фильтрà ñ ïåðåäàточной функцией H1(z) и нерекурсиâíîãо фильтрà ñ ïåðåäàточной функцией H2(z).  íàøåì ñëó÷àå, äëÿ çâåíà âòîðîãî ïîðÿäêà,

H	( z ) =			1		,	H	2	( z ) = 1 - z−1	- 2z−2,
1		1		- 0,2z−1	+ 0,4z−2

H ( z ) = H1 ( z ) × H2 ( z ).

Ãðàôèê À×Õ äëÿ H2(z) уже был построен и приâåäåí íà ðèñ. 19.49. À×Õ H1(W) рекурсиâíîãо фильтрà ðàссчитыâàется по формуле

H	( W ) =			1	.
1			(1	- 0,2cos 2pW + 0,4 cos 4pW )2 + ( -0,2sin 2pW + 0,4sin 4pW )2

Ãðàôèêè H1(W), H2(W) è H(W) = H1(W) × H2(W) изобрàæåíû íà ðèñ. 19.52.

Соединение типовых звеньев. Òèïîâûå çâåíüÿ ìîãóò ñîåäиняться кàñêàäíî (ðèñ. 19.53, à); ïðè ýòîì èõ ïåðåäàточные функции перемножàþòñÿ:

H ( z ) = H1 ( z ) × H2 ( z ) × H3 ( z ) ,

ãäå H1, H2, H3 ïåðåäàточные функции зâåíüåâ.

Ðèñ. 19.53

557

Ïðè ïàðàллельном соеäинении зâåíüåâ (ðèñ. 19.53, á) îáùàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция опреäеляется кàê

H ( z ) = H1 ( z ) + H2 ( z ) + H3 ( z ) .

Ñîåäинение, покàçàííîå íà ðèñ. 19.53, â, íàçûâàþò âключением цепи H2 â îáðàòíóþ ñâÿçü öåïè H1, причем

H ( z ) =	H ( z )			.
		1
	1 - H	( z ) × H	( z )
	1	2

Ñëåäует иметь â âèäó, ÷òî âñå ñîåäинения, изобрàженные нà ðèñ. 19.53, ñïðàâåäëèâы не только äëÿ òèïîâûõ çâåíüåâ, íî è äля любых äðóãих структур.

Пример. Íàéäåì ïåðåäàточные функции при рàзличных способàõ ñîåäèíå-

ния рекурсиâной и нерекурсиâной цепей, имеющих

H1 ( z ) = 1

(1 - 0,3z−1 )

è

H2 ( z ) = 0,2 + z−1 + z−2 .

Ïðè êàñêàäíîì ñîåäинении этих цепей

H ( z ) = H ( z ) ×

H

( z )

=

0,2 + z−1 + z−2

2

;

1

1 - 0,3z

−1

ïðè ïàðàллельном соеäинении

H ( z ) = H

( z ) + H

2

( z )

=

1,2 + 0,4z−1 + 0,7z−2 - 0,3z−3

;

1

1 - 0,3z−1

ïðè âключении цепи H2 â îáðàòíóþ ñâÿçü öåïè H1

H ( z ) =

H ( z )

=

1,25

.

1

1 - H ( z ) H

2

( z )

1 - 1,625z

−1

-

1,25z

−2

1

Пример. Íàéäåì ïåðåäàточную функцию äискретной цепи, изобрàженной нà ðèñ. 19.54.

Öåïü, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 19.54, ïðåäñòàâляет собой кàñêàäíîå ñîåäинение типоâûõ çâåíüåâ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Ïåðåäàòî÷íàя функция соеäинения имеет âèä

a0 +a1 z

−1

¢

¢

−1

¢

−2

H ( z ) =

×

a0

+ a1 z

+ a

2 z

.

¢

1 - b1 × z

−1

¢

−1

−2

1 - b1 z

- b 2 z

x(n) +

+

+

y (n

)

T

T

T

Ðèñ. 19.54

558

Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàжение äëÿ H(z) çàäàííûå çíàчения коэффициентоâ óñè-

ления a0 = 1, a1 = 0,5, b1 = 1 è a′0 = 0,5, a1′ = 1,5, a′2 = 1,2, b′1 = 0,2, b′2 = 0,4, получàåì

	H ( z ) =	0,5 + 1,75 z−1		− 0,45 z−2 − 6 z−3		.
		1	+ 1,2 z−1 −	0,2 z−2	− 0,4 z−3

19.6.Метод переменных состояния дискретных цепей

Âï. 6.7 áûë ðàссмотрен метоä переменных состояния применительно к àíàëîãîâым цепям. При этом метоä переменных состояния позâоляет âместо системы äифференциàльных урàâнений m-ãî ïîðÿäêà (6.3) линейную цепь описàть системой из m äифференциàльных урàâнений 1-ãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûõ óðàâнениями состояния цепи

Àíàëîãичным обрàçîì äëÿ îïèñàíèÿ äискретных цепей â прострàíñòâе состояния âместо рàзностноãî óðàâнения (19.39) N-ãî ïîðÿäêà ðàссмотрим систему из N линейных рàзностных урàâнений 1-ãî ïîðÿäêà.

Âêà÷åñòâе примерà ðàссмотрим рекурсиâíóþ öåïü 2-ãî ïîðÿäêà, описыâàåìóþ óðàâнением

yn = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + b1yn−1 + b2yn−2 .

Êàноническàÿ ñõåìà этой цепи изобрàæåíà íà ðèñ. 19.55. Ââåäем переменные состояний äискретной цепи кàê ñèãíàëû q1(n)

èq2(n) íà âûõîäе элементоâ çàäержки (рис. 19.55). Из рис. 19.55 слеäóåò, ÷òî

		q	2	( n + 1) = q			( n ) ,			(19.51)
						1
		q		( n + 1) = q		0	( n ) ,			(19.52)
		1
Если учтем, что
q	0	( n ) = x		( n ) + b q ( n ) + b q				2	( n ) ,	(19.53)
				1	1		2

Ðèñ. 19.55

559

то после поäñòàíîâêè (19.53) â óðàâнение (19.52) получим систему 2-х äискретных рàзностных урàâнений, описыâàþùèõ äискретную цепь â прострàíñòâе состояния

ìq2 ( n + 1) = 0 × q2 ( n ) + 1× q1 ( n ) + 0 × x ( n ) ,

íîq1 ( n + 1) = b2 × q2 ( n ) + b1 × q1 ( n ) + 1× x ( n ).

Или обознà÷èâ
q ( n ) =		q2	( n )		; A =		0	1		; B =		0		,
		q	( n )				b	b				1
		1					2	1

(19.54)

(*)

получим урàâнение состояния äискретной цепи â ìàтричной форме:

q ( n + 1) = A × q ( n ) + B × x ( n ).

(19.55)

Óðàâнение реàêöèè öåïè y(n) можно получить по àíàëîãèè ñ (6.95) êàк линейную комбинàöèþ âекторà состояния и âекторà âîç- äåéñòâèÿ:

y ( n ) = C × q ( n ) + D × x ( n ) ,

(19.56)

ãäå C, D ìàтрицы пàðàметроâ äискретной цепи. Нàпример, äля цепи, изобрàженной нà ðèñ. 19.55 ìàтрицы C è D можно нàéòè èç óðàâнения

y ( n ) = a0q0 ( n ) + a1q1 ( n ) + a2q2 ( n ). Или с учетом (19.53)

y ( n ) = a0 [ x ( n ) + b1q1 ( n ) + b2q2 ( n ) ] + a1q1 ( n ) + a2q2 ( n ) = = (a0b1 + a1 )q1 ( n ) + (a0b2 + a2 )q2 ( n ) + a0x ( n ).

Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

C = ( a0b1 + a1 ) ( a0b2 + a2 ) ; D = a0 . (**)

Методы решения уравнений состояния дискретных систем.

Решение âî âременной облàñòè. Решение урàâнений состояния может осущестâляться кàê âî âременной облàñòè, òàê è â z-îáëàс- ти. При решении урàâнений состояния âî âременной облàсти используется рекуррентнàя процеäóðà решения рàзностноãî óðàâнения (19.55) при зàäàííîì íà÷àльном состоянии q ( 0 ) è èçâестной послеäîâàтельности âõîäíîãî ñèãíàëà x(k):

q (1) = A × q (0) + B× x (0),
q ( 2) = A × q (1) + B× x (1) = A2 × q (0) + A ×B× x (0) + B× x (1),
LLLL	(19.57)

n−1

q (n) = An × q (0) + å An−1−kB× x (k),

k=0

560