Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

A( f )			A( f )
Amin			Amin
A			A
0	fç fï	f	0	fç1 fï1	fï2 fç2 f
	A( f )
	Amin

A

0

fï1 fç1

fç2 fï2

f

Ðèñ. 19.62

Пример. Îïðåäелить переäàточную функцию äискретноãо полосоâîãî

фильтрà ñ ïàðàìåòðàìè: fä = 140 Ãö; fï1 = 15,5 Ãö; fï2 = 30 Ãö; fç1 = 7,75 Ãö; fç2 = 60 Ãö; DA = 0,5 äÁ; Amin = 40 äÁ.

Îïðåäеляем:
Wï1 = 15,5/140 = 0,110714;			Wï2 = 30/140 = 0,214286;
Wç1 = 7,75/140 = 0,055357;			Wç2 = 60/140 = 0,428571;
g = ctg[p × ( 0,214286 - 0,110714 )]				= 2,964087;
	cos[p ( 0,214286 + 0,110714 )]
a = cos[p ( 0,214286 - 0,110714 )]				= 0,551433;
W¢àç	= 2,964087	0,551433 - cos 2p × 0,055357			» -3,38 ;
		sin 2p × 0,055357
W²	= 2,964087 0,551433 - cos 2p × 0,428571				» 9,92;
àç		sin 2p × 0,428571
Wàç	= min ( 3,38; 9,92) » 3,38 .

Ïî äàííûì Wàç = 3,38, DÀ = 0,5 äÁ è Amin = 40 äÁ èç ñïðàâочникà íàõîäèì

1					1
H ( p ) = 0,484123			´			.
	p2 + 0,412569p + 1,144123			p2 + 0,996024p + 0,437016
Ïåðåäàточную функцию H(z) íàéäем, используя поäñòàíîâêó
	p = 2,964087	1 - 2 × 0,551433z−1			+ z−2
		1 - z−2

è ðàçëàãàÿ êàæäûé èç äâух полиномоâ ÷åòâертой степени (â çíàìåíàòåëå H(z)) íà множители (полиномы âторой степени):

H ( z ) =			1 − z −2				1 − z −2
	0,0035652					×			×
			1 − 0,703705z −1 + 0,684397z −2				1 − 1,155395z −1 + 0,741638z −2
			1 − z −2				1 − z −2
×				×				.
		1 − 0,378998z −1 + 0,860199z −2			1 − 1,479492z −1 + 0,907562z −2

571

19.8. Цифровые фильтры

Функциональная схема цифрового фильтра. В отличие от äискретных фильтроâ â цифроâом фильтре (ЦФ) осущестâляется обрà- áîòêà цифроâûõ ñèãíàëîâ (ðèñ. 19.1, â). Íà рис. 19.63 изобрàæåíà функционàëüíàÿ ñõåìà цифроâîé îáðàботки àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ. Àíàëîãîâûé ñèãíàë x(t) ïîäàåòñÿ íà àíàëîãо-цифроâîé преобрàçîâà- òåëü (ÀÖÏ), ãäе осущестâляется äискретизàöèÿ, êâàíòîâàние непрерыâíîãî ñèãíàëà è åãî êîäèðîâàние. В результàòå íà âûõîäе АЦП формируется цифроâîé ñèãíàë, ïðåäñòàâляющий собой послеäîâà- тельность äâоичных чисел с фиксироâàнным количестâîì ðàçðÿäîâ.

Íàпример, если отсчет имеет âеличину 30 В, то зàïèñü ÷èñëà â äâоичном 8-рàçðÿäíîì êîäå áóäåò òàêîé: 00011110. Çàêîäèðîâàí- íûå â äâоичном коäе отсчеты нà âûõîäå êîäåðà ÀÖÏ íà рисунке обознà÷åíû x ( k ) . Äàëåå äâîè÷íàя послеäîâàтельность поступàåò íà âычислительное устройстâо (ВУ), которое преäñòàâляет собой уни- âåðñàльную или специàлизироâàнную микро ЭВМ, микропроцессорное или любое äðóãîå âычислительное устройстâî. Ãëàâное состоит â òîì, ÷òî â ïàìÿòè ÂÓ äîëæíà áûòü çàïèñàíà ïðîãðàììà âычисления, нàпример, âûðàжение (19.36), и отсчеты импульсной реàêöèè, çàäàííîé öåïè. Ñëåäîâàтельно, â результàòå ðàáîòû ïðî- ãðàììû ÂÓ áóäåò âûäàâàòü çàêîäèðîâàííûå â äâоичном коäе от- счеты y ( k ) . Äàëåå äâîè÷íàÿ âûõîäíàя послеäîâàтельность посту- пàåò íà âõîä цифро-àíàëîãîâîãо преобрàçîâàòåëÿ (ÖÀÏ), ñîäåð- æàùèé äåêîäер и интерполятор. В ЦАП осущестâляется äåêîäèðî- âàíèå ñèãíàëà, â результàте формируется äискретный âûõîäíîé ñèãíàë y(kT) и после интерполяции нà âûõîäе ЦАП получàåì âû- õîäíîé àíàëîãîâûé ñèãíàë y(t).

Êàê âèäим, ВУ может сыãðàòü ðîëü ðåàльной цепи. И хотя сà- мой физической цепи â íàличии может и не быть, à çàäàíà îíà áó- äåò ëèøü â âèäе отсчетоâ импульсной реàêöèè è ïðîãðàììû âычислений, мы буäåò íàáëþäàòü íà âûõîäå îïèñàнной системы тàêîå æå âûõîäíîå íàпряжение y(t), êàê è íà âûõîäå ðåàльной цепи.

x (t)

ÀÖÏ

x (k )

y (k )

ÖÀÏ

y(t )

Кодер

ÂÓ

Декодер

Èíò

x (kT

0

t

)

x( k)

y( k)

0

kT 0

	y (kT )
	y( t)
kT	0	t

Ðèñ. 19.63

572

Ñëåäует отметить, что при цифроâîé îáðàботке ЦАП может и отсутстâîâàòü, åñëè âûõîäíîé ñèãíàë íàäо получить â цифроâой форме.

Аналогово-цифровое преобразование сигналов. Êàê ñëåäует из рис. 19.64 АЦП осущестâëÿåò äискретизàöèþ àíàëîãîâîãî ñèãíàëà, åãî êâàíòîâàíèå ïî óðîâíþ ñ øàãîì (ðèñ. 19.1, â) è êîäèðîâàние. Обычно процесс кâàíòîâàния осущестâляется оäíîâременно с еãî êîäèðîâàíèåì, â результàòå íà âûõîäе АЦП получàåì ñèãíàë, ïðåäñòàâленный â некотором цифроâîì êîäå.

Îäíèì èç îñíîâíûõ ïàðàметроâ êîäà ÿâляется еãî îñíîâàíèå, ñîîòâåòñòâующее âûáðàнной системе счисления. Близко к опти- мàльным реàлизуются äâоичные èëè áèíàðíûå êîäы, которые нà- øëè íàибольшее рàспрострàнение â ñâÿçè.

Èçâестно большое количестâî ðàзличных устройстâ преобрàçî- âàния непрерыâíîãо сообщения â áèíàðíûé êîä. Все их можно рàзбить нà òðè îñíîâíûå ãруппы: преобрàçîâàтели послеäîâàтельноãî ñ÷åòà, ïîðàçðÿäíîãî êîäèðîâàния и преобрàçîâàтели считыâà- íèÿ. Íàибольшее применение â ñâÿçè íàшли преобрàçîâàòåëè ïåð- âûõ äâóõ òèïîâ.

Принцип äåéñòâия преобрàçîâàтеля послеäîâàтельноãî ñ÷åòà ñ âременным преобрàçîâàнием иллюстрируется схемой изобрàженной нà ðèñ. 19.64 è âременными äèàãðàììàìè íà ðèñ. 19.65.

Êîäèðîâàíèå â äàнной схеме осущестâляется слеäующим обрà- çîì. Àíàëîãîâûé ñèãíàл после äискретизàöèè è êâàíòîâàíèÿ xö(t) поступàåò íà âõîä широтно-импульсноãî ìîäуляторà (ØÈÌ), íà âûõîäе котороãо формируются прямоуãольные импульсы ширинà которых пропорционàëüíà отсчету сиãíàëà xö(t) â моменты kT (ðèñ. 19.65). Äàëåå ýòîò ØÈÌ-ñèãíàë ïîäàåòñÿ íà схему «И», нà

	ÃÒÈ	Кодер
1 xö(t)	2	3
ØÈÌ	È	20 21 22 23 24
	d	Устройство	4
			ê ÂÓ
	dt	считывания

Сброс

ËÇ

Ðèñ. 19.64

Особенностью схемы «И» яâляется то, что сиãíàë íà åå âûõîäå ïîÿâляется при нà- личии нà åå âõîäàõ îäíîâременно äâóõ ñèãíàëîâ.

573

âторой âõîä которой поступàют импульсы с ãåíåðàòîðà òàêòîâîé ÷àстоты (ГТИ). Нà âûõîäе схемы «И» формируются импульсы, число которых â «ïàчке» пропорционàльно ширине импульсà. Эти импульсы поступàþò â äâоичный счетчик, ãäе число их фиксируется â äâоичной системе счисления. Зàäним фронтом ШИМ-импуль- сà çàïóñêàется устройстâо считыâàния результàòà, ñ âûõîäà котороãî êîäîâàя комбинàция поступàåò â ВУ. Считыâàние может осущестâляться послеäîâàтельно или пàðàллельно (послеäîâàтельный или пàðàллельный коä).

Íà ðèñ. 19.65 ïðèâåäåí âèä êîäîâîé ãруппы нà âûõîäе при послеäîâàтельном считыâàíèè. Äëÿ âîçâðàщения äâоичноãо счетчикà

â èñõîäное состояние нà íåãо через линию зàäержки ЛЗ с τç = τñ÷èò ïîäàåòñÿ ñèãíàл сбросà, формируемый зàäним фронтом ШИМ-им-

пульсà. С прихоäîì ñëåäóþùåãо измерительноãо импульсà ðàáîòà êîäåðà ïîâторяется.

Àíàëîãичным обрàзом можно коäèðîâàòü è àмплитуäíî-ìîäóëè- ðîâàнную импульсную послеäîâàтельность (коäер послеäîâàтельно- ãî ñ÷åòà ñ ÷àстотным преобрàçîâàíèåì). Äëÿ ýòîãî ÀÈÌ-ñèãíàë ïîäàåòñÿ íà ×Ì-ãåíåðàтор (мультиâèáðàтор), и осущестâляется счет импульсоâ ýòîãî ãåíåðàòîðà çà фиксироâàнные промежутки âремени по рàссмотренной âыше схеме.

В преобрàçîâàтелях порàçðÿäíîãî êîäèðîâàния произâîäится послеäîâàтельное срàâнение âûõîäíîãî ñèãíàëà ñ íàбором этàлонных нàпряжений, кàæäое из которых соотâåòñòâóåò îïðåäеленному

1

2	Ò	2Ò	3Ò	t

3	t

4	tç	t
		tç

0 1 2 3 4	0 1 2 3 4	0 1 2 3 4	0 1 2 3 4	t
	Ðèñ. 19.65

574

ðàçðÿäó êîäà.  êà÷åñòâå ýòàлонных нàпряжений используется ãеометрическàÿ ïðîãрессия âèäà

2E0 ; 2E1 ; 2E2 ; K 2NE−1 ,

ãäå N число рàçðÿäîâ â áèíàðíîì êîäе. Причем E > umax, ãäå umax ìàêñèìàëüíî âозможное знàчение коäирующеãî ñèãíàëà.

Ïðè ïîðàçðÿäíîì êîäèðîâàíèè âíà÷àле формируется стàðøèé ðàçðÿä êîäà путем срàâнения u(t) ñ E2 (íàпример, если u (t ) … E2, то формируется симâîë «1», â протиâíîì ñëó÷àå

«0»). Îäíîâременно нà âûõîäе схемы срàâнения обрàзуется нà- пряжение u ( t ) − E2 ïðè u (t ) … E2 èëè u(t) ïðè u (t ) < E2. Çà-

òåì óêàçàííàя процеäóðà ïîâторяется с полученным нàпряжением äëÿ ýòàлонноãî íàпряжения E4 è ò.ä. В результàòå N ñðàâнений получàåòñÿ ñèìâîë ñàìîãî ìëàäøåãî ðàçðÿäà.

Цифро-аналоговое преобразование. Преобрàçîâàние цифроâûõ ñèãíàëîâ â àíàëîãîâый осущестâляется с помощью рàзличных цифро-àíàëîãîâûõ преобрàçîâàтелей (ЦАП). В осноâе простейшеãо ЦАП лежит принцип äâоично-âçâешенноãî суммироâàíèÿ íàпряжений или токоâ. Íà рис. 19.66 изобрàжены схемы простейших ЦАП нà áàзе резистиâных цепей.

 ÖÀÏ ñ äâоично-âåñîâыми резисторàìè (ðèñ. 19.66, à) требуется меньшее число резистороâ, îäíàко при этом необхоäим целый ряä номинàëîâ прецизионных сопротиâлений. Анàëîãîâîå âûõîä- íîå íàпряжение Uàí ÖÀÏ îïðåäеляется кàк функция äâухуроâíå- âûõ âõîäíûõ íàпряжений:

Uàí = (UA + 2UB + 4UC + K)(1 + 2 + 4 + K).

Íà цифроâûõ âõîäàõ UÀ, UÂ, UÑ ... íàпряжение может принимàòü ëèøü äâà фиксироâàííûõ çíàчения, нàпример, либо 0, либо 1.

Äëÿ ÖÀÏ, â котором используются резисторы R è R2, требуется больше резистороâ (ðèñ. 19.66, á), но только с äâумя номинà- ëàìè. Àíàëîãîâîå íàпряжение нà âûõîäå òàêîãî ÖÀÏ îïðåäеляется по формуле

Ðèñ. 19.66

575

Uàí = (UA + 2UB + 4UC + K + mUn )2n ,

ãäå n число рàçðÿäîâ ÖÀÏ; m коэффициент, зàâисящий от числà ðàçðÿäîâ ÖÀÏ.

Для обеспечения âысокой точности рàботы резистиâíûå öåïè ÖÀÏ äолжны рàáîòàòü íà âысокоомную нàãрузку. Чтобы соãëàñî- âàть резистиâные цепи с низкоомной нàãрузкой, используют буферные усилители нà îñíîâå îïåðàционных усилителей, покàçàí- íûå íà ðèñ. 19.66, à, á.

Интерполяторы. Íà âûõîäå ÖÀÏ ñèãíàл обычно имеет форму послеäîâàтельности импульсоâ ìîäулироâàííûõ ïî àмплитуäå (ÀÈÌ-ñèãíàë). Äëÿ âîññòàíîâления (äåìîäуляции) из АИМ-после- äîâàтельности àíàëîãîâîãî ñèãíàëà äîñòàточно использоâàòü ÔÍ× ñ ÷àстотой срезà ωñ = 2π/Ò, ãäå Ò ÷àñòîòà äискретизàции АИМсиãíàëà. Сущестâуют и более сложные интерполирующие устройстâà, которые описàíû â специàльной литерàòóðå.

 çàключение слеäует отметить, что â ñâязи с бурным рàçâитием âычислительной, микропроцессорной техники цифроâûå ìåòîäû îáðàботки сиãíàëîâ получàþò âсе большее рàспрострàнение. Они имеют более широкие âозможности реàëèçàции сложных и эффектиâíûõ àëãоритмоâ îáðàботки сиãíàëîâ, которые â большинстâå ñâîåì íåäоступны äëÿ ðåàëèçàöèè àíàëîãîâыми цепями.

Ìàòåìàтически рàáîòà цифроâîãо фильтрà может быть описàíà óðàâнением, àíàëîãичным урàâнению (19.39), описыâàющему рàáîòó äискретноãо фильтрà. Îäíàêî èç-çà êâàíòîâàíèÿ ñèãíàëà è âåñî- âых коэффициентоâ ak è bk àëãоритм (19.39) лишь приближенно описыâàåò ðàботу цифроâîãо фильтрà. Ñëåäóåò òàкже учитыâàòü, ÷òî îïåðàöèÿ êâàíòîâàíèÿ ñèãíàëà ÿâляется нелинейной, â ñâязи с чем цифроâой фильтр, реàлизующий àëãоритм (19.39) яâляется, строãî ãîâоря, нелинейной цепью, к которой неприменимы метоäû àíàëèçà и синтезà линейных цепей. Оäíàко учитыâàя, что число рàçðÿäîâ цифроâûõ êîäîâ âûáèðàåòñÿ äîñòàточно большим, то полученный кâàíòîâàííûé ñèãíàл можно считàть приближенно äискретным, à цифроâые фильтры, реàлизующие àëãоритм (19.39) приближенно äискретными линейными устройстâàìè. Ýòî ïîçâоляет сущестâенно упростить зàäà÷ó àíàëèçà и синтезà цифроâых фильтроâ, ñâåäÿ èõ ôàктически к äискретным линейным фильтрàм. Эффект же кâàíòîâàíèÿ è îêðóãления â цифроâых фильтрàх обычно учитыâàåòñÿ îòäельно.

19.9 Эффект квантования в цифровых фильтрах

При проектироâàнии цифроâых фильтроâ âàæíûì ÿâляется àñ- ïåêò ó÷åòà эффектà êâàíòîâàíèÿ, ïðèâîäÿùèé ê îïðåäеленным по- ãрешностям при обрàботке сиãíàëîâ.

576

Ðàçëè÷àþò òðè îñíîâных источникà ïîãрешности сиãíàëà â цифроâых фильтрàõ [Ðàбинер Л., Гоулä Б. Теория и применение цифроâîé îáðàботки сиãíàëîâ. Ì.: Ìèð, 1978, 848 ñ.]:

1)ïîãрешности, обуслоâленные кâàíòîâàнием коэффициентоâ фильтрà;

2)øóìû ÀÖÏ;

3)øóìû êâàíòîâàния результàòîâ àрифметических оперàöèé ÂÓ.

Ïîãрешность перâîãî òèïà âозникàåò èç-çà ïðåäñòàâления коэффициентоâ ak è bk àëãоритмà цифроâîãо фильтрà конечным числом рàçðÿäîâ, ÷òî ïðèâîäèò ê èñêàжению чàстотных хàðàктеристик цифроâîãо фильтрà. Это обстоятельстâо обычно учитыâàåòñÿ íà ýòàпе проектироâàния фильтрà.

Второй âèä ïîãрешности, обуслоâленный поãрешностью преä- ñòàâления àíàëîãîâîãî ñèãíàëà â ÀÖÏ ïðè åãî êâàíòîâàíèè, íàçû- âàют шумом кâàíòîâàíèÿ.

Íàконец, третий тип поãрешности âûçâàí òåì, ÷òî àрифметиче- ские оперàции, осущестâляемые соãëàñíî àëãоритмà (19.39), âы- полняются с опреäеленной точностью, зàâисящей от числà ðàçðÿ- äîâ ÂÓ.

Погрешности квантования коэффициентов ЦФ.

Çíàчения коэффициентоâ ak è bl цифроâîãо фильтрà êâàнтуются â ВУ, при этом точные знàчения коэффициентоâ ak è bl çàìåíÿ-

		%		%
	ют их приближенными знàчениями ak è				bl :
	%						ü
	ak = ak + dak , k =			1,N,ï				(19.72)
	%						ý
		= bl + db , l = 1,M,
	bl						ï
		l					þ

ãäå δak , δbl ïîãрешность кâàíòîâàния коэффициентоâ цифроâîãо фильтрà.

Ïðè ýòîì ïåðåäàòî÷íàя функция фильтрà (19.41) принимàåò

âèä:

N

±

å a%kz−k

(

z

)

=

k=0

H

M %

.

(19.73)

−l

1 - å blz

l=1

Ñëåäует отметить, что

изменение

коэффициентоâ

%

è

%

â

ak

bl

(19.73) ïðèâîäит к изменению положения нулей и полюсоâ ïåðåäà- точной функции ЦФ, à, ñëåäîâàтельно, к искàжению АЧХ и ФЧХ и äàже потере устойчиâîñòè ÖÔ.

Пример. Ðàссмотрим переäàточную функцию äискретной цепи

H ( z ) =		1 − z−2		.
		− 1,8z−1	+ 0,97z−2
1

577

è b%k

Полюсы этой переäàточной функции комплексно-сопряженные z1,2 = 0,9 ±

± j 0,4, ò.å. ëåæàò âнутри еäиничной окружности: z1 = z2 < 1, поэтому äискретнàя цепь устойчиâà.

Осущестâèì êâàíòîâàние коэффициентоâ b1 è b2, îêðóãëèâ èõ çíàчения äî
%	%	= 1. При этом полюсà áóäóò âещестâенными: z1	= 1,5 ,
âеличин: b1	= 2,b2

z2 = −3,5, ò.å. ëåæàò çà ïðåäåëàìè åäиничной окружности, поэтому цепь буäет неустойчиâîé.

Ñëåäóåò ïîäчеркнуть, что, несмотря нà òî, ÷òî ñàìà îïåðàöèÿ êâàíòîâàíèÿ ÿâляется нелинейной цифроâой фильтр остàется линейной цепью, но с хàðàктеристикàìè, îïðåäеляемыми функцией (19.73). Очеâèäно, что при проектироâàнии ЦФ коэффициенты ak

è bk äолжны быть âûáðàíû òàêèì îáðàзом, чтобы хàðàктеристики

цифроâîãо фильтрà ñ êâàíòîâàнными коэффициентàìè % ak

óäîâëåòâоряли зàäàнным требоâàниям. Для оценки âлияния эффектà êâàíòîâàния коэффициентоâ ЦФ может быть использоâàíà функция чуâñòâительности (см. п. 16.4).

Шумы квантования. Ïðè êâàíòîâàíèè ñèãíàëà минимàльный шàã êâàíòîâàíèÿ (ðàсстояние межäу смежными рàзрешенными уроâíÿìè) ñîîòâåòñòâóåò åäинице млàäøåãî äâоичноãî ðàçðÿäà. Причем, поскольку при кâàíòîâàнии происхоäèò îêðóãление знà÷å- íèé ñèãíàëà äî áëèæàéøåãî äискретноãî óðîâíÿ, òî ïîÿâляются

ошибки окруãления		ε		„ 2. Åñëè x(t) èçâестен неточно, то ε
ÿâляется случàéíîé	âеличиной и при мàëîì				ðàñïðåäелено	ïî
ðàâномерному зàкону. Послеäîâàтельность знàчений ошибки						ε,

âозникàþùåé ïðè êâàíòîâàíèè äискретноãî ñèãíàëà x(kT) îáðàçóåò äискретный случàйный процесс ε(kT) íàçûâàåìûé шумом кâàíòî- âàíèÿ (ðèñ. 19.67).

Дисперсия шумà êâàíòîâàíèÿ îïðåäеляется äëÿ ðàâномерноãî çàêîíà ðàñïðåäеления p(ε) формулой

x(t)
0	T	2T	3T	kT	t
ε(kT)
0	T	2T	3T	kT	kT
			Ðèñ. 19.67

578

σε2 =	2	2
	ò ε2p ( ε ) dε =	12	.	(19.74)
−	2
Åñëè øàã êâàíòîâàíèÿ	ìàë, òî ñîñåäíèå çíàчения ε(kT) можно

ñ÷èòàть некоррелироâàнными.

Øóì êâàíòîâàíèÿ ÿâляется оäíèì èç ãëàâных источникоâ ïî- ãрешности цифроâîé îáðàботки сиãíàëà. Øóì íà âûõîäе цифроâî- ãо фильтрà ξ(kT) ïðè óñëîâии некоррелироâàнности отсчетоâ ε(kT) можно опреäелить соãëàñíî (19.36)

∞
ξ ( nT ) = å ξ ( kT ) h ( nT − kT ).	(19.75)

k=0

Îòêóäà с учетом (19.75) получим äëÿ äисперсии шумà íà âûõîäе цифроâîãо фильтрà:

σξ2 =	2	∞	( nT − kT ) =	2	∞	( kT ).	(19.76)
		å h2			å h2
	12 k=0			12 k=0

Поскольку äля ЦФ обычно âыполняется услоâèå (19.37), òî äисперсия шумà êâàíòîâàíèÿ íà âûõîäå σ2ξ âñåãäà конечнà.

Ошибки округления. Ïðè îáðàботке цифроâîãî ñèãíàëà â ÂÓ âозникàþò äополнительные ошибки окруãления (усечения). Дейст- âительно, если при использоâàíèè â ВУ чисел с фиксироâàííîé çàпятой сложение чисел не приâîäèò ê óâеличению рàçðÿäîâ, то при умножении число рàçðÿäîâ âîçðàñòàåò è âозникàет необхоäи- мость окруãления результàòà, что естестâåííî ïðèâîäит к ошибкàì íàçûâàåìûì ошибкàìè îêðóãления. Ïî ñâîåìó õàðàктеру эти ошибки àíàëîãè÷íû øóìó êâàíòîâàíèÿ. Äëÿ èõ ó÷åòà обычно â схему ЦФ äополнительно ââîäят источники шумà ei(kT), число которых рàâно числу умножителей. Нà рис. 19.68 изобрàæåíà ñõåìà рекурсиâíîãî ÖÔ çâåíà 1-ãî ïîðÿäêà с учетом источникоâ øóìà îêðóãления.

Источники шумà e(kT) имеют оäèíàêîâóþ äисперсию σ2 =

=2 12, ãäå îïðåäеляется числом используемых рàçðÿäîâ. Åñëè

принять, что источники e0(kT), e1(kT) è e2(kT) íåçàâисимы, то äисперсия суммàðíîãî øóìà îêðóãления буäåò ðàâíà

σ2î = 3σ2 = 24.

Äëÿ äðóãой схемы реàëèçàции ЦФ результирующàÿ σ2î âычисляется â çàâисимости от тоãî, êóäà áóäåò ïîäключен источник шу- мà e(kT) è â общем случàе может быть нàéäен по формуле (19.76) или с учетом ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ

	∞	( kT ) =	1			H ( z ) H (1 z )			dz
	å h2									(19.77)
			2πj						z
	k=0					z		=1

579

e0(kT )

x (kT)

y (kT)

a0

+

+

T

T

a1

+

+

b1

e1(kT )

e2(kT )

Ðèñ. 19.68

èç óðàâнения

H ( z ) H (1 z ) dz .

sξ2 =

D2

×

1

(19.78)

2pj

12

z

=1

z

Пример. Îïðåäелить äисперсию шумà íà âûõîäå sξ2 ÖÔ 1-ãî ïîðÿäêà ñ

ïåðåäàточной функцией

H ( z ) =

a

.

- bz−1

1

Äëÿ íàõîæäåíèÿ sξ2 âоспользуемся формулой (19.78):

2

D2

1

a2

D2

1

sξ

= 12 ×

dz =

12 ×

.

2pj

(1 - bz ) ( z - b )

1 - b2

z

=1

Кроме ошибок кâàíòîâàíèÿ è îêðóãления при синтезе ЦФ âозникàют ошибки, âûçâàнные неточными знàчениями пàðàметроâ фильтрà. Эти ошибки особенно опàñíû â рекурсиâных фильтрàõ âысокоãî ïîðÿäêà, ò.ê. ìîãóò ïðèâести к потере устойчиâости ЦФ, поэтому обычно используют зâåíüÿ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ (см. § 19.5). Кроме рàссмотренных âыше при синтезе ЦФ âозникàþò åùå ðÿä äополнительных яâлений, приâîäÿùèõ ê ïîãрешности цифроâой фильтрàöèè. Ê íèì, íàпример, относятся тàê íàçûâàå- ìûå ïðåäельные циклы низкоãî óðîâíÿ, ïðåäñòàâляющие собой периоäические колебàíèÿ, âозникàþùèå íà âûõîäе ЦФ при низком âõîäíîì ñèãíàле и обуслоâленные окруãлением результàòîâ âычисления. Все эти яâления и ошибки поäробно исслеäуются â специ- àльной литерàòóðå.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Почему нельзя произâольно âûáèðàть интерâàë äискретизàöèè?

580