Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

in + 1

in +1

un +1

G=Ñ/ t

iã=Ñ/

t uë

un+ 1

G= t/L

iã=ií

à)

á)

Ðèñ. 2.24

i

=

t u

n+1

−

t u

= Gu

n+1

− Gu

,

n+1

L

L

n

n

ãäå G = t/L.

Íà ðèñ. 2.24, á ïîêàçàíà ýêâèâàлентнàÿ äискретнàÿ ñõåìà çà- мещения L-элементà.

Использоâàíèå äискретных моäелей элементоâ ïîçâоляет сâåñòè RLC-öåïü ê ñîîòâåòñòâующей резистиâной цепи, что сущестâенно упростит их мàшинный àíàëèç.

Вопросы и задания для самопроверки

1.Принцип состàâления урàâнений метоäîì çàêîíîâ Êèðõãîôà.

2.Êàêèå òîêè è íàпряжения остàются неизменными при перехоäå îò ñîåäинения «треуãольникà» â «çâåçäó» è îáðàòíî?

3.×åì îïðåäеляется количестâî ÷àстичных схем при рàсчете токоâ â öåïè ìåòîäîì íàложения?

4.Êàêèå çàêîíû Êèðõãîôà используются при состàâлении урàâнений по метоäàм контурных токоâ è óçëîâûõ íàпряжений?

5.Ðàссчитàòü òîêè âåòâåé â öåïè ðèñ. 2.26 ìåòîäàìè íàложения зà- êîíîâ Êèðõãîôà, контурных токоâ, óçëîâûõ íàпряжений, если

èçâестно, что: Uã1 = 5 Â; Uã3 = 10 Â; J = 0,5 À; R1 = R2 = R3 = = 10 Îì.

Îòâåò: I1 = 0,5 À; I2 = 0 À; I3 = 1 À.

6.Êàкие теоремы используются при опреäелении токà â îòäельно âзятой âåòâè ìåòîäîì ýêâèâàлентноãî ãåíåðàòîðà?

7.Ìåòîäîì ýêâèâàлентноãî ãåíåðàòîðà â öåïè ðèñ. 2.24 îïðåäелить

сопротиâление R5, êîãäà â íåì âûäеляется мàêñèìàëüíàя мощность, если U = 3 Â; J = 0,5 À; R1 = R2 = R3 = R4 = = 2 Îì.

Îòâåò: R5 = 3,33 Îì; Ð = 216 ìÂò.

8. ñîãëàñîâàííîì èëè íåñîãëàñîâàнном режиме рàáîòàþò âысокоточные àттенюàторы и почему?

71

R1		Uã	3 +		R4
						+
+				R1	R	U
						2
Uã1	R2	J	R3	J
I	I2		I3	R3	R
						5
1
	Ðèñ. 2.25			Ðèñ. 2.26

9.Îïðåäелить â àттенюàторе, изобрàженном нà рис. 2.15, резисторы R1 è R2, åñëè èçâестно что R0 = 50 Îì; Ê = 0,1.

Îòâåò: R1 = 450 Îì; R2 = 5,55 Îì.

10.×åì îïðåäеляются коэффициенты переäà÷è ìàñøòàбных усилителей, âключенных по инâертирующей и неинâертирующей схемàì?

11.Äëÿ êîíâерторà отрицàтельноãо сопротиâления, изобрàженноãî

íà ðèñ. 2.21, îïðåäелить R1, åñëè Râõ = 1 êÎì; Rí = 50 Îì; R2 = 500 Îì.

Îòâåò: R1 = 25 Îì.

12.В чем особенности àëãоритмоâ àíàëèçà линейных резистиâных цепей нà ÝÂÌ ìåòîäîì óçëîâых потенциàëîâ?

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ В РЕЖИМЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИИ

3.1.Гармонические колебания. Основные понятия

èопределения

Электрические цепи моãóò íàõîäиться поä âîçäåéñòâием постоянных или переменных нàпряжений и токоâ. Ñðåäè ýòèõ âîçäåéñò- âèé âàжнейшую роль иãðàþò ãàрмонические колебàния. Послеäние широко используются äëÿ ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ и электрической энерãèè, à òàêæå ìîãут применяться â êà÷åñòâе простейшеãî èñïû- òàтельноãî ñèãíàëà. Исслеäîâàние режимà ãàрмонических колебà- íèé âàæíî è ñ ìåòîäической точки зрения, поскольку àíàлиз электрических цепей при неãàрмонических âîçäåéñòâиях можно сâåñòè ê àíàëèçó öåïè îò ñîâокупности ãàрмонических âîçäåéñòâий. В этом смысле метоäèêó àíàëèçà è ðàñ÷åòà цепей при ãàрмонических âîçäåéñòâиях можно рàспрострàíèòü è íà цепи при периоäических несинусоиäàльных, à òàкже непериоäических âîçäåéñòâèÿõ (ñì. ãë. 5, 9).

72

Ãàрмоническое колебàíèå i(t) (ðèñ. 3.1) õàðàктеризуется слеäующими осноâíûìè ïàðàìåòðàìè: àмплитуäîé Iò; óãëîâîé ÷àстотой ω, íà÷àльной фàçîé ϕi. Амплитуäîé íàçûâàþò ìàêñèìàльное àбсолютное знàчение токà i(t). Àíàлитически ãàрмоническое колебàние можно зà- ïèñàòü â âèäå

	i(t)	T
	Im
	ϕi /ω	t
		Ðèñ. 3.1

i( t ) = Im sin ( ωt + ϕi ) = Im sin Ψi ( t )

(3.1)

ãäå Ψi(t) = ωt + ϕi íàçûâàåòñÿ текущей фàçîé (или просто фàçîé) ãàрмоническоãо колебàíèÿ, òàê êàê îíà ðàстет линейно âî âремени с уãëîâой скоростью ω = dΨi/dt. Вместо формулы (3.1) ãàрмоническое колебàние можно âûðàçèòü è â косинусоиäàльной форме:

i( t ) = Im cos ( ωt + ϕ′i ),

(3.2)

ãäå ϕi′ = ϕi +π/2.

Íàименьший промежуток âремени, по истечении котороãî çíàчения функции i(t) ïîâторяются, нàçûâàåòñÿ периоäîì Ò. Ìåæäу перио- äîì Ò è óãëîâîé ÷àстотой ω сущестâует простàÿ ñâÿçü:

T = 2π ω.

(3.3)

Величину, обрàтную периоäó, íàçûâàþò циклической чàстотой: f = l/T. Èç âышеизложенноãî ñëåäóåò, ÷òî ω = 2πf. Åäиницей измерения чàстоты f ÿâляется ãåðö (Ãö), óãëîâîé ÷àстоты ω ðàäè- àí â секунäó (ðàä/ñ). Òàê êàê ðàäèàí âеличинà áåçðàзмернàÿ, òî [ω] измеряется â 1/ñ èëè ñ 1.

 ðàäиотехнике и электросâязи используют ãàрмонические сиã- íàëû îò äîëåé ãåðö (èíôðàнизкие чàстоты) äî äесяткоâ и сотен ãè- ãàãåðö (ñâåðõâысокие чàстоты).

Äëÿ ïèòàíèÿ ðàзличных электроэнерãетических устàíîâîê â России и ряäå äðóãèõ ñòðàн принятà промышленнàÿ ÷àñòîòà f = 50 Ãö.  êà÷åñòâе источникоâ ãàрмонических колебàний промышленной чàстоты используются электромàшинные ãåíåðàòîðû ðàзличноãî òèïà. Принцип рàботы простейшеãо электромàшинно- ãî ãåíåðàòîðà иллюстрирует рис. 3.2. В состàâ ãåíåðàòîðà âõîäÿò: ñòàòîð, ñîçäàþùèé ìàãнитное поле с мàãнитной инäукцией Â, и ротор, âðàùàющийся â ýòîì ìàãнитном поле с уãëîâîé ÷àстотой ω. При пересечении âèòêàìè êàтушки роторà ìàãнитноãо потокà Ô â íèõ ñîãëàñíî çàкону электромàãнитной инäукции нàâîäèòñÿ ÝÄÑ

	e = −	dΨ	= −w	dΦ	,	(3.4)
		dt		dt

73

Ðèñ. 3.2

	Статор			ãäå Ψ	= wÔ	потокосцепление
		N		êàтушки с мàãнитными потокàìè; w
				число âèòêîâ êàтушки. При пос-
	ϕ	ϕ		тоянной	скорости	âðàщения роторà
				äля получения ЭДС синусоиäàльной
		ω	Ротор	формы применяются полюсà специ-
	Â			àльной формы. Чàñòîòà íà âûõîäå ãå-
				íåðàòîðà
					f = pnv 60 ,
		S		ãäå ðï число пàр полюсоâ роторà;
	Статор			v ÷àñòîòà âðàщения роторà, îá/ìèí.

Электромàшинные ãåíåðàторы используются äля получения ãàрмони- ческих нàпряжений и токоâ íå âûøå

5...8 кГц. Для получения ãàрмонических сиãíàëîâ более âысоких чàстот обычно используются лàìïîâые и полупроâîäíèêîâûå ãåíå- ðàòîðû (ñì. ãë. 15).

Âàжными пàðàìåòðàìè ãàрмонических колебàíèé ÿâляются их äåéñòâующее и среäíåå çíàчения. Дейстâующее знàчение ãàрмоническоãî òîêà

			1	T
	I =			ò i2dt .		(3.5)
			T
				0

Çäåñü i = i(t) ìãíîâенное знàчение ãàрмоническоãî òîêà, êî-

торое опреäеляется из âûðàжения
i = Im sin ( ωt + ϕi ) .	(3.6)

Ïîäñòàâèâ çíàчение i èç (3.6) â (3.5), после интеãðèðîâàíèÿ äëÿ

äåéñòâóþùåãî çíàчения токà получим
I = Im		≈ 0,707Im .	(3.7)
	2
Àíàëîãè÷íî (3.1) (3.5) îïðåäеляется мãíîâенное			è äåéñòâóþ-

ùåå çíàчения нàпряжения. Тàê, äëÿ äåéñòâóþùåãî çíàчения нà- пряжения можно зàïèñàòü:

U ≈ 0,707Um .

Дейстâующие знàчения токоâ è íàпряжений нàçûâàþò åùå èõ

ñðåäíåêâàäðàтическими знàчениями.

Îïðåäелим теплоâóþ ýíåðãию, которàÿ âûäеляется ãàрмониче- ским колебàíèåì i(t) çà периоä Ò â резистиâном элементе с сопротиâлением R:

T	T
WR = ò pdt = ò Ri2dt = TRI2 .		(3.8)
0	0

74

Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâующее знàчение токà численно рàâíî òàкому постоянному току, который зà периоä Ò íà том же сопротиâлении âûäеляет то же количестâî òåïëà, ÷òî è ãàрмонический ток.

Ñðåäíåå çíàчение ãàрмоническоãî òîêà

	1	T
I =	T	ò	idt .	(3.9)
ñð
		0

Ïîäñòàâèâ çíàчение i èç (3.6) â (3.9), íàõîäèì, ÷òî Iñð = 0. Этот результàò âполне понятен, если учесть, что урàâнение (3.9)

îïðåäеляет площàäü, îãðàниченную криâîé i(t) çà периоä Ò (ñì. ðèñ. 3.1). Åñëè çíàчение токà îïðåäелено зà полпериоäà, то можно

	çàïèñàòü:
			2	T 2	2I
	Iñð(1)	=		ò idt =	m	» 0,637Im .	(3.10)
			T
				0	p

Àíàëîãè÷íî îïðåäеляем, что Uñð(1) » 0,637Um.

3.2. Способы представления гармонических колебаний

Ãàрмонические колебàния можно преäñòàâèòü ðàзличными способàми: функциями âремени (âременные äèàãðàììû) (ñì. ðèñ. 3.1); âðàùàющимися âекторàìè (âекторные äèàãðàммы); комплексными числàìè; àмплитуäíûìè è ôàçîâыми спектрàми. Тот или иной способ преäñòàâления применяется â çàâисимости от хà- ðàêòåðà ðåøàåìûõ çàäà÷.

Временное преäñòàâление ãàрмонических колебàíèé íàãëÿäíî, îäíàêî åãо использоâàíèå â çàäà÷àõ àíàëèçà цепей зàòðóäнительно, тàê êàк требует проâåäåíèÿ ãромозäêèõ òðèãонометрических преобрàçîâàний. Более уäîáíî âекторное преäñòàâление ãàрмони- ческих колебàний, при котором кàæäому колебàíèþ ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âðàùàющийся âектор опреäеленной äëèíû ñ çàäàííîé íà÷àльной фàçîé.  êà÷åñòâе примерà íà ðèñ. 3.3 ïîêàçàíî âекторное преäñòàâление äâух колебàíèé òîêîâ i1 è i2:

	i	= I	sin (wt + j	1	) ü
	1	m1			ï	(3.11)
	i	= I	sin (wt + j2 )ý
	2	m2			þ
					ï

Их сумму i3 ëåãко можно нàйти по формулàм суммироâàíèÿ

âектороâ:

i

= i

+ i

= I

sin (wt + j

3

),

(3.12)

ãäå

3

1

2

m3

;

I

=

I2

+ I2

+ 2I I

cos (j

2

- j

1

)

m3

m1

m2

m1 m2

j3 = arctg

Im1 sin j1

+ Im2 sin j2

.

Im1 cos j1

+ Im2 cos j2

75

	j	Im3	Величинà ϕ =				ϕ2 ϕ1 íàçûâàåòñÿ
	Im2		ôàçîâûì ñäâèãîì ìåæäу колебàниями
	ϕ		i1 è i2. Îí îïðåäеляется только нà÷àëü-
			íûìè ôàçàìè ϕ1			è ϕ2 è íå çàâèñèò îò
	Im1
			íà÷àëà	отсчетà âремени. Нетруäíî âè-
	ϕ3		äåòü,	÷òî	суммироâàíèå			(íàложение)
	ϕ ϕ2
	1		ëþáîãî ÷èñëà ãàрмонических колебàíèé
	0	+
			ñ ÷àстотой ω ïðèâîäèò ê ãàрмоническому
	Ðèñ. 3.3
			колебàíèþ òîé æå ÷àстоты ω.
			Ñîâокупность âектороâ, изобрàæà-
	þùèõ ãàрмонические колебàíèÿ â электрической цепи, нàçûâàþò
	âекторной äèàãðàììîé. Векторные äèàãðàммы можно строить кàê
	äëÿ àмплитуäíûõ, òàê è äëÿ äåéñòâующих знàчений токоâ è íà-
	пряжений.
	Íàиболее рàспрострàненными яâляются преäñòàâления ãàðìî-
	нических колебàний с помощью комплексных чисел. Эти преäñòàâ-
	ления лежàò â îñíîâå ñèìâолическоãî ìåòîäà ðàñ÷åòà электриче-
	ских цепей ìåòîäà комплексных àмплитуä. Ïðåäñòàâèì òîê i,
	îïðåäеляемый формулой (3.6), нà комплексной плоскости. Для
	ýòîãо изобрàçèì âектор Im íà комплексной плоскости с учетом нà-
	÷àльной фàçû ϕi, (ðèñ. 3.4, à). Çíàком «+» обознàчено положи-
	тельное нàïðàâление âещестâенной оси, à j =						−1 положитель-
	íîå íàïðàâление мнимой оси. Буäåì âðàùàòü ýòîò âектор â ïîëî-
	жительном нàïðàâлении (протиâ ÷àñîâой стрелки) с уãëîâîé ÷àñ-
	тотой ω. Òîãäà â любой момент âремени положение âðàùàþùåãîñÿ
	âекторà îïðåäелится комплексной âеличиной (комплексным ãàðìî-
	ническим колебàíèåì):

i( t ) = Imej(ωt+ϕi) = Im cos(ωt + ϕi) + jIm sin (ωt + ϕi) (3.13)

Ïåðâàÿ ÷àñòü ñëàãàåìîãî (3.13) îòðàæàет проекцию âðàùàþùåãî- ñÿ âекторà íà âещестâенную ось, à âòîðàÿ ÷àñòü íà мнимую ось. Срàâíèâ âторое слàãàåìîå â (3.13) с (3.6), прихоäèì ê âû- âîäу: синусоиäàльный ток i íà комплексной плоскости преäñòàâ-

j			e jωt }
I	{ I	m
	m
			Im
	ϕ
0			+
	Re{ Ime jωt }

a)

	j	ω
-Im*/2
	Im/2
	ϕ
	0		+
	I *	/2	−ω
	m
	á)

Ðèñ. 3.4

76

ляется â форме проекции нà мнимую ось âðàùàþùåãîñÿ âекторà (3.13)

i = Im é	j (ωt+ϕi) ù			= Im é	jωt ù	,	(3.14)
ë Ime			û	ë Ime	û
ãäå Im ñîêðàщенное обознàчение слоâà Imaginarins (мнимый);
	I	m	= I ej ϕ i .				(3.15)
			m

Величинà Im носит нàçâàíèå комплексной àмплитуäû òîêà. Âàæíûì ñâîéñòâом комплексной àмплитуäû ÿâляется то, что

îíà полностью опреäеляет ãàрмоническое колебàíèå çàäàííîé ÷àñ- òîòû w, òàê êàê ñîäержит информàöèþ îá åãî àмплитуäå è íà- ÷àльной фàçå.

Åñëè ãàрмоническое колебàíèå çàäàåòñÿ â форме косинусоиäû,

íàпример
i = Im cos(wt + ji) ,	(3.16)

òî íà комплексной плоскости этому току соотâåòñòâует проекция âекторà (3.13) íà âещестâенную ось:

i = Re é	j (ωt+ϕi) ù	= Re é	jωt ù	,	(3.17)
ë Ime	û	ë Ime	û

ãäå Re ñîêðàщенное обознàчение слоâà Realis (äåéñòâительный, âещестâенный).

Возможнà è äðóãàÿ ôîðìà ïðåäñòàâления ãàрмонических коле- бàíèé íà комплексной плоскости. Учтем, что соãëàсно формулàì

Эйлерà

cos ji

= (ejϕi + e− jϕi ) 2; sin ji

= (ejϕi

- e− jϕi ) 2j .

(3.18)

Òîãäà óðàâнение äëÿ òîêà i из (3.6) можно зàïèñàòü â âèäå

i =

Im

é

j(ωt+ϕi)

- e

− j(ωt+ϕi) ù

=

1 é

Im

e

jωt

-

I*m

e

− jωt

ù .

(3.19)

ê

2j

ëe

û

2

2

ú

j ë

û

Àíàëîãè÷íî äëÿ òîêà i èç óðàâнения (3.16):

i =

Im

é

j(ωt+ϕi)

+ e

− j(ωt+ϕi)

ù = é

Im

e

jωt

+

I*m

e

− jωt ù

,

(3.20)

2

ëe

û

ê

2

2

ú

ë

û

ãäå I*

= I e− jϕi

сопряженнàя комплекснàÿ àмплитуäà òîêà.

m

m

Òàêèì îáðàçîì, òîê i èç (3.6) ñîãëàсно (3.19) можно преäñòà- âèòü êàê ãеометрическую рàзность âектороâ Im/2 è Im*/2, âðàùàю- щихся â протиâоположных нàïðàâлениях с уãëîâîé ÷àстотой w, à

òîê èç (3.16)	êàê	ãеометрическую сумму этих âектороâ
(ðèñ. 3.4, á). Â	ïåðâîì	ñëó÷àå i ðàñïîëàãàåòñÿ íà мнимой, à âî

âтором случàå íà äåéñòâительной осях. Комплексную àмплитуäу синусоиäàльной функции зàäàííîé ÷àстоты можно рàññìàòðèâàòü êàк преобрàçîâàíèå âременной функции â ÷àстотную облàñòü.

77

Im

ϕ

Im1

ϕ1

0	a)	ω1	ω		0	ω1	ω
						á)

Ðèñ. 3.5

Спектрàльное (чàстотное) преäñòàâление ãàрмонических коле- бàний состоит â çàäàíèè àмплитуäíîãî è ôàçîâîãо спектроâ êîëå- áàния (рис. 3.5). Более поäробно спектрàльное преäñòàâление и метоäû àíàëèçà цепей, осноâàííûå íà ýòîì ïðåäñòàâлении, рàс- смотрены â ãë. 5, 9.

3.3.Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и емкостных элементах

Резистивные цепи. Пусть к резистиâному элементу R приложено ãàрмоническое нàпряжение

			u = U sin ( wt + j			u		).			(3.21)
			m
Ñîãëàñíî çàêîíó Îìà через элемент R áóäет протекàòü òîê
i =	u	= Um sin (wt + j		u	) = I		sin (wt + j		i	),	(3.22)
	R	R			m

ãäå Im = Um/R àмплитуäà; ji = ju íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà. Òà- êèì îáðàçîì, òîê i è íàпряжение è â резистиâном элементе соâïà-

äàþò ïî ôàçå äðóã ñ äðóãîì (ðèñ. 3.6, à). Ñðåäíÿÿ çà периоä Ò мощность, âûäеляемàÿ â резисторе R,

	P =	1	T pdt =	1	T uidt = UI = I2R = U2G .	(3.23)
		T		T
	ñð		ò		ò
			0		0

При послеäîâàтельном или пàðàллельном соеäинениях нескольких резистиâных элементоâ òîê â öåïè îïðåäеляется урàâнением, àíàëîãичным (3.22), ãäå R îïðåäеляется соãëàñíî (1.22) äля послеäîâàтельноãî è (1.27) äëÿ ïàðàллельноãî ñîåäинений элементоâ. Ïðè ýòîì ôàçîâûé ñäâèã ìåæäу током и приложенным нà- пряжением остàåòñÿ ðàâíûì íóëþ.

Индуктивные цепи. Ïîä äåéñòâèåì íàпряжения (3.21) â èíäóêòèâном элементе буäет протекàòü òîê ñîãëàñíî (1.9):

i =

1

udt =

1

U

sin

æ wt + j

- p ö

= I

sin (wt + j

), (3.24)

L ò

i

wL

m

ç

u

÷

m

è

2 ø

78

j		j				Im	j
				Um
	Um						ϕ	Um
	Im			ϕu			ϕi
	ϕi = ϕu		ϕ					ϕu
0	t	0		ϕi	t		0	t

a)

á)

Im

â)

Ðèñ.3.6

ãäå Im = Um/(wL) = Um/XL; XL = wL èíäóêòèâное сопротиâ- ление; ji = ju p/2 íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà.

Величину, обрàòíóþ XL, íàçûâàþò èíäóêòèâíîé ïðîâîäимостью BL = 1/(wL). Êàê ñëåäует из полученных âûðàжений, ток â èíäóêòèâности отстàет от приложенноãî íàпряжения нà p/2, ò. å. ôàçî- âûé ñäâèã ìåæäу током i è íàпряжением è (ðèñ. 3.6, á)

ϕ = ϕu − ϕi = π 2.

(3.25)

Íà âекторной äèàãðàììå ôàçîâûé ñäâèã j îòêëàäûâàåòñÿ îò âекторà òîêà ê âектору нàпряжения. Нетруäíî âèäåòü, ÷òî ñðåäíÿÿ çà периоä мощность â èíäóêòèâном элементе рàâíà íóëþ.

При послеäîâàтельном и пàðàллельном соеäинениях инäóêòèâ- ных элементоâ òîê â öåïè îïðåäеляется урàâнением, àíàëîãичным (3.24), ãäå L íàõîäèòñÿ ñîãëàñíî (1.23) äля послеäîâàтельноãî è (1.29) äëÿ ïàðàллельноãî ñîåäинений.

Емкостные цепи. Для емкостноãо элементà ñîãëàñíî óðàâнению (1.12) имеем:

i = C	du	æ	p ö	= Im sin (wt + ji ), (3.26)
	dt	= wCUm sin ç wt + ju +	÷
		è	2 ø

ãäå Im = wCUm = BCUm; BC = wC емкостнàÿ ïðîâîäимость; ji = = ju + p/2 íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà. Величину, обрàòíóþ BC, íàçû-

âàþò емкостным сопротиâлением XC = 1/(wC). Ôàçîâûé ñäâèã ìåæäу током и нàпряжением нà емкостном элементе

ϕ = ϕu − ϕi = −π 2.

(3.27)

Èç ïðèâåäенных урàâнений слеäóåò, ÷òî òîê â емкости опере- жàет приложенное нàпряжение нà óãîë p/2 (ðèñ. 3.6, â), причем знàê « » ñâèäетельстâóåò îá îòñòàâàíèè íàпряжения è îò òîêà i. Ñðåäíÿÿ çà периоä мощность â емкостной цепи тàêæå ðàâíà íóëþ.

При послеäîâàтельном и пàðàллельном соеäинениях емкостных элементоâ òîê â öåïè îïðåäеляется соãëàñíî (3.26), ãäå Ñ íàõî- äèòñÿ èç (1.24) äля послеäîâàтельноãî è (1.28) äëÿ ïàðàллельноãî ñîåäинений.

79

3.4. Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении R, L, С-элементов

Допустим, что â öåïè, ñîäåðæàщей послеäîâàтельно соеäиненные элементы R, L, Ñ (рис. 3.7), протекàåò òîê

i = I	sin (wt + j	i	).	(3.28)
m

Ñîãëàñíî ÇÍÊ íàпряжение нà îòäельных учàñòêàõ öåïè îïðåäе- ляется урàâнением

u = u	+ u	+ u = Ri + L di		+	1	ò	idt .
R	L	C	dt		C

Ïîäñòàâèâ â (3.29) çíàчение токà из (3.28), получим

u= RIm sin (wt + ji ) + wLIm sin (wt + ji - p2) +

+w1C Im sin (wt + ji + p2),

èëè

u = UmR sin ( wt + jR ) + UmL sin ( wt + jL ) + +UmC sin ( wt + jC ),

ãäå

UmR = RIm; UmL = XLIm; UmC = XCIm;ü

jR = ji; jL = ji - p2; jC = ji + p2. ýþ

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Íà рис. 3.8 изобрàæåíà âекторнàÿ äèàãðàììà íàпряжений, описыâàåìûõ óðàâнений (3.30).

Íàпряжение UmR íà резистиâном сопротиâлении R íàçûâàåòñÿ

àêòèâíîé ñîñòàâляющей приложенноãî íàпряжения и обознà÷à-

åòñÿ Uma = UmR, ðàзность нàпряжений Ump = UmL UmC íàçûâà- åòñÿ ðåàêòèâíîé ñîñòàâляющей. Ñîãëàсно этому опреäелению и

формулàм (3.31) имеем:

Uma

= RIm;

Ump = ( XL - XC ) Im = XIm .

(3.32)

uR

j

Um

UmL

i

C

u

uL

Um

UmL-UmC =Ump

L

ϕ

C

UmR=Uma

ϕu ϕi

Im

uC

0

+

Ðèñ. 3.7

Ðèñ. 3.8

80