В первом случае

K( z ) = Z

{

K

(s )K s( )= Z

ì1 - e-sT

K ü

=

z -1

Z

ì

K

ü.

фу

í

ý

í

}

s

z

ý

î

s +1þ

îs( s +1)þ

Разложим выражение в фигурных скобках на простые дроби.

K

=

b1

+

b2

; b =

sK

= K; b

2

=

K (s +1)

= -K .

s(s +1)

s

s +1

1

s(s +1)

s(s +1)

s=-1

s =0

По таблице соответствий находим

ìK

K ü

z

z

æ z

z

ö

Z í

-

ý

= K

- K

= K

ç

-

÷ .

z - e-T

î s

s +1þ

z -1

è z -1 z - e-T

ø

Дискретная передаточная функция

z -1

æ

z

z

ö

æ

z -1

ö

1 - e-T

K( z ) =

K ç

-

÷

= K ç1 -

÷

= K

.

z

z - e

-T

z - e

-T

z - e

_ T

è z -1

ø

è

ø

Установившаяся

ошибка

по

положениюxуст0 (kT ) =

V

, где V =1,

1

1 + K0

K0

= lim K (z )=

.

z®1

1

+ K

Во втором случае

z -1

ì K

ü

z -1 Tz

T

0

V

1

K( z ) =

Z í

ý =

=

,

xуст

(kT ) =

=

= 0.

2

2

z

îs

þ

z -1

1 + K0

1 + ¥

z ( z -1)

Эти результаты согласуются с теоретическими выкладками. Таким образом, дискретная система сохраняет порядок астатизма непрерывной части.

5.СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

При синтезе дискретных систем ставится та же задача, что и для непрерывных систем – обеспечить требуемые показатели качества управления. В непрерывных системах эта цель достигается включением в контур управления аналоговых регуляторов или корректирующих устройств, при этом определяется их место включения, динамическая структура и параметры. В случае дискретных систем возможности синтеза шире, т.к. помимо аналоговых могут применяться дискретные регуляторы и корректирующие устройства, а при использовании средств вычислительной техники– вычислительные алгоритмы коррекции.

Рассмотрим две структурные схемы дискретных систем с коррекцией

(рис. 5.1).

49

a

+

x

y

v

å

Kk (s)

T

KФУ (s)

K

НЧ ( s)

-

б

x

v +

y

å

KФУ (s)

Kk (s)

KНЧ ( s)

T

-

Рис. 5.1. Структурные схемы дискретных систем с коррекцией:

а – коррекция на входе ключа, б – коррекция на входе непрерывной части

Первый тип систем (рис. 5.1, а) характеризуется непрерывным сигналом ошибки и непрерывным выходным сигналом, поэтому при синтезе корректирующих устройств можно непосредственно применять методы непрерывных систем.

5.1. Замена дискретной системы эквивалентной непрерывной системой

В случае систем второго типа(рис. 5.1, б) задача усложняется. В инженерной практике обычно эту структурную схему сводят к эквивалентной - не прерывной схеме на основании следующих преобразований:

¥

¥

¥

X * (s) = åx(kT )e-skT , а X (s) = òx(t)e-st dt = åx(kT )e-skTT .

(5.1)

k =0

0

k =0

Моделью идеального импульсного элемента можно считать

KИИЭ

=

X *(s)

=

1

.

X (p) T

Для экстраполятора нулевого порядка KФУ (s) =

1- e-sT

.

s

T

1- e

- jwT

T

sin w

Как было показано ранее, KФУ

( jw )=

= Te- jw

2

.

2

jw

wT

2

50

wT

sin

wT

T

Если

=1, то

2

=1,

KФУ ( jw )= Te- jw

и

передаточная

функция им-

2

2

wT

2

пульсного элемента

KИЭ (s) = KИИЭ (s)KФУ (s) =

1

Te-s

T

= e-s

T

.

(5.2)

2

2

T

Таким образом, реальный импульсный элемент с устройством хранения

информации вносит запаздывание, равное

T

. Преобразованная таким образом

2

структурная схема представлена на рис. 5.2.

v +

y

x

T

å

-s

Kk (s)

KНЧ (s)

-

e 2

Рис. 5.2. Преобразованная структурная схема дискретной системы

На практике при моделировании применяют более точное выражение:

		T		1 - s	T
	KИЭ (s) = e-s		=	2					.	(5.3)
		2
				1 + s		T
				2

Как следует из(5.3), эта передаточная функция соответствует немини- мально-фазовому звену.

При принятии решения о замене дискретной системы эквивалентной непрерывной системой необходимо сравнить значение периода дискретизацииT с рядом величин, влияющих на процессы в системе. Эквивалентирование возможно при выполнении ряда условий:

1.	T =	p				, где wmax – наибольшая частота возмущающих и задающих
		w
		max
сигналов. Обычно принимают wmax = (2 ¸ 5)wc .
2.	T =	tp		, где tp – время регулирования, а n – порядок системы.
		n
3.	В следящих системах с учетом динамической точности T =							8eдоп		, где
eдоп – заданная					ошибка слежения, v&&max – максимальное ускорение			v&&max
								входного
сигнала.
								51

4. С учетом ухудшения запаса устойчивостиT = (0,1 ¸ 0,5)wp , где wp – рабочая частота сигналов в системе.

5. С учетом показателя колебательности T = ( 2wc ) M (M +1).

Из всех ограничений выбирают наиболее жёсткое.

После этого осуществляется расчет коррекции методами непрерывных

систем.

Правильность

выбора

величины

периода

дискретизации

подтверждается результатами компьютерного моделирования системы.

Пример 5.1. Оценить

влияние величины периода дискретизацииT на

процессы в системе путем моделирования.

Пусть

структура скорректированной

системы

соответствует

рис. 5.3, a.

Схема моделирования в SIMULINK приведена на рис. 5.3, б.

a

M C

40

K

Kk

v

-

+

1

y

å

23000

0, 052s +1

+

å

0,0047

s(0,12s +1)

-

0, 003s +1

б v 1

e-s

T

Kk

2

+

-.001s +1

0,052s +1

+ -

1

.0 0 4 7

y

-

.001s +1

0,003s +1

s

K1 = 23000

.1 2 s + 1

MC

40

Рис.5.3. Скорректированная система:

а– структурная схема, б – схема моделирования в SIMULINK

Врезультате исследования системы при Т = 0,002 с кривые переходного

-s T

процесса в непрерывной системе(без элемента e 2 ) и с учетом дискретиза-

-sT

ции (при наличии e 2 ) практически совпали (рис. 5.4, а). При T » 0, 01 c в системе значительно возрастает перерегулирование (рис. 5.4, б), а при T = 0, 03 – процесс колебательный, расходящийся (рис. 5.4, в).

52

а

б

в

Рис. 5.4. Переходные процессы: а – в непрерывной системе и в дискретной при T = 0, 002 c ; б – в дискретной системе при T = 0, 01 c ; в – в дискретной системе при

T = 0, 03 c

p

Величина T =0,002c соответствует условию T = 10wmax , где wmax » 2wc = = 2 ×83 =166 с-1 . В данной системе частота среза wс » 83 с-1 .

5.2. Синтез цифровых систем методом w-преобразования

Рассмотрим цифровую систему со структурой, приведенной на рис. 5.5.

V (s) +						Y (s )
			D (z )		KЭНЧ (s)
	å	T

-

KОС (s)

Рис. 5.5. Цифровая система управления: D (z )-цифровой регулятор, KОС (s) -датчик

Передаточная функция замкнутой системы KЗ	(z) =		D(z)KЭНЧ	(z)	,
			+ D(z)(KЭНЧ KОС )(z)
	1
а характеристическое уравнение
1 + D(z)(KЭНЧ KОС )(z) = 0 .				(5.4)

Будем рассматривать корректирующие устройства первого порядка вида:

D (z )=	Kd (z - z0 )	,	(5.5)
	z - zp

где z0 – нуль, zp – полюс, Kd – коэффициент передачи передаточной функции

D(z).

53