Разложим выражение

Y (z)

=

z

на простые дроби.

(z

z

-1)(z - 2)(z - 3)

z

=

b1

+

b2

+

b3

,

z -

3

(z -1)(z - 2)(z - 3) z -1

2 z -

где

b =

(z -1)z

=

1

;

b

2

=

(z - 2)z

= -2;

(z -1)(z - 2)(z - 3)

1

(z -1)(z - 2)(z

- 3)

z =1

2

z=2

b3 =

(z - 3)z

=1,5.

(z -

1)(z - 2)(z - 3)

z=3

Тогда Y (z) =

0,5z

-

2z

+

1,5z

и по таблице соответствия изображений и

2

z -1 z -

z - 3

оригиналов получим, что

y(k) = 0,5 - 2(2)k

+1,5(3)k ,

откуда

следует, что

y(0) = 0; y(1) =1;

y(2) = 6; y(3) = 25. Результаты обоих методов совпали.

Наконец получим дискретную передаточную функцию по формуле (6.12).

é z - 5

1

éz - 5

1ù

ê

-1

D

Запишем [zE - A]

=

ê

ú = ê

z

2

- 5z + 6

6

ë

-6 z û

ê

ê -

D

ë

é z - 5

1 ù

ê

ú

é0ù

é

6

-

D

D

K (z) = C [zE - A]

1

B = [0 1]ê

6

z

ú

ê ú

= ê-

D

ê

-

ú ë1û

ë

ê

D

ú

ë

D û

соответствует исходной передаточной функции.

1 ù

D úú, где D = z2 - 5z + 6. z ú

D ûú

z ù é0ù		=	z	=			z	, что
	ú ê ú
			D		z	2	- 5z + 6
D û ë1û

6.3.Основные формы уравнений состояния импульсных систем

Вобщем случае динамика ИСАУ описывается уравнениями (6.6):

X (k +1) = AX (k ) + BV (k ),

Y (k )= CX (k ).

Если матрица A представлена в форме Фробениуса

	é	0	1	0	L	0	ù
	ê		L	L			ú	(6.13)
A =	ê L				L L ú ,
	ê	0	0	0	L	1	ú
	ê	-an	-an-1	-an-2			ú
	ë				L -a1 û

то имеем нормальную форму уравнений состояния.

65

Получим другую форму уравнений состояния. Пусть дискретная передаточная функция замкнутой ИСАУ имеет вид

K з (z )=

Y (z )

=

b0 zm + b1zm-1 +L+ bm

,

(6.14)

V (z )

a0 zn + a1zn-1 +L+ an

где z1, z2 , …, zn – корни характеристического уравнения и m < n .

Если корни простые, то Kз (z )

можно разложить на простые дроби:

Kз (z )=

b1

+

b2

+ L+

bn

,

(6.15)

z

- z

z

z

- z

2

- z

n

1

где bi = (z - zi )Kз (z )

z=z .

i

Тогда

n

b

i

Y (z )= Kз (z )V z(

=) å

V (z ).

(6.16)

z - zi

i=1

bi

n

Обозначим

V (z )= X i

(z ), тогда Y (z )= åX i (z ).

z - zi

i=1

Используя

обратное

z -преобразование

и

учитывая, что

xi (k +1) = Z -1 { z X i (z )}, а vi (k ) = Z -1 {Vi

(z )}, перейдем к оригиналам:

ìx

(k +1) = z x(k ) + b v(k ),

ï

1

1

1

ï

...

(6.17)

íx

k +1

= z

x

k

+ b

v

(

k

,

ï

n (

)

)

(

n n (

)

n

)

(

)

ï

y

(

1

k

)

2 (

)

n

î

k = x

+ x

k + ... + x

k .

или в матричном виде:

ì

éz

0

...

0 ù

éb1

ï

ê

1

z2

...

ú

ù

ïïX (k +1) = ê

0

0 ú X (k )+

ê ...

úV (k ),

í

ê... ...

...

... ú

ê

ú

ê

ú

êb

n

ú

ï

0

0

ë

û

ë

zm û

ï

(

) [

]

(

)

î

ï

k

= 1,

... , 1

X

k

Y

Окончательно в компактной форме:

ìX (k +1) = ZX (k) + BV (k),

í

îY (k) = CX (k).

(6.18)

(6.19)

Форма уравнений состояния (6.18) называется канонической. В ней основная матрица является диагональной: Z = diag [z1 z2... zn ].

66

Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, то основная матрица имеет форму Жордана.

Пример 6.2. Пусть передаточная функция замкнутой ИСАУ имеет вид:

Kз (z )=

0, 4z

.

z2 - 0,7z + 0,1

Корни

характеристического

уравнения

z2 - 0,7z + 0,1 = 0

будут z = 0,2;

z2 = 0,5 .

1

Определим bi .

b =

0, 4z (z - z1 )

=

0, 4 ×0, 2

= -

4

, b

=

0,4z(z - z2 )

=

0, 4 ×0,5

=

2

.

(z - z )(z - z

)

(z - z

)(z - z

)

1

0, 2 - 0,5

15

2

0,5 - 0, 2 3

1

2

z=0,2

1

2

z=0,5

Запишем уравнения в пространстве состояния в соответствии с (6.18):

ì
ï	é0, 2		0 ù
ïX (k +1) = ê		0	ú X (k)
í	ë		0,5û
ï
ïY (k) =	1 1	X (k).
î	[	]

é	4			ù
ê-				ú
		15
+ ê	2			úV (k),
ê				ú
ê	3			ú
ë				û

6.4. Преобразование уравнений состояния

Для перехода от нормальной формы к канонической используют модальную матрицу M. В частности, если матрица A является матрицей Фробениуса и имеет различные собственные числа z1, z2 , ..., zn , то модальная матрица, как и в непрерывных САУ, имеет вид:

é		1	...	1	ù
ê	z 1			z n	ú
M = ê			...		ú	,
ê M				M	ú
ê		1n-1	...	z nn-1	ú
ëz					û

где n – порядок характеристического уравнения импульсной системы, а zi – его корни.

Введя новую переменную состояния Q(k) из соотношения X (k) = MQ(k) , исходные уравнения (6.6), (6.13) по аналогии с непрерывными системами запи-

ìQ(k +1) = ZQ(k) + M -1BV (k),

сывают в виде: í

îY (k) = CMQ(k).

67

Пример 6.3. Пусть ИСАУ описывается уравнениями в нормальной

форме:
ì		é 0	1 ù	é1ù
ïX (k +1) = ê			ú X (k) + ê úV (k),
ï		ë-20	-4û	ë2û
í	é1	4ù
ï			(k).
ïY (k) = ê		ú X
î	ë1	5û

Так как матрица A является сопровождающей, то характеристическое уравнение системы имеет вид: det[A - zE] = (0 - z )(-4 - z ) - (-20)×1 = 0 , откуда

z2 + 4z + 20 = 0	и корни z = -2 ± 4 j .
	1,2
Тогда модальная матрица имеет вид:
	M =	é	1	1 ù
		ê	+ 4 j	ú .
		ë-2		-2 - 4 jû

Исходное уравнение преобразуем путем замены

где M -1 = 1

M

	ì		+1) = M -1				é	0
	ïQ(k						ê
	ï						ë-20
	í				é1	4ù
	ï
	ïY (k) =				ê	ú MQ(k),
	î				ë1	5û
M пр	=	1		é-2 - 4 j				-1ù
				ê	2 - 4 j			1	ú
		-8 j ë							û

1 ù MQ(k) + M -1

-4ûú

jé-2 - 4 j

=0,5 4 êë 2 - 4 j

X (k) = MQ(k) к виду:

é1ù

ê úV (k) ,

ë2û

-1ù 1 úû,

M

-1

é1ù

j é-2 - 4 j

-1ù é1ù

j é-4 - 4 jù

é- j 1ù

ê

ú

= 0,5

ê

2 - 4 j

ú ê

ú

= 0,5

ê

ú

= 0,5

ê

j

ú.

4

1

4

ë

2û

ë

û ë

2û

ë

4 - 4 j û

ë

1û

Окончательно получим
ì			é-2 + 4 j			0 ù	é- j	1ù	(k ),
ïQ (k +1)		= ê		0	-2	úQ(k )+ 0,5	ê	úV
ï			ë			- 4 j û	ë j	1û
í	é1		4ù é		1	1 ù	é-7 +16 j		-7 -16 j ù
ïïY (k )= ê				ú ê	+ 4 j	úQ(k )= ê			úQ(k ).
î	ë1		5û ë-2			-2 - 4 j û	ë-9	+ 20 j -9 - 20 jû

В общем случае, когда в исходных уравнениях состояния основная матрица является произвольной, переход к канонической форме осуществляется через преобразование X = MQ , в котором модальная матрица, как и в непре-

рывных системах, образуется из вектор-столбцов xi , получаемых в результате решения уравнений:

[zi E - A]xi = 0 .

(6.21)

68