4. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Метод гармонической линеаризации нелинейностей относится к приближенным методам расчета нелинейных систем. Он применяется для исследования условий возникновения и определения параметров автоколебаний, анализа и оценки их устойчивости, а также для исследования вынужденных колебаний систем различной сложности.

Пусть нелинейная система имеет структуру, представленную на рис. 4.1.

v(t) +		x (t )						y(t)
	å		f (x)			M ( p)
-
						N ( p )

Рис. 4.1. Структура НСАУ: f(x) – нелинейная характеристика, M(p) и

N(p) – полиномы, соответствующие числителю и знаменателю передаточной функции линейной части системы KЛЧ (s) = M (s) N (s )

Предполагают, что v(t) º 0 (режим свободного движения) и в системе существуют свободные колебания x (t ) = Asinwt , где A и w – их неизвестные амплитуда и частота.

При исследовании НСАУ могут быть сформулированы две основные задачи:

1.Определить параметры свободных колебаний, их устойчивость.

2.Найти зависимость параметров свободных колебаний от внутренних параметров системы.

Для решения поставленных задач осуществляют гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики в виде:

f (x) = KH ( A)x .

(4.1)

где KН (A) – комплексный коэффициент преобразования нелинейного элемента или коэффициент гармонической линеаризации.

4.1. Сущность метода гармонической линеаризации

Если на вход нелинейного элемента подаются свободные гармонические колебания x(t ) = Asinwt , то на выходе нелинейного элемента f (x) будет пе-

риодический, но не гармонический сигнал, который можно разложить в ряд Фурье:

		a0	¥
	f (x )=		+ å (ak sink wt + bk cosk wt ) ,	(4.2)
	2		k =1

где a0 , ak , bk – коэффициенты Фурье:

104

					a0		=	1	, при k = 0,
								2p
	ak	=		1		2 p	f (A sin w t )sin k wtd wt ,			(4.3)
				p		ò
						0
	bk	=	1 2 p				f ( A sin w t ) cos k wtd wt.
			p			ò
						0

Нелинейный элемент работает в замкнутом контуре с линейным, который представляет собой, по сути, фильтр низких частот, поэтому при увеличении k линейные элементы подавляют высшие гармоники. На практике ограничиваются составляющими ряда при k =1, т.е. пренебрегают второй и более высокими гармониками.

Если предположить, что нелинейные характеристики симметричны относительно начала координат, то a0 = 0 .

В силу отмеченных допущений имеем

f (x) = a1sinwt + b1coswt,

(4.4)

где

a

=

1

2 p

f ( Asinwt )sinwtd wt,

p

ò

1

0

b

=

1

2 p

f ( Asinwt )coswtd wt.

p

ò

1

0

Запишем

полученное

выражение

в : видеf (x ) =

a1

A sin w t +

A

b1

dx

+

Aw coswt , обозначим x = A s i n w t ,

= A wcoswt = px = jwx . Тогда

Aw

dt

f (x )=

æ

a1

+ j

b1

ö x =

(

q( A ) + jq' (A ) x = K

н

(А )x .

(4.5)

ç

A

A

÷

)

è

ø

Структура гармонически линеаризованной НСАУ будет иметь вид, представленный на рис. 4.2.

v(t)				u			y (t )
			Kн ( А)		KЛЧ
+ å						( jw)

-

x= Asin wt

Рис. 4.2

105

Уравнение свободного движения этой системы:

					N ( p) y( t ) + M ( p) f (x) = 0 .						(4.6)
	Заметим, что если нелинейность однозначная (нечетно-симметричная), то
				p
	q' ( A) = 0 , а q( A) = 4	1	2
				ò(g) . Если нелинейность неоднозначная,							то присутству-
		pA
			0
							p			p
						1			1
	ют обе составляющих q( A) = 2						ò(g);	q' ( A) = 2		ò(g) .
						pA			pA
							0			0

Приведем характеристики некоторых нелинейностей.

Идеальное реле (рис. 4.3).

				p
¢		1	2
	×		ò
q ( A) = 0; q(A) = 4		pA
			0

b sin wt dwt =	4b æ			p	ö		4b
		ç	-cos w|02 ÷			=		.	(4.7)
							pA
	pA è		ø

a

f (x)

б

f (Asin ωt )

в

q(A)

b

b

0

0

π

2π

ωt

- b

x

- b

0

A

Рис. 4.3. Характеристики идеального реле:

а – зависимость f(x), б – зависимость f(Asin wt), в – зависимость q(A)

Элемент с насыщением (рис. 4.4).

q (A )=

b

-

2b æ

a

+

a

1-

a2

ö

çarcsin

÷ .

(4.8)

a

A

A

A

2

ap ç

÷

è

ø

a	f	x				в	q A
			б	f	A sin ωt	b
	b		b			a	A
	а	а	x 0
	0			π	2π ωt	0	а
	b		b

Рис. 4.4. Характеристики элемента с насыщением:

а – зависимость f(x), б – зависимость f(Asin wt), в – зависимость q(A)

Элемент с зоной нечувствительности (рис.4.5).

q (A )= K -

2K æ

a

a

a2

ö

A > a .

(4.9)

çarcsin

+

1 -

÷ при

p

A

A

A2

ç

÷

è

ø

106