3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

		3.1. Условия устойчивости
Решение разностного уравнения
(a zn	+ a zn-1	+... + a )Y (z) = (b zm		+ b zm-1 + ... + b )V (z) ,
0	1	n	0	1	m
описывающего динамику замкнутой системы,				состоит из двух частей:
		y(k) = yсв (k) + yв (k) ,			(3.1)
где первая часть определяет свободное				движение, а	вторая– вынужденное
движение.

При оценке устойчивости ИСАУ, как и в непрерывной системе, исследуется свободное движение. Оно может быть найдено при решении однородного разностного уравнения (без правой части)

a0zn + a1zn-1 + … +an = 0,

(3.2)

называемого характеристическим уравнением замкнутой ИСАУ. Это же уравнение можно получить и по передаточной функции замкнутой системыKз (z) , приравняв нулю ее знаменатель:

1 + K(z) = 0.

(3.3)

Решение уравнения (3.2) ищется в виде:

n

yсв (k )= åci zik ,

i=0

где ci – постоянные коэффициенты, а zi – корни характеристического уравнения.

	Очевидно, что для устойчивости ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы
lim y		(k) = 0 . А это возможно, когда все корни характеристического уравне-
k®¥ св

ния zi будут по модулю меньше единицы. Таким образом, условием устойчивости является соотношение:

		| zi | < 1.		(3.4)
Графически	это	условие	можно	интерпретировать, преобразовав

s-плоскость в z-плоскость. Так как z = esT, то положив s = jw, что соответствует мнимой оси, получим z = ejwT, что является окружностью единичного радиуса

(рис. 3.1).

38

Im	s	Im
		z
0		0
	Re	1 Re

Рис.3.1. Отображение s-плоскости в z-плоскость

Если s = c + jw, то z = esT = ecTejwT и при c ®− ¥ переменная z ® 0. Это означает, что левая полуплоскость s-плоскости отображается внутри круга единичного радиуса z-плоскости, а правая полуплоскость s-плоскости – вне круга. Соответствие s-плоскости, z-плоскости и временных характеристик при различных случаях корней характеристического уравнения изображено на рис. 3.2.

Следовательно, для устойчивости ИСАУ необходимо и достаточно, что-

бы корни	характеристического			уравнения		замкнутой		системы находились
внутри круга единичного радиуса.
	Im	s		Im	z		y
		Re .			Re	.		t
0		.	0		1	.	0
						y
	Im	s		Im	z		y
		Re .			Re	.		t
0		.	0		1	.	0
	Im	s		Im z			y
		Re .			Re	.
0		.	0		1	.	0	t
	Im	s		Im	z		y
		Re .			Re	.		t
0		.	0		1	.	0

Рис. 3.2. Соответствие корней характеристического уравнения s-плоскости, z-плоскости и временных характеристик

39

Пример 3.1. Оценить устойчивость импульсной системы со структурой, представленной на рис. 3.3.

v(t) +		x(t)	*	(t)
			x		- e-sT	K	y(t)
-	å	T		1
					s	s

Рис. 3.3. Структура ИСАУ

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы KЭНЧ (s )=(1-e-sT )sK2 .

Перейдя к z-преобразованию, получим K (z )=

z -1

KTz

=

KT

.

z (z -1)2

z -1

Передаточная функция замкнутой системы Kз (z )=

K (z )

=

KT

,

1 - K (z )

z -1 + KT

откуда характеристическое уравнение z + (KT – 1) = 0. Здесь единственный корень z = 1 – KT. По условию устойчивости | z | < 1, то есть | 1 – KT | < 1 и окончательно область устойчивости будет иметь вид неравенства: 0 < KT < 2. При всех других значениях К и T импульсная система будет неустойчивой.

В дискретных, как и в непрерывных, системах используют критерии устойчивости. Их применение основано на формуле билинейного преобразования.

3.2. Билинейное преобразование

1

+

T

w

2

æ z -1 ö

С помощью подстановки z =

2

, или w =

осуществляется

ç

÷

T

T

1

-

w

è z +1

ø

2

так называемое билинейное преобразование, то есть отображение единичной окружности на z-плоскости в мнимую ось наw-плоскости. Это отображение можно пояснить следующим образом:

T

T

2

æ z -1 ö

2 e jwT -1

2 e jwT - e jw

e- jw

w =

=

=

2

2

ç

÷

T e

jwT

T e jwT + e jw

T

T

T è z +1

ø

z=e jwT

+1

e- jw

2

2

По формуле Эйлера

T

2

sin w

2

T

w =

j

2

= j

tgw

.

T

cos w

T

T

2

2

2 e jw

T

(e jw

T

- e- jw

T

=

2

2

2

)

.

T jw

T

jw

T

- jw

T

e

2

(e

2

+ e

2 )

(3.5)

40

		Анализ (3.5) показывает, что при w = 0 значение w = j0, а при w =					ws		или
	T			2
w		=	p	значение w = j¥. Другими словами, интервал 0 £ jw £ j	ws			на s-
2		2		2

плоскости отображается в верхнюю полуокружность z-плоскости и в верхнюю половину мнимой оси w-плоскости. Тогда областью устойчивости системы на w-плоскости является ее левая половина.

Выражение (3.5) устанавливает связь между частотой w на s-плоскости и псевдочастотой ww на w-плоскости. Если jww мнимая часть переменной w , то

jw = j

2

tgw

T

и

w

T

2

w

=

2

tgw

T

.

(3.6)

w

T

2

Отметим, что при малых частотах на s-плоскости, когда tg

wT

»

wT

, вы-

ражение (3.6) приводится к виду:

2

2

w »

2

w

T

= w

w

= w.

(3.7)

w

T

2

Это справедливо при

w <

2p

=

ws

.

(3.8)

10T

10

Таким образом, при выполнении (3.8) можно считать частоты w и ww совпадающими, а при больших частотах следует использовать псевдочастоту.

3.3. Критерий Рауса-Гурвица

Для замкнутой дискретной системы необходимо получить характеристическое уравнение, применив билинейное преобразование:

1 + K (w) = 1 + K (z ) 1+T w

z = 2 1-T2 w

= 0 .

(3.9)

Далее составляется таблица Рауса по такому же алгоритму, как и для непрерывных систем. Дискретная система устойчива, если при a0 > 0 положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса.

Пример 3.2. Рассмотрим систему, приведенную на рис. 3.3. Характеристическое уравнение замкнутой системы D(z) = z -1+ KT =0. Перейдем к D(w).

41