- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Классификация импульсных систем
- •1.3. Примеры дискретных систем
- •2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
- •2.1. Понятие систем с дискретным временем
- •2.2. Решетчатые функции и разностные уравнения
- •2.3. Дискретное преобразование Лапласа и его свойства
- •2.4. Решение разностных уравнений
- •2.6. Представление данных в импульсной системе
- •2.7. Частотные свойства дискретного преобразования
- •2.8. Восстановление данных
- •2.9. Импульсная передаточная функция разомкнутой системы
- •2.10. Импульсная передаточная функция замкнутой системы
- •2.11. Процессы в импульсных системах
- •3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
- •3.1. Условия устойчивости
- •3.2. Билинейное преобразование
- •3.3. Критерий Рауса-Гурвица
- •3.4. Критерий Найквиста
- •3.5. Логарифмический критерий Найквиста
- •3.6 Критерий Михайлова
- •4. ТОЧНОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
- •5.СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
- •5.3. Синтез регулятора с отставанием по фазе
- •5.4 Синтез регулятора с опережением по фазе
- •5.5. Цифровые ПИД-регуляторы
- •5.6. Особенности реализации дискретной коррекции
- •6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЯ
- •6.1. Уравнения состояния дискретных систем и схемы моделирования
- •6.2. Решение уравнений состояния
- •6.3. Основные формы уравнений состояния импульсных систем
- •6.4. Преобразование уравнений состояния
- •6.5 Управляемость и наблюдаемость дискретных систем
- •НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
- •1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
- •1.1. Основные понятия и особенности нелинейных систем
- •1.2. Характеристики типовых нелинейностей и их соединений
- •1.3. Классификация и примеры нелинейных систем
- •1.4. Методы исследования нелинейных систем
- •2. МЕТОД ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
- •2.1. Фазовое пространство
- •2.2. Методы построения фазовых портретов
- •2.3. Анализ нелинейной системы с насыщением
- •3. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ А.М. ЛЯПУНОВА И В.М. ПОПОВА
- •3.3. Анализ устойчивости нелинейных систем методом В. М. Попова
- •4. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
- •4.1. Сущность метода гармонической линеаризации
- •4.2. Определение амплитуды и частоты автоколебаний
- •4.2.1. Аналитический метод
- •4.2.2. Графоаналитический метод
- •5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
- •5.1. Определение параметров и устойчивости вынужденных колебаний (задача Дуффинга)
- •5.2. Метод эллипса
- •5.3. Метод Гольдфарба
- •6. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.1. Построение переходного процесса методом фазовой плоскости
- •6.3. Компьютерное моделирование переходного процесса
- •7. КОРРЕКЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •7.1. Коррекция нелинейной системы с помощью обратной связи
- •7.2. Синтез компенсационных моделей
- •7.3. Метод вибрационной линеаризации
- •ОПТИМАЛЬНЫЕ И АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
- •1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
- •2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ
- •3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ НАСТРОЙКИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
- •4. ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМЫ
- •5. УЧЕТ ФИЗИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ
- •6. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА
- •7. МЕТОДИКА СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ РЕГУЛЯТОРА
- •8. ВЫБОР ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
- •10. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
- •СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
На рис. 2.14 представлены сигналы на входе квантователя и на выходе экстрополятора, точнее – на входе ИЭ и на его выходе.
x(t), x (t)
x(t)
x(t)
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.14. Входной x(t) и выходной x (t) сигналы ИЭ
2.9. Импульсная передаточная функция разомкнутой системы
Рассмотрим ИСАУ, изображенную на рис. 2.15.
Передаточную функцию экстраполятора объединяют с передаточной функцией непрерывной части:
KЭНЧ (s) = 1 - e-Ts KНЧ (s) , s
где KЭНЧ(s) – передаточная функция эквивалентной непрерывной части.
X (s) |
X * (s) |
1 |
- e |
-Ts |
|
K |
|
(s) |
Y (s) |
||
|
|
|
|
|
НЧ |
|
|||||
|
T |
|
|
s |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KЭНЧ (s)
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
X (s) |
X * (s) |
|
|
|
|
Y (s) |
|
|
KЭНЧ (s) |
|
||||||
|
T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.15. Структура ИСАУ |
|
||||||
Полагая начальные условия нулевыми, можно получить: |
|
|||||||
* |
|
* |
|
* |
1 ¥ |
|
|
|
|
é |
|
ù |
= |
|
å Y (s + jkws ) , |
(2.47) |
|
|
|
|
||||||
Y (s) = ëKЭНЧ |
(s) X (s)û |
|
||||||
|
|
|
|
|
T k =-¥ |
|
29
|
* |
|
1 ¥ |
|
|
|
|
* |
|
* |
|
||
откуда Y |
|
(s) = |
|
|
å K |
ЭНЧ (s + jkws ) X |
|
(s + jkws ) , а |
так как X (s) – |
периодическая |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
T k =-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
функция, то X * (s + jkws ) = X * (s) и |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Y * (s) = |
1 |
å KЭНЧ (s + jkws ) X * (s) . |
(2.48) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T k =-¥ |
|
|
|||
Сделав в (2.48) подстановку z = eTs, получим Y ( z) = KЭНЧ (z) X (z) . |
|||||||||||||
KЭНЧ (z) = |
Y (z) |
|
называется |
|
импульсной |
передаточной |
функцией -разо |
||||||
X (z) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мкнутой САУ.
Рассмотрим ИСАУ различных конфигураций, непрерывная часть которых состоит из двух передаточных функций (рис. 2.16).
Для структуры ИСАУ, каждой непрерывной части которой предшествует ИЭ (рис. 2.16, а) передаточная функция системы равна произведению импульсных передаточных функций отдельных частей:
K (z) = KЭНЧ 1 (z)KЭНЧ 2 (z) . |
(2.49) |
Для структуры ИСАУ, в которой перед второй непрерывной частью нет |
|
ИЭ, общая передаточная функция системы |
|
K (z) = KЭНЧ (z) , |
(2.50) |
где KЭНЧ (z) = Z {KФУ (s)KНЧ 1 (s)KНЧ 2 (s)}.
Структура ИСАУ, приведенная на рис. 2.16, в, не имеет импульсной передаточной функции, поскольку входной сигнал не квантуется.
X (s) |
KЭНЧ 2 (s) Y (s) |
KЭНЧ 1 (s) |
X (s) |
K НЧ 2 (s) Y (s) |
KЭНЧ 1 (s) |
X (s) |
KНЧ 1 |
(s) |
KЭНЧ 2 (s) Y (s) |
|
Рис. 2.16. Структуры ИСАУ
30
Рассмотрим цифровую систему (рис. 2.17).
x (t ) |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
KНЧ (s) |
y(t) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x(kT) |
|
|
u(k |
|
|
|
u (kT ) |
|
|||||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Рис. 2.17. Цифровая САУ |
|
|
|||||||||||
Коэффициент передачи АЦП d |
|
= |
|
1 |
|
, где a – число разрядов, а ко- |
||||||||||
АЦП |
2a -1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эффициент передачи ЦАП dЦАП = 2a -1. При одинаковом числе разрядов АЦП и ЦАП их общий коэффициент передачи равен единице. Обычно a ³10 , тогда
2a -1 =1023 и статическую характеристику АЦП и ЦАП можно считатьли нейной.
При расчетах дискретных систем АЦП, цифровой регулятор и ЦАП заменяют моделью, как показано на рис. 2.18, а, всю систему окончательно – моделью рис. 2.18, б.
a
АЦП-ЦР-ЦАП
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- e- sT |
|
|
|
K |
НЧ (s) |
y(t) |
|||||
|
|
|
|
|
|
D(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
D(z) |
|
|
|
|
|
|
KНЧ (s) |
|
|
|
||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Рис. 2.18. Модель цифровой системы |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Тогда K (z) = Z {KЭНЧ (s)}D(z) , где D(z) – дискретная передаточная функ- |
|||||||||||||||||||||||||||
ция цифрового регулятора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пример 2.5. |
Найти дискретную |
передаточную |
функцию разомкнутой |
||||||||||||||||||||||||
ИСАУ, если KНЧ (s) = |
1 |
|
|
, а KФУ (s) |
|
1 - е-Ts |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
s +1 |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Запишем KЭНЧ |
(s) = |
1 - e-Ts |
1 |
= (1 - e-Ts ) |
|
1 |
|
|
. Обозначим eTs = z, тогда |
||||||||||||||||||
|
|
s |
|
|
s +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(s +1) |
|
|
|||||||||
KЭНЧ |
(s) = (1 - z-1 ) |
|
1 |
|
|
|
= |
z -1 |
|
M (s) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
s(s +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
N (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
Разложим |
M (s) |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
на простые дроби |
M (s) |
= |
|
b1 |
|
+ |
b2 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
s(s +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
N (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (s) |
s - s |
s - s |
||||||||||||||||||||||||||
s1 = 0; s2 = –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 = (s - s1 ) |
M (s) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
(s - s1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
=1. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(s - s )(s |
- s |
|
) |
|
|
|
|
|
0 - (-1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s=s1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
s=s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
b2 = (s - s2 ) |
M (s) |
|
|
|
= |
|
(s - s2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
= -1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N (s) |
|
|
|
|
|
(s - s )(s |
- s |
|
|
) |
|
|
|
|
|
-1 - 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z -1æ |
|
|
|
|
|
|
|
s=s2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
s=s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Тогда KЭНЧ (s) = |
1 |
- |
1 |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
s +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è s |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
· |
|
z |
|||||
По таблице соответствий находим: |
|
¾¾® |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
¾¾® |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z - e-T |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
z -1 s +1 |
· |
|
|||||||||||||||||
чательно K (z) = |
|
z -1 |
é |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
ù |
|
z -1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 - e-T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ê |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú =1 - |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-T |
|
z - e |
-T |
|
|
|
z - e |
-T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ë z |
-1 z - e |
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем
. Окон-
2.10. Импульсная передаточная функция замкнутой системы
Рассмотрим замкнутую ИСАУ, изображенную на рис. 2.19.
V(s) |
|
X (s) |
X |
*(s) |
KЭНЧ |
(s) |
Y (s) |
+ |
|
|
T |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
-
KОС (s)
Рис. 2.19. Структура замкнутой ИСАУ
Y (s) = KЭНЧ (s) X * (s) ,
X (s) =V (s) - KОС (s)Y (s) =V (s) - KЭНЧ (s)KОС (s) X * (s) .
Если найти дискретные преобразования левой и правой частей последнего равенства, то получим X * (s) = V * (s) - (KЭНЧ KОС )* (s) X * (s) , откуда
X * (s) = |
V * (s) |
, X (z) = |
|
V (z) |
. |
1 + (KЭНЧ KОС )* (s) |
|
+ (KЭНЧ KОС )(z) |
|||
|
1 |
|
Таким образом, замкнутая импульсная САУ имеет передаточную функцию по ошибке
32
Kx |
(z) = |
X (z) |
= |
1 |
(2.51) |
|
1 + (KЭНЧ KОС )(z) |
||||
|
|
V (z) |
|
и главную передаточную функцию
KЗ (z) = |
Y (z) |
= |
|
KЭНЧ |
(z) |
. |
(2.52) |
|
V (z) |
1 + (KЭНЧ KОС )(z) |
|||||||
|
|
|
|
В этих выражениях записи (×)*(s) и (×)*(z) показывают, что до осуществления операции дискретного преобразования Лапласа иz-преобразования необходимо перемножить соответствующие передаточные функции, после чего разложить на элементарные дроби и только после этого осуществлятьz- преобразование.
Рассмотрим замкнутую цифровую САУ (рис. 2.20).
V (s) |
|
|
X (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
KНЧ |
(s) |
|||
v(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KОС (s)
Рис. 2.20. Структура цифровой САУ
Модель разомкнутой части соответствует рис. 2.18. Изображение сигнала ошибки в замкнутой системе X (s) =V (s) - KЭНЧ (s) X * (s)D* (s)KОС (s) , а изображение выходной координаты Y (s) = KЭНЧ (s)D* (s) X * (s) .
Подвергнув первое соотношение дискретному преобразованию Лапласа, получим
X * (s) = |
|
V * (s) |
. |
||
|
+ D* (s)(KЭНЧ KОС )* (s) |
||||
|
1 |
|
|||
Применяя к Y(s) z-преобразование и подставив в него полученное выра- |
|||||
жение X*(s), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
D(z)KЭНЧ (z) |
|
|
Y (z) = |
|
V (z) . |
|||
1 + D(z)(KЭНЧ KОС )(z) |
Таким образом, передаточная функция замкнутой ЦСАУ будет
Kз |
(z) = |
|
D(z)KЭНЧ |
(z) |
. |
(2.53) |
|
+ D(z)(KЭНЧ KОС )(z) |
|||||
|
1 |
|
|
33