y1, y2	w = w4
·	y1	A	v = const
	w = w3
·
·	w = w2
·	w = w1
0	x	0	w3	w4	w
		w1 w2

Рис. 5.6

В общем случае характер кривой зависит от типа .НЭРассмотренный пример относится к НЭ типа насыщения.

Второй случай для A = f2 (C ),	w = const и A = x	KHЭ (x)KЛЧ ( jw)	пред-
ставлен на рис. 5.7.
y1 , y2	А

0			x	0	C
C C	2	C C	4	C1 C2 C3	C4
1		3

Рис. 5.7

Графики зависимостей, как правило, имеют зону неустойчивых решений, в которых необходимо проводить дополнительные исследования для определения устойчивости полученных результатов. Для НСАУ в этой области значений характерно возникновение скачкообразных резонансов, которые могут быть устранены путем коррекции параметров исходной системы.

5.3. Метод Гольдфарба

Этот метод применяется к нелинейным системам с вынужденными колебаниями, где нелинейный элемент включен в цепь обратной связи.

Предположим, что структурная схема нелинейной системы имеет вид рис. 5.8.

114

	v(t ) +		x (t )		y (t )
		å		KЛЧ (s )
	-

f (x)

Рис. 5.8

Пусть v(t ) = Csinwt . Решение будем отыскивать в виде x(t) = Asin(wt -j),

где j – фазовый сдвиг.

Согласно структурной схеме		KЛЧ ( jw)			=	Asin (wt - j)		или
		1 + KЛЧ ( jw )KНЭ (A )					Csinwt
1			Asin (wt - j)
	K ЛЧ-1 ( jw )+ K НЭ ( A )=						.	(5.8)
			Csinw t

где C и w – параметры внешнего гармонического воздействия.

Надо определить амплитуду A и сдвиг фазы j вынужденного колебания. Для решения поставленной задачи осуществляют следующие преобразования.

Приводят входной сигнал к виду выходного:

v(t ) = Csinwt = Csin é(wt - j) + jù = Csin (wt - j)cosj + Ccos (wt - j)sinj =ë û

=	C		Asin (wt - j)cosj +	C	Awcos (wt - j)sinj .
	A 144424443			Aw 144424443
			x				x&
Преобразуют полученное выражение, умножив и разделив его первое
слагаемое на A , а второе на Aw, и приняв во внимание, что								Assin (wt - j) =
= Awcos(wt - j), s = jw. Тогда
Csinwt =	C	(cosj + jsinj) Asin (wt - j) =				C	e jj Asin (wt - j) =		C	e jjx . (5.9)
	A					A			A

где x = Asin (wt - j), e – основание натурального логарифма.

Гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики осуществля-

ют в виде f (x) = KHЭ (A)x . Подставляя (5.9) в (5.8), получают
KЛЧ-1 ( jw )= -KНЭ (A )+	C	e jj	(5.10)
	A

Соотношение (5.10) называют уравнением Гольдфарба. Поскольку это уравнение трансцендентное, то решить его относительно A и j не удается, поэтому изменяют постановку задачи: полагают, что известны C и A , а необхо-

115

димо определить частоту w и фазовый сдвиг j для всех значений амплитуд. Таким образом, необходимо на комплексной плоскости построить характеристики KЛЧ-1 ( jw) и КНЭ ( А) (рис. 5.9, а). Затем для каждого заданного значения

A строить окружности радиусом C при С = const . Центр этих окружностей

A

будет лежать на кривой -KHЭ (A) в точках Ai . Точки пересечения этих окруж-

ностей с характеристикой K -1 (

jw) дают искомую зависимость

A = f

(w) (рис.

ЛЧ

1

5.9, б). Отсутствие решения – неустойчивые процессы системы.

a

С

С

A

б

KЛЧ-1 ( jw)

w

R1 = A

A

·

1

w''2

''

С

w1

·

A2

·

w'2·

·

w'

-KНЭ ( A)

1

w

w

w1

0 0 w'

w'

w'' w''

w

2

1

2

1

2

Рис. 5.9

Чтобы построить зависимость A = f2 (C )

при w = const , уравнение Голь-

дфарба записывают в виде:

AéK -1

( jw) + K

HЭ

(A)ù

= Ce jj .

(5.11)

ë

ЛЧ

û

На комплексной плоскости строится кривая, соответствующая левой ча-

сти уравнения и

семейство

окружностей

с

различными

радиусамиR = Ci .

Центр окружностей

лежит

в

начале

координат, точки

пересечения

с кривой

AéëKЛЧ-1 ( jw)+ KHЭ (A)ùû соответствуют искомой зависимости (рис. 5.10).

	y1,	y2		A		·	·
	C 2
C3				·
							·
	C1		0	· ·		· ·
		· ·
	0		··	C C	2	C C		C
C4				1		3	4
· ·	·	· ·

A[KЛЧ ( jw) + KНЭ ( A)]

Рис. 5.10

116