Рис. 4.5. Характеристики элемента с зоной нечувствительности: а – зависимость f(x), б – зависимость f(Asin wt), в – зависимость q(A)

Реальное двухпозиционное реле (рис. 4.6).

		4b					a2				¢					4ba
q(A) =					1-				,		q ( A) = -								.	(4.10)
		p A					2									pA		2
							A

Рис. 4.6. Характеристики реального двухпозиционного реле:

а – зависимость f(x), б – зависимость f(Asin wt), в – зависимости q(A) и q¢(A)

Анализ этих графиков показывает, что с увеличением амплитуды входного сигнала A крутизна линеаризованной характеристики падает. Сдвиг по фазе

выходного сигнала относительно входного в неоднозначных нелинейностях отрицателен (q¢(A) < 0), при A ® ¥ он уменьшается, так как относительная ширина петли уменьшается.

Амплитуда и фаза первой гармоники на выходе нелинейного элемента будут:

A = K H ( A) =	(q( A))		2	¢	2	,	(4.11)
				+ (q ( A))
j = arctg		q¢( A)		.			(4.12)
		q( A)

4.2.Определение амплитуды и частоты автоколебаний

4.2.1.Аналитический метод

Согласно структурной схеме (рис. 4.2) характеристическое уравнение нелинейной системы:

107

	D ( jw, A) =1+ KH (A )KЛЧ ( jw )=1 +	KH (A)M ( jw)	= 0 ,
		N ( jw )
	откуда
	N ( jw) + KH (A)M ( jw) = 0 .		(4.13)

Аналитический метод предполагает, что на основании уравнения(4.13) необходимо записать действительную и мнимую части D ( jw, A):

ï	ë	(	jw, A	)û	= 0,
ìR e é D				ù
íIm é D		(			(4.14)
			jw, A )ù = 0.
ï	ë			û
î

Получаем два уравнения с двумя неизвестными, совместное решение которых позволяет определить A и w.

Этот метод ограничивается исследованием систем не выше четвертого порядка, причем для простейших коэффициентов гармонической линеаризации нелинейных элементов KH (A).

Обычно в аналитическом методе определяют зависимость A и w от коэффициента усиления системы K или от постоянной времени T , т. е. решают вторую из поставленных задач в виде D ( jw, A, П ) = 0 , где П – один из внутренних

параметров системы. Для нахождения зависимости анализируют систему уравнений

ï	ë	(	)û	= 0,
ìRe éD			jw, A, П ù
íIm éD		(		(4.15)
			jw, A, П )ù = 0.
ï	ë		û
î

Полученный результат может представленный на рис. 4.7.

A(K ),w(K)

A1

·

w1

0

Kгр

при определенных условиях иметь ,вид

A'	A = F1(K )
· 2

w	·	w = F2	(K )
2

A2 ·

K

Рис. 4.7

При построении возникает ситуация колебаний на одной частоте(w2), но с двумя разными амплитудами A2 и A2' . С точки зрения физического смысла это означает, что одно из решений будет неустойчиво.

108

4.2.2. Графоаналитический метод

Характеристическое уравнение 1 + KЛЧ ( jw)KН ( A) = 0 запишем в виде:

	KЛЧ ( jw )= -				1			(4.16)
			KH (A )
	или
		1
	KH (A )= -					.		(4.17)
		KЛЧ
				( jw )

Для определения параметров A и w необходимо построить в соответствии с (4.16) АФЧХ линейной части системы и график правой части, т.е. обратную характеристику НЭ со знаком«минус» (рис. 4.8) или в соответствии с(4.17) обратную АФЧХ линейной части со знаком«минус» и характеристику нелинейного элемента (рис. 4.9). Равенство будет выполняться тогда, когда кривые пересекаются. Точки пересечения – искомое решение задачи. Точек пересечения графиков может быть одна, две, возможно и больше.

Если характеристики не пересекаются, то периодические процессы в НСАУ не возникают. При наличии точек пересечения частота периодических движений определяется по АФЧХ линейной части, а амплитуда – по характеристике нелинейного элемента.

Первый способ определения параметров периодических движений называется способам Гольдфарба (рис. 4.8). При оценке устойчивости периодических движений используют такоеправило: если при движении по характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение АФЧХ линейной части «изнутри наружу», то в этой точке будут автоколебания, в противном случае колебания неустойчивы. На рис. 4.8 точка 1 соответствует устойчивым колебаниям (автоколебаниям), точка 2 – неустойчивым.

Второй способ называется способом Коченбургера (рис. 4.9). В этом случае оценка устойчивости периодических движений производитсяпо правилу: если при движении по характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение обратной АФЧХ линейной части «снаружи внутрь», то в этой точке будут автоколебания, в противном случае – нет. На рис. 4.9 точка 1 соответствует автоколебаниям, точка 2 – неустойчивым колебаниям.

-	1		Im				Im 2	-	1
	Kн ( A) ·1								KЛЧ ( jω)
							·
			0	·	Re	Kн ( A)	1
							·		Re
							0
·
2				KЛЧ ( jω)		Рис. 4.9. Иллюстрация способа

Коченбургера

Рис. 4.8. Иллюстрация способа Гольдфарба

109