средства или ее программу можно получить правильно только тогда, когда переменные описываются непрерывными функциями. Поэтому разработано несколько методов получения информации между съемами. Один из них - модифицированное z–преобразование. Его суть заключается в том, что вводится запаздывание на съем информацииeT, где 0 £ eT £ 1, t = kT + eT. Формула модифицированного z–преобразования имеет вид:

¥
F (z,e )= å f (kT + eT )z-k .	(2.33)

k =0

Очевидно, что при e = 0 оно вырождается в обычное z-преобразование.

2.4. Решение разностных уравнений

Назовем три основных метода решения линейных разностных уравнений. Первый состоит в нахождении свободной и вынужденной составляющих

при классическом решении линейных уравнений. Он будет применён при исследовании процессов в дискретных системах.

Второй метод – рекуррентный. Он непосредственно следует из разностных уравнений системы.

Третий метод основан на нахождении оригинала(решетчатой функции) по z–преобразованию путем разложения последнего в ряд Лорана.

Проиллюстрируем два последних метода на примере.

Пример 2.2. Пусть	u(k) = x(k) – x(k – 1) – u(k – 1), k ³ 0, x(–1) = u(–1) = 0
ì1, для четныхk,	Найти значения u(k) для k = 0, … , 4.
x(k) = í

î0, для нечетныхk.

u(0) = x(0) - x(-1) - u(-1) =1 - 0 - 0 =1, u(1) = x(1) - x(0) - u(0) = 0 -1 -1 = -2 , u(2) = x(2) - x(1) - u(1) =1 - 0 - (-2) = 3 , u(3) = x(3) - x(2) - u(2) = 0 -1 - 3 = -4 , u(4) = x(4) - x(3) - u(3) =1 - 0 - (-4) = 5 .

Для получения большего числа значений k можно использовать програм-

му MATLAB:

ukminus1=0; xkminus1=0; xk=1; for k=0:4

uk=xk-xkminus1-ukminus1; [k xk uk]

ukminus1=uk;

xkminus1=xk; xk=1-xk;

end

21

В результате выполнения этой программы получена матрица коэффици-

ентов:	1	1
0
1	0	-2
2	1	3
3	0	-4
4	1	5

Рассмотрим третий метод, воспользовавшись таблицами z-преобразова- ния. Для условия предыдущего примера найдемz-преобразование с учётом теоремы запаздывания:

U (z) = X (z) - z-1 X (z) - z-1U (z), откуда U (z) = 1 - z-1 X (z). 1 + z-1

В силу того, что

1,

для четных k

и

используя

формулу из

x(k ) = {0,

для нечетных k

теории рядов:

X (z) =1 + 0 × z-1 +1× z-2 + 0 × z-3 +1× z-4 + ... =

1

=

1

=

z2

,

- x

- z-2

z2 -1

находим U (z) =

z -1

z2

z2

1

x=z-2

1

=

.

z +1 z2 -1 z2 + 2z +1

Разделив числитель на знаменатель, получим:

-

z2

z2 + 2z +1

z2 + 2z +1

1 - 2z

-1

+ 3z

-2

- 4z

-3

+ 5z

-4

- K

-2z -1

- -2z - 4 - 2z -1

3+ 2z-1

-3 + 6z-1 + 3z2

-4z-1 - 3z-2

-4z-1 - 8z-2 - 4z-3

5z-4 + 4z-3

U(z) = 1 – 2z-2 + 3z-2 – 4z-3 + 5z-4, т.е. u(k) имеет те же значения, что и полученные предыдущим способом.

2.5. Передаточные функции и схемы моделирования дискретных систем

Пусть дискретная система описывается разностным уравнениемn-го порядка общего вида

a0 y(k) + a1 y(k -1) + ... + an y(k - n) = b0v(k ) + b1v(k -1) + ... + bnv(k - m). (2.34)

Подвергнув его z-преобразованию, получим при нулевых начальных условиях

a0Y (z) + a1z-1Y (z) +... + an z-nY (z) = b0V (z) + b1z-1V (z) + ... + bm z-mV (z). (2.35)

22

Откуда

	K (z) =	Y (z)	=	b	+ b z-1	+ ... + b z-m		.	(2.36)
				0	1	m
		V (z)		a	+ a z-1	+ ... + a	z-n
			0		1	n

Выражение (2.36) является дискретной передаточной функцией. Дискретную передаточную функцию можно получить и из разностного

уравнения (2.8), подвергнув его z-преобразованию, в виде:

K (z) =	Y (z)		b zm + b zm-1		+ ... + b
		=	0	1	m	.	(2.37)
	V (z)		a zn + a zn-1
					+ ... + a
		0		1	n

Моделирование дискретных систем производится по аналогии с непрерывными. Вместо интегратора используется регистр сдвига

	f (k )		f (k	-	1) ,
		T

осуществляющий задержку на период дискретизацииT. В остальном принцип составления модели такой же, как и в непрерывной системе. Схема модели разностного уравнения (2.34) или передаточной функции (2.36) изображена на рис. 2.7. Отметим, что эта схема не единственная, возможны и другие конфигурации.

V (z)		K	Y (z)
b0	b1	bi	bm
a0	a0	a0	a0

å

an

a

a2

a1

a0

i

a0

a0

a

0

Рис. 2.7. Схема моделирования (2.34) или (2.36)

23

2.6. Представление данных в импульсной системе

Рассмотрим систему, представленную на рис. 1.1. В этой структуре импульсный элемент (ИЭ), как отмечалось ранее, осуществляет квантование сигнала и модуляцию. Естественно, при квантовании непрерывного сигнала происходит потеря информации, поскольку значения квантованного сигнала известны только для дискретных моментов времени. Для уменьшения потери информации после квантователя вводят устройство восстановления данных, называемое фиксатором. Его назначение – преобразовать квантованный сигнал в непрерывный, близкий исходному. Наиболее распространен фиксатор

нулевого порядка, запоминающий квантованный сигнал на весь период квантования T.

Реальный импульсный элемент объединяет квантователь и фиксатор, которые отдельно не существуют. Сигналы ИЭ и его схематическое изображение показаны на рис. 2.8.

Сигнал на выходе ИЭ можно представить выражением:

x(t) = x(0)[1(t) -1(t -T )] + x(T )[1(t -T ) -1(t - 2T )] + x(2T )[1(t - 2T ) -1(t -3T)] +... .

x(t), x (t)

x(t)

x (t)

x(t)		x	(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T t

Рис. 2.8. Сигнал ИЭ (а), изображение ИЭ (б)

Подвергнув это выражение преобразованию Лапласа, получим

é

-Ts ù

é

-Ts

-2Ts ù

é

-2Ts

-3Ts ù

X

(s) = x(0)

ê

1

-

e

ú

+ x(T ) ê

e

-

e

ú

+ x(2T ) ê

e

-

e

ú

+ ... =

s

s

s

s

ës

û

ë

û

ë

s û

(2.38)

-Ts

-2Ts

1 - e-Ts

é ¥

-kTs ù1 - e-Ts

= [x(0) + x(T )e

+ x(2T )e

+ ...]

= êåx(kT )e

ú

.

s

s

ëk =0

û

Выражение в квадратных скобках описывает операцию квантования непрерывного сигнала, а второй сомножитель – фиксацию (восстановление), что эквивалентно изображению ИЭ на рис. 2.9. Другими словами: импульсный элемент состоит из идеального импульсного элемента (квантователя) – ключа и

фиксатора с передаточной функцией 1 - e-Ts . s

24