регуляторов показывает, что аппаратные аналоговые регуляторы менее гибки с точки зрения реализации алгоритмов управления, обладают дрейфом параметров, низкой помехоустойчивостью.

Представление закона управления в виде разностного уравнения, аналогичного (5.24), или в виде передаточной функции(5.23) является по существу алгоритмом программирования, который может быть реализован аппаратно с помощью промышленного регулятора или программно.

Дискретные регуляторы, реализуемые на базе микропроцессоров, относятся к комбинированным. Они обладают гибкостью, стабильностью в работе, высокой точностью. Так, при числе разрядов N = 12 погрешность не превышает

0,05% .

6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЯ

6.1. Уравнения состояния дискретных систем и схемы моделирования

Пусть дискретная система описывается разностным уравнением:

y(k) = 0,5v(k -1) + 0,3v(k - 2) +1,5 y(k -1) - 0,5 y(k - 2) ,

(6.1)

где v(k) – входной сигнал системы, а y(k) – её выходная координата. Подвергнув это уравнение z-преобразованию, получим дискретную пере-

даточную функцию

K (z) =	Y (z)	=	0,5z-1	+ 0,3z-2	=		0,5z + 0,3	.	(6.2)
						z2	-1,5z + 0,5
	V (z) 1 -1,5z-1 + 0,5z-2

Разностному уравнению (6.1) или передаточной функции (6.2) могут соответствовать различные схемы моделирования(см. раздел 2.5). Одна из них приведена на рис. 6.1.

V (z)	T			0,5		Y (z)

		+
T	0,3	+	å	T	T
		-		-
				-1,5	0,5

Рис.6.1. Схема моделирования дискретной передаточной функции

60

Чтобы изобразить модель в переменных состояния системы, описываемой разностным уравнением(6.1), примем за переменную состояния выход каждого элемента задержки T . В нашем случае система имеет второй порядок, поэтому переменных состояния две: x1(k) и x2(k). Тогда схема моделирования может иметь вид рис. 6.2.

0,5

+

v(k)				x2 (k)	T	x1 (k)		+	å	y(k)
	å		T				0,3

--

-1,5

0,5

Рис. 6.2. Схема моделирования разностного уравнения в переменных состояния

В соответствии с этой схемой и с учетом того, что входы элементов задержки будут описаны как x1(k + 1) и x2(k + 1), уравнения состояния можно записать в виде:

ìx	(k +1) = x (k),
ï 1	2	(k) +1,5x2 (k) + v(k),	(6.3)
íx2 (k +1) = -0,5x1
ïy(k) = 0,3x (k) +		0,5x (k).
î	1	2

В векторно-матричной форме получим:

ìéx (k +1)		ù	é 0	1 ù é x (k) ù			+
ï	ê 1	ú	= ê	ú ê	1	ú
ï	ëx2 (k +1)	û	ë-0,5 1,5û ëx2 (k)û
í			é x1 (k) ù
ï
ïy(k) = [0,3			0,5]ê	ú.
î			ëx2	(k)û

Окончательно в компактном виде:

{X (k +1) = AX (k) + Bv(k), y(k) = CX (k ).

é0ù

ê úv(k),

ë1û

(6.4)

(6.5)

Распространив эти рассуждения на самый общий случай, уравнения в переменных состояния записывают в виде:

ìX (k +1) = AX (k ) + BV (k ),
ï									(6.6)
íY	(	k	= CX	(	k	+ DV	(	k ,
ï			)			)		)
î

61

где матрицы A – основная, B – входа, C – выхода, D – связи имеют размерности, как и в непрерывных системах, соответственно n ´ n, n ´ m, p ´ n, p ´ m. В реальных системах матрица связи D обычно равна нулю, поэтому в дальнейшем ее учитывать не будем.

	6.2. Решение уравнений состояния
	Рассмотрим первое матричное уравнение состояния системы (6.6):
	X (k +1) = AX (k ) + BV (k ) .		(6.7)
	Его можно решить как итерационным методом, изложенным в разд. 2.4,
так и используя z -преобразование.		При этом надо знать X (0)	и V (k )
	Решим уравнение первым методом.
для всех значений k :
k = 0:	X (1) = AX (0) + BV (0);	(0 )ù + BV (1 )= A2 X (0 )+ ABV (0 )+ BV (1 );
k =1:	X (2 )= AX (1 )+ BV (1 )= AéAX (0 )+ BV
k = 2:	ë	û
	X (3 )= AX (2 )+ BV (2 )= AéA2 X (0 )+ ABV( 0 ) + BV (1 )ù + BV (2 )=
	ë	û
M	= A3 X (0 )+ A2BV (0 )+ ABV (1 )+ BV (2 );
k = n -1: X (n )= An X (0 )+ An-1BV (0 )+ An-2BV (1 )+K+ ABV (n - 2)+ BV (n -1).
Решение уравнения (6.7) в общем виде:
	n-1
	X (n )= An X (0 )+ åAn-1-k BV (k ).		(6.8)

k =0

Найдем решение уравнения (6.7), используя z-преобразование. Для этого представим (6.7) в развернутом виде:

	ïìx1 (k +1) = a11x1 (k ) +K+ a1n xn (k ) + b11v1 (k ) +K+ b1mvm (k ),
	í	M
	îïxn (k +1) = an1x1 (k )+K+ ann xn (k )+ bn1v1 (k )+K+ bnmvm (k ).
Применим к последним уравнениям z-преобразование:
ìz éX1 (z) - x1 (0)ù = a11 X1 (z ) +L+ a1n X n (z ) + b11V1 (z ) +L+ b1mVm (z ),
ï	ë	û
í		M
ïz éX n (z )- xn		(0 )ù = an1 X1 (z )+L+ ann X n (z )+ bn1V1 (z )+L	+ bnmVm (z ).
î	ë	û

В векторно-матричной форме эти уравнения будут:

	z éX (z ) - X (0)ù = AX (z ) + BV (z ) ,
	ë	û
откуда	X (z ) = z[zE - A]-1 X (0) + [zE - A]-1 BV (z ),		(6.9)
где E − единичная диагональная матрица diag [1 1L1].
62

Применяя к (6.9) обратное z-преобразование, получим решение в виде:

	X (n )= F(n )X					n-1
					0( +)åF(n -1 - k )BV k( .)						(6.10)
						k =0
	Из сравнения (6.10) и (6.8) вытекает, что
	F(n )= Z -1 {z[zE - A]-1}= An ,										(6.11)
	F	(	n -1 - k	)	= Z -1	[	zE - A	-1		= An-1-k .
								]	}
						{

Рассматривая дискретную систему с одним входом и одним выходом, можно получить передаточную функцию системы по матрицам.

Если начальные условия нулевые (т. е. X (0) = 0 ), то из (6.9) следует:

X (z ) = [zE - A]-1 BV (z ).

Подставив это значение в z -изображение второго уравнения (6.5), полу-

чим:

Y (z ) = CX (z ) = C[zE - A]-1 BV (z ) ,

откуда

	Y (z )		-1
K (z )=			= C [zE - A]	B .	(6.12)
	V (z )

Пример 6.1. Пусть передаточная функция дискретной системы

K (z) =

Y (z)

=

z

.

V (z) z2 - 5z + 6

Изобразим модель в пространстве состояний (рис. 6.3).

y(k )

v(k )

x2(k)

x1 (k )

å

T

T

-

-5

6

Рис. 6.3. Схема модели

63

Уравнения состояния в развернутом виде:

ìx (k +1)	= x (k ),
ï 1	2
íx2 (k +1) = -6x1(k) + 5x2 (k) + v(k),
ïy(k) = x (k);
î	2
в векторно-матричной форме:
ì	é 0	1ù	é0ùv(k),
ïX (k +1)	= ê	ú X (k) +
í	ë-6	5û	ê	ú
			ë1	û
ï
îy(k) = [0 1]X (k).

Решим уравнения итерационным методом,

полагая что X (0) = 0; v(k) =1

при k = 0, 1, 2, ... ;

y(0) = 0.

X (1) = AX (0) +

Bv(0) =

é 0 1ù é0ù + é0ù1 =

é0ù

,

y(1) =

[

0

1

é0ù =1;

ê

ú ê ú ê ú

ê ú

]ê ú

ë-6 5û ë0û ë1û

ë1û

ë1

û

X (2) = AX (1) + Bv(1) =

é 0 1ù é0ù é0ù

é1ù

,

y(2) = [0

é1ù

= 6;

ê

ú ê

ú + ê

ú1 = ê ú

1]ê

ú

ë

-6 5û ë1û ë1

û

ë6û

ë6û

é 0 1ù é1ù é0ù

é 6 ù

é 6 ù

= 25;

X (3) = AX (2) + Bv(2) = ê

ú ê

ú

+ ê ú1 =

ê

ú,

y(3) = [0 1]ê

ú

ë-6 5û ë6û ë1û

ë

25û

ë25û

M

Решим

эти

уравнения

с

использованиемz –преобразования.

[zE - A]=êéz

-1 úù;

zE - A

= z2 - 5z + 6,

корни

уравнения z2 - 5z + 6 = 0

будут:

ë6

z -5û

-

1

1

éz - 5

1ù

z1 = 2 , z2 = 3 , тогда

[zE - A]

1 =

[zE

- A]пр =

ê

ú, где

zE

-

A

z

2

- 5z + 6

[zE - A]пр - матрица, присоединенная

ë -6 z

û

относительно матрицы [zE - A].

X (z) = [zE - A]-1 BV (z). Так как V (z) =

z

, то

z

-1

z

é

ù

éz - 5

ê

ú

1

1ù é0ù

z

1

é1ù

z

(z -1)(z2 - 5z + 6)

X (z) =

ê

ú ê ú

=

ê

ú

= ê

ú,

z

2

-6

z

2

- 5z + 6

z

2

- 5z + 6 ë

û ë1û z -1 z

ëz

û z -1 ê

ú

ê

ú

(z -1)(z

2

- 5z + 6)

ë

û

é

z

ù

ê

ú

[

(z -1)(z2 - 5z +

6)

z2

Y (z) = CX (z) =

0 1

ê

z2

ú

=

.

]ê

ú

(z -1)(z - 2)(z - 3)

ê

ú

(z -1)(z

2

- 5z +

6)

ë

û

64