5.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Влинейных системах частота вынужденных колебаний совпадает с -ча стотой вынуждающего внешнего воздействия, амплитуда вынужденных колебаний в установившемся режиме связана с амплитудой внешнего гармонического воздействия линейной зависимостью, устойчивость вынужденных колебаний определяется только свойствами системы и не зависит от параметров внешнего вынуждающего воздействия.

Внелинейных же системах вынужденные колебания характеризуются следующими свойствами:

1.Вынужденные колебания содержат гармоническую составляющую на частоте, совпадающей с периодическим внешним воздействием и, кроме того гармоники, кратные этой частоте.

2.Амплитуда вынужденных колебаний связана с амплитудой вынуждающего воздействия нелинейной часто неоднозначной зависимостью.

3.Устойчивость зависит как от свойств системы, так и от параметров внешнего воздействия.

5.1. Определение параметров и устойчивости вынужденных колебаний (задача Дуффинга)

Предположим, что система описывается нелинейным дифференциальным уравнением

&&x + xx& + f (x ) = Ccoswt .

(5.1)

Пусть x = 0 (в системе отсутствуют потери энергии, т. к. x – характеризует затухание процесса), а решение уравнения (5.1), если C и w заданы, отыскивается в виде x (t ) = Acoswt .

Амплитуду A и частоту w вынужденных колебаний необходимо определить, но в общем случае строят следующие зависимости: A = f1 (w); A = f2 (C ).

Для решения задачи сначала определяют первую и вторую производные от x(t):

x& = w Asinwt,

&&x = -w2 Acoswt.	(5.2)
Пусть характеристика НЭ имеет вид:
f (x) = w2 x ± x3h ,	(5.3)
0

где h – некоторый параметр НЭ. Знак «плюс» выбирается, если НЭ имеет зону нечувствительности, «минус», если – насыщение.

110

	3	3	3		3 é	3		1		ù
Найдем значение x		= A	cos	wt = A	ê		coswt +		cos3wt	ú	. Поскольку
						4		4
					ë					û

величина третьей гармоники мала,
				x3 »	3	A3coswt .				(5.4)
4
Подставив найденные значения в									исходное	уравнение, запишем
-w2 Acosw t + w02 Acosw t +			3	hA3coswt = Ccoswt					и, сократив левую и правую
4
части этого выражения на coswt , получим уравнение Дуффинга:
			(w02 - w2 )A +				3	h A3 = C .		(5.5)
4
Решить это уравнение можно графически. Для этого представим (5.5) в
виде	3	h A3 = C + A(w2 - w 02 ) и обозначим левую часть черезy1								= -	3	hA3 , пра-
4										4

вую через y2 = C + A(w2 - w 02 ).

Построим график левой и правой частей(рис. 5.1) и найдем зависимости

A = f1 (w) при C = const ,					A = f2 (C ) при w = const .
При изменении частоты график прямойy2 вращается. Это дает возмож-
ность проследить за точками пересечения кривых y1, y2									при изменении частоты
w и построить зависимость A = f1 (w) (рис. 5.2).
g				y1 , y2				A
								¢
y2								A1
					w = w0			¢¢¢
								A1
				C			A	A1
'	A0 A 0			''	'''			¢¢
A	2		A		A			A
1					1			1
				1				A2
y2					g	y2
w > w0						w < w0		w < w0	w0	w < w0 w
			Рис. 5.1						Рис. 5.2
В	реальных			системах		присутствуют потери мощности(x ¹ 0). В этом

случае АЧХ для различных значений параметра h имеют вид рис. 5.3.

111

A	h = 0
h > 0	h < 0
	c
	d
	b

	q
	e	f
0	a
	w0	w
	Рис. 5.3

При возрастающей частоте w и C = const амплитуда A возрастает на интервале abc, на cd несколько уменьшается и скачком принимает значениеe, затем снова убывает на ef. При уменьшении частоты w амплитуда A возрастает на интервале feq , затем скачком переходит в b и снова убывает на ba. Это явление получило название скачкообразного резонанса.

Чтобы построить амплитудную зависимостьA = f2(C), необходимо построить нелинейную характеристику y1 и семейство прямых y2, при различных значениях C. Изменяя значения параметра C , определяют точки пересечения семейства кривых y2 и y1, по которым строят искомый график зависимости

(рис. 5.4).

g	y1 , y2		A
			A1 = A3
A	0	A3	0
1		C	C0	C1 C2 C
			2

C 1

C0

Рис. 5.4. A1 = A3 , так как характеристика симметрична при C0 = 0

Задача Дуффинга может быть решена при исследовании вынужденных колебаний нелинейных систем второго порядка вида(5.1). Если порядок системы превышает второй, то применяют метод эллипса, когда НЭ находится в канале ошибки или метод Гольдфарба, когда НЭ находится в цепи ОС.

112

5.2. Метод эллипса

Пусть нелинейная система имеет структуру (рис. 5.5).

v(t )		x (t )						y (t )
	å		KНЭ	(x)		K	ЛЧ (jw)
+
-

Рис. 5.5

В этой системе нелинейный элемент включен в канал ошибки. Будем считать, что характеристика нелинейного элемента однозначна.

Запишем выражение АФЧХ замкнутой

x ( jw)		1		KЛЧ-1 ( jw)
	)=		)=	KЛЧ-1 ( jw )+ KНЭ (x ).
v( jw		1 + KНЭ (x )KЛЧ ( jw

	KЛЧ ( j	) ë ( ) ( )û
При	-1	w = éa w + jb w ù получим

x ( j	w	)		ë (	w	)	(	)û
			)=	éa			+ jb	w ù		(x ).
				éa(w )+ jb(w )ù + K
v( jw									НЭ
				ë			û

системы по оши

(5.6)

Рассмотрим квадраты модулей сигнала ошибки x и входного сигнала v :

x

2 = é

a(w )+ K

(x )

+ jb(w )ù2 =

v

2 éa(w )+ jb(w )ù2

,

ë(

НЭ

)

û

ë

û

x

2 éK

(x )+ a w(

ù2)= -b2 (w )x

2 + éa2 (w )+ b2

(w )ù

v

2 ,

ë

HЭ

û

ë

û

тогда

(x )= -xa(w )±

xK

НЭ

-x2b2 (w )+ v2a2 (w )+ v2b2 (w ).

(5.7)

1444444442444444443

14243

y1

y2

Обозначим

левую

и

правую части

выражения(5.7)

через

y1 и

y2 ,

где

y1 = xKНЭ (x) – нелинейная характеристика,

y2 – уравнение эллипса.

При

из-

менении частоты w, эллипс поворачивается вокруг начала координат, а при изменении амплитуды входного сигнала оси эллипса не изменяют своего -по ложения, но значения их как в первом так и во втором случае изменяются, что позволяет строить зависимости A = f1 (w), A = f2 (C ).

Таким образом, чтобы получить зависимость A = f1 (w) при v = const , необходимо выполнить построения, приведенные на рис. 5.6.

113