На частоте среза D(jwwcж )G( jwwcж ) = e j (-1800 +Dj) . Тогда

a0

1 - a1

K

ЭНЧ ( jwwcж )

cos q

, b0

cos q - a1

KЭНЧ

(

jwwcж )

=

=

,

(5.15)

wwcж

KЭНЧ ( jwwcж )

sin q

wwcж sin q

q = arg D( jw

) = -1800 + Dj - arg K

ЭНЧ

( jw

wcж

) ,

(5.16)

wcж

D ( jwwcж )

=

1

.

(5.17)

KЭНЧ ( jwwcж )

При синтезе регулятора должны быть известны a1, wwcж , Dj .

Коэффициент передачи на низких частотах a1 выбирается, исходя из требований точности.

Частота среза wwcж может быть найдена из(5.16) с учетом того, что угол q должен быть положителен, т.е.

arg K	ЭНЧ	( jw ) < -1800	+ Dj .	(5.18)
		wc

При этом можно воспользоваться подходом к определению частоты среза непрерывной системы, которая связана с быстродействием системы

8 -10 wc @ tp tg(Dj) .

После расчета параметров регулятора надо с помощью моделирования в среде Matlab убедиться, что скорректированная система устойчива и удовлетворяет исходным требованиям.

5.5. Цифровые ПИД-регуляторы

При объединении регуляторов с отставанием по фазе и с опережением по фазе можно получить более гибкую коррекцию в виде ПИД-регулятора.

Если непрерывный ПИД-регулятор описывается передаточной функцией

KПИД (s) = KП	+	KИ	+ K	Д s
		s
и непрерывным уравнением U (t ) = K П x(t ) + K И ò x(t)dt + K Д					dx(t)	, то цифро-
					dt

вой ПИД-регулятор описывается дискретной передаточной функцией и -раз ностным уравнением. Получим дискретную передаточную функцию интегратора, который описывается уравнением

u	(	(k +1)T	)	= u(kT ) + Tx	((	)	)	,	(5.19)
						k +1 T

58

что соответствует правилу прямоугольников(метод Эйлера) численного интегрирования.

Подвергнув уравнение (5.19) z –преобразованию, имеем z[U (z) - u(0)] = = U (z) + Tz[X (z) - x(0)], а при нулевых начальных условиях:

KИ	(z) =	U (z)	=	Tz	.
		X (z) z -1

Дифференцирование описывается разностным уравнением:

u ((k +1)T ) = x ((k +1)T ) - x(kT ) , T

а передаточная функция будет иметь вид:

K Д (z) = z -1.

Tz

(5.20)

(5.21)

(5.22)

Объединяя передаточные функции пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего звеньев, получаем передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора:

K

(z) = K

+ K

Tz

+ K

z -1

.

(5.23)

И z -

ПИД

П

1

Д Tz

Этой передаточной функции соответствует разностное уравнение:

u(k +1) = KП x(k +1) + KИ [u(k) +Tx(k +1)] + K Д x(k +1) - x(k) . (5.24)

T

Пример 5.2. Пусть при коррекции непрерывной системы получен ПИД–

регулятор с передаточной функцией KПИД (s) = 2 + 0,0011 +1,5s. Необходимо s

записать передаточную функцию дискретного регулятора с периодом дискретизации T = 0,01 с.

Так как

1

®

Tz

, а s ®

z -1

, то K

ПИД

(z) = 2 +

0, 00001z

+150

z -1

.

z -1

s z -1

Tz

z

5.6. Особенности реализации дискретной коррекции

Дискретные алгоритмы управления можно реализовать тремя способами: аппаратным, программным и комбинированным.

При аппаратной реализации дискретных алгоритмов управления используют импульсные регуляторы, содержащие модулятор, осуществляющий модуляцию (АИМ, ШИМ, ВИМ) входного сигнала. Как уже отмечалось, при определенном выборе периода дискретизации T импульсный регулятор можно свести к эквивалентному непрерывному. Сравнение дискретных и аналоговых

59