и практические вопросы сравнительно легко могут быть решены с помощью моделирования, которое дополняет первые две группы методов.

В инженерной практике чаще применяются методы: фазовой плоскости; основанные на теоремах А. М. Ляпунова; гармонической линеаризации нелинейных характеристик; цифрового интегрирования (моделирования).

2. МЕТОД ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА

2.1. Фазовое пространство

Метод фазового пространства относится к наиболее ранним точным аналитическим методам теории нелинейных систем.

Введем понятие фазового пространства. Пусть система n–порядка описывается дифференциальными уравнениями

ì	dx1			= j (x , x , ... x , f , v),
ï dt		1			1	2	n
ï
ïdx2				= j2	(x1	, x2	, ... xn , f , v),
ï								(2.1)
í dt
ïLLLLLLLLLLL
ï	dxn
ï				= j	(x , x , ... x , f , v)
ï				n	1	2	n
î dt

	с начальными	условиями x1 = x10 , x2 = x20 , …, xn = xn0				при t = 0 . В (2.1) f и
	v – возмущение	и входное воздействие, а			xi – переменные, имеющие в кон-
	кретной системе свой физический смысл. Это могут быть выходная координата
	и ее производные. Если в (2.1)		n = 3 , то x1 ,		x2 , x3 можно представить как пря-
	моугольные координаты (рис. 2.1).			Начальные условия ( x10 , x20 , x30 ) опреде-
	x3
		M 0 (t = 0)	ляют координаты точки M 0 при t = 0 . По мере
	M		развития процесса в системе точка M переме-
		x1	щается в пространстве			и значенияx1 , x2 , x3
	0		изменяются.		Точка M называется изображаю-
			щей	точкой,	ее траектория – фазовой		траекто-
	x2		рией,	а пространство ( x1 , x2 , x3 ) –			фазовым
			пространством. Если переменных n > 3 , то фа-
	Рис. 2.1. К понятию фазового		зовое пространство будет n –мерным, а если
	пространства		только две (система второго порядка), то фазо-

вое пространство превращается в фазовую плоскость.

80

Рассмотрим поведение автономной линейной системы, описываемой

уравнением второго порядка

d 2 x

+ a

dx

+ a

x = 0 .

(2.2)

dt2

dt

1

2

Обозначим скорость изменения координаты x , т.е.

dx

, через x& . Тогда

уравнение (2.2) примет вид

dt

dx&

= -a x&

- a x ,

dx

= x& .

dt

1

2

dt

Исключим из последней системы времяt, разделив первое уравнение на

второе:

dx&

= -a - a

x

.

(2.3)

dx

1

2

x&

Решение уравнения (2.3) определяет семейство кривых на фазовой плоскости, которое называют фазовым портретом системы. При этом возможны шесть типовых случаев изображения портретов систем в зависимости от корней характеристического уравнения системы:

a2 - 4a	2 .	(2.4)
l = - a1 ± 1

22

1.Корни вещественные отрицательные при a12 > 4a2 , a1 > 0 , a2 > 0 (система устойчивая, апериодический монотонный процесс) (рис. 2.2).1,2

x&

0

0

Рис. 2.2

2. Корни вещественные положительные при a12 > 4a2 , a1 < 0 , a2 > 0 (система неустойчивая, монотонный расходящийся процесс) (рис. 2.3).

81

x (t )

x&

1

1

0	t	0

Рис. 2.3

3. Корни комплексные, вещественные части отрицательные при a12 < 4a2 , a1 > 0 , a2 > 0 (система устойчивая, процесс колебательный сходящийся)

(рис. 2.4).

x&

0

0

Рис. 2.4

a2	4.	Корни	комплексные,		вещественные	части– положительные	при
	< 4a ,	a < 0 , a	2	> 0 (система	неустойчивая,	процесс колебательный	расхо-
1	2	1
дящийся) (рис. 2.5).
		x (t )				x&

0	t	0	x

Рис. 2.5

5.Корни чисто мнимые при a1 = 0 , a2 > 0 . (в системе колебательная граница устойчивости, процесс незатухающий колебательный) (рис. 2.6).

82

x(t )			x&
		щA
0	t	0	x
			A
	Рис. 2.6. x (t ) = Asinwt, x& = w Acoswt

6. Корни вещественные с разными знаками приa2 < 0 (система сначала стремится к устойчивому значению, а затем попадает в область неустойчивости, процесс апериодический расходящийся) (рис. 2.7).

x(t )

x&

	0	0
		x
	t

Рис. 2.7

Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся со-

	стоянию системы на основании(2.3) имеем:	dx&	= -a - a		0	, т.е. наклон каса-
		dx		2 0
			1

тельных к фазовым траекториям не определен. Такие точки называют особыми точками. Для рассмотренных шести случаев, особые точки называют соответ-

ственно: устойчивым узлом – (рис. 2.2), неустойчивым узлом – рис. 2.3, устойчивым фокусом – рис. 2.4, неустойчивым фокусом – рис. 2.5, центром –

рис. 2.6, седлом – рис. 2.7.

Отметим общие свойства фазовых траекторий:

1)через всякую точку фазовой плоскости, за исключением особых точек, проходит единственная фазовая траектория, это означает, что фазовые траектории не пересекаются между собой;

2)в верхней фазовой полуплоскости при возрастании времениt изображающая точка движется слева направо, в нижней полуплоскости движение происходит справа налево.

3)в точках, где x& = 0, f (x&, x)¹0 (не особых точках на оси абсцисс), фазовые траектории пересекают ось под прямым углом.

Фазовые портреты нелинейных систем. В нелинейных системах, как правило, существуют несколько особых точек. Возможны их самые различные

83

комбинации. В связи с этим для определения характера движения системы необходимо строить фазовый портрет НСАУ. При этом каждая нелинейная система имеет собственный фазовый портрет.

Выделим основные особенности фазовых портретов нелинейных систем: нелинейные системы в отличие от линейных могут иметь несколько особых точек, в том числе и бесчисленное множество; в нелинейных системах существуют замкнутые кривые – предельные циклы, к которым сходятся или от которых расходятся все остальные фазовые траектории.

Все фазовые портреты можно классифицировать по типу предельного цикла. Рассматривают три типа предельных циклов.

1. Устойчивый предельный цикл: к нему стремятся все соседние фазовые траектории.

В системе существуют установившиеся устойчивые незатухающие колебания (автоколебания). При больших начальных условияхa¢ колебания затухают, и система ведет себя как устойчивая. При начальных условиях внутри цикла a¢¢ колебания расходятся, что соответствует неустойчивому движению. Говорят, что система «устойчива в большом и неустойчива в малом» (рис. 2.8). В инженерной практике по виду предельного цикла можно определить амплитуду и частоту автоколебаний.

0

0

Рис. 2.8. Устойчивый предельный цикл

2. Неустойчивый предельный цикл: с него сходят все соседние фазовые траектории. В системе никогда не будет установившихся колебаний, так как при наличии сколь-нибудь малых возмущений они гаснут, либо расходятся, если лежат за переделами цикла. Система «неустойчива в большом и устойчива в малом» (рис. 2.9).

	x&		x(t )
	·		·
· ·	0	·	0

·

·

Рис. 2.9. Неустойчивый предельный цикл

84