НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Основные понятия и особенности нелинейных систем

Нелинейной называется система, которая содержит хотя бы один элемент с нелинейной зависимостью между его входной и выходной величинами в установившемся режиме. Нелинейности бывают естественные и искусственно

вводимые. Естественные нелинейности обусловлены свойствами реальных элементов: насыщением, нечувствительностью, неоднозначностью и т.п. Преднамеренно вводимые нелинейности предназначены для улучшения качества систем. Например, в линейной системе характер переходного процесса зависит от величины коэффициента передачи системы K : при большом значении K выходная координата нарастает быстро, но имеет много колебаний, а при малом значении K - процесс монотонный, но затянутый по времени. Если ввести

в систему нелинейный элемент, как показано на рис. 1.1, то в начале отработки входного сигнала (когда ошибка e большая) значение K большое, а в конце отработки ( e - малая) – значение K небольшое.

v(t) +			u				y(t)
		e		u
	å		e			K (s)

-

Рис. 1.1. Структура системы с нелинейным элементом

Таким образом, в системе с нелинейным элементом можно получить переходный процесс, быстро нарастающий, без перерегулирования и с небольшим временем установления.

Основные особенности нелинейных систем:

1.К нелинейной системе не применим принцип суперпозиции. Реакцию нелинейной системы на несколько различных воздействий нельзя получить как сумму составляющих на отдельные воздействия, так как эта реакция зависит от величины входных воздействий и начальных условий.

2.В нелинейной системе могут возникнуть автоколебания, амплитуда которых не зависит от внешних воздействий и начальных условий.

3.В нелинейной системе возможны несколько состояний равновесия, которые могут быть либо субгармоникой, либо гармоникой входного сигнала. Несколько состояний равновесия возможны и при отсутствии входного воздействия, но в зависимости от различных значений начальных условий.

4.Наконец, в нелинейной системе могут быть явления скачкообразного резонанса, заключающегося в резком возрастании амплитуды выходной коор-

71

динаты системы при росте частоты входного воздействия и резком уменьшении выходной координаты при снижении частоты входного воздействия.

1.2. Характеристики типовых нелинейностей и их соединений

Рассмотрим наиболее распространенные нелинейности:

1) Нелинейность типа «ограничение» (насыщение) (рис. 1.2)

ìb,

ïb

ï

u(e) = í е,

ïa

ï-b,

î

e ³ a,

e < a,

e £ a.

u(e)

b

-a	e
0	a

-b

Рис. 1.2. Нелинейность типа «ограничение»

2) Нелинейность типа «зона нечувствительности» (рис. 1.3)

ìk(e - a), e > a,			u(e)
ï
u(e) = í0,	e £ a,	-a	0	e
ï			a
îk(e + a), e < -a.

Рис. 1.3. Нелинейность типа «зона нечувствительности»

Возможна комбинированная нелинейность из этих двух. 3) Нелинейность типа «идеальное двухпозиционное реле»

u(e) = bsign(e)					u(e)
			b
ì1,	e > 0,					e
sign(e) = í	e < 0.				0
î-1,
					-b
		Рис. 1.4. Идеальное двухпозиционное реле

4) Реальное двухпозиционное реле

ì-b, e < a, e& > 0,

ï-b, e < -a, e < 0, ï &

u(e, e&) = í

ïb, e > a, e& > 0,

ïb, e > -a, e < 0. î &

u(e)

b

-a	0		e

a

-b

Рис. 1.5. Реальное двухпозиционное реле

72

Есть также трехпозиционные (идеальные и реальные) реле. 5) Нелинейность типа «люфт»

u(e)

0 e

Рис. 1.6. Нелинейность типа «люфт»

6) Нелинейность типа «квантователь» u(e)

0 e

Рис. 1.7. Нелинейность типа «квантователь»

Среди рассмотренных нелинейностей однозначные нелинейности– статические, неоднозначные – динамические.

При наличии в системе нескольких нелинейных элементов их заменяют одной эквивалентной нелинейностью.

Рассмотрим различные соединения звеньев.

1) Последовательное соединение. Пусть статические характеристики двух нелинейностей имеют вид, приведенный на рис. 1.8.

1

2

x1

y1

x1

y1 = x2

y2

y2

x2

0

0

Рис. 1.8. Статические характеристики двух нелинейностей

Значению x'

(рис. 1.9)

соответствует значение y'

первого элемента,

y'

1

1

1

будет входом x'2 для второго элемента, для которого находят выходную вели-

чину y'2 . Суммарную характеристику соединения строят вIV квадранте ( y'2 и x1' ). При этом масштабы выходной величины первого звена и входной величины второго звена должны быть одинаковыми. Масштабы и при других видах соединений должны согласовываться.

73

x2 y1

2

y2 y2'

x '	y	'	1
2	1		x '
	0		1 x1

45o

y2' y2

Рис. 1.9. Характеристика последовательного соединения двух нелинейностей

2) Параллельное соединение. Статические характеристики двух нелинейностей, соединенных параллельно, приведены на рис. 1.10.

1

x1 = x		y1		y
		x1		1
	0			+			y
x
					å
		y2
				+
x2 = x		x2
	0			y2
		2

Рис. 1.10. Статические характеристики двух нелинейностей

При построении характеристики этого соединения(рис. 1.11) для фиксированного значения xi определяется значение yi = yi1 + yi 2 .

y, y1, y2

yi y

y2

yi2

y1 yi1 x

xi

Рис. 1.11. Характеристика параллельного соединения двух нелинейностей

3) Встречно-параллельное соединение (соединение с обратной связью)

(рис. 1.12).

74

			y	1
	x	+		y
		å
		- yОС	0	x

yОС

0		xОС
		2
Рис. 1.12. Встречно-параллельное соединение двух нелинейностей
Если разомкнуть обратную		связь, то значение y¢ соответствует x¢

(рис. 1.13). При замыкании отрицательной обратной связи для достиженияy¢

	¢				¢	, т.е.	¢	= x	¢	¢
надо увеличить входной сигнал xОС		на величину yОС					xОС			+ yОС .
2			y			1
	¢		y¢
	xОС			{ y (x)
					¢
	уОС				yОС
	g{			x¢	¢		x
	¢		0
					xОС
	yОС

Рис. 1.13. Характеристика встречно-параллельного соединения двух нелинейностей

Для упрощения анализа нелинейной системы производят структурные преобразования, чтобы в замкнутом контуре иметь нелинейный элемент (НЭ) и линейную часть (ЛЧ) (рис. 1.14).

а	y	б
v + å		v + å	НЭ	y
	НЭ			ЛЧ
-		-
	ЛЧ

Рис. 1.14. Расчетные структурные схемы нелинейной системы:

а – с линейной частью в цепи обратной связи, б – с линейной частью в прямой цепи

75

При этом следует выполнить условия: через НЭ нельзя переносить линейные звенья; сигналы на входе НЭ должны оставаться такими же и после преобразования схемы.

Пример 1.1. Преобразовать структурную схему (рис. 1.15), в которой F – нелинейный элемент, K1, K2, K3 – линейные части, к расчетным структурам.

v + å	K1	+ å x F	y
			K2
-		-
			K3

Рис. 1.15. Исходная структурная схема нелинейной системы

Преобразование осуществим в следующей последовательности. Перенесем сумматор внутреннего контура через элемент K1 влево:

v

+

å

K1

x

F

K2

y

-

-

1

K3

K1

Заменим параллельно соединенные цепи обратных связей одной:

v +	å	K1	x	y
			F	K2

-

1+ K3

K1

Окончательно получим первый вариант схемы:

v

+

x

y

K1

å

F

K2

-

æ

K3

ö

ç

+

÷

K

ç1

÷K1K2

è

1

ø

Для получения второго варианта в исходной схеме разорвем цепь на входе нелинейного элемента. x = (v - y)K1 - yK3 = vK1 - y (K1 + K3 ).

76