Модальная матрица будет иметь вид:

é 1	2	...	n	ù
êx1	x1		x1	ú
1	2		n	ú.
M = êx2	x2	...	x2		(6.22)
ê ... ...		...	... ú
ê 1	2	...	n	ú
ëxn	xn		xn	û

6.5 Управляемость и наблюдаемость дискретных систем

Понятия управляемости и наблюдаемости дискретных систем аналогичны понятиям, рассмотренным для непрерывных систем(см. разд. 9.8, ч.1 ЭУМК).

Дискретная система, описываемая уравнениями (6.5), называется полностью управляемой, если для моментов времениt(0) и t(l) и состояниях x(t0) и x(tl) существует управление v(k), причем 0 £ k £ l , переводящее начальное состояние x(t0 ) в конечное x(tl ).

Критерий управляемости связан с невырожденностью матрицы управля-

емости	é	n-1	ù	. Для системы с одним входом и одним выходом
	K y = ëBMABMLMA		Bû
критерий управляемости сводится к условию:
				det K y ¹ 0 .	(6.23)

Это можно доказать, воспользовавшись формулой (6.8). Приняв момент времени l = n , найдем

x(n) = An x (0) + An-1Bv(0) + ... + Bv(n -1) .

Соотношение можно представить в виде:

							év(n -1)ù
			x(n )= An x(0 )+ éBMABMLMAn-1Bù				êêv(n - 2)úú.
				ë		û	ê ...	ú
							êê v(0 )	úú
							ë	û
Из последнего выражения получаем:
év(n -1)	ù
ê	ú
êv(n - 2)	ú	= éBMABMLMAn-1Bù-1		éx(n) - An x(0)	ù	= K y -1	éx(n) -	An x(0)
ê ........	ú	ë	û	ë	û		ë
ê	ú
ë v(0)	û

ù,

û

(6.24)

(6.25)

(6.26)

	а это возможно, когда det K y ¹ 0, поскольку K y -1 =	1	K yпр .
		det K y

69

Дискретная система, называется полностью наблюдаемой, если в момент наблюдения t = t(l) по данным измерения y(tl) и известным значениям v(tl) можно восстановить вектор состояния в момент k = 0. Поскольку наблюдаемость не зависит от входной переменной, можно рассматривать систему как автономную, т.е. (6.8) представить в виде:

X(n) = AnX(0).

(6.27)

Критерий наблюдаемости							связан
даемости	K	é	T	T	T	T	n-1	T ù
		Н = ëC		MA C		MLM(A )	C	û.

рий имеет вид:

с невырожденностью матрицы наблюДля одномерной системы этот крите-

det KН ¹ 0.	(6.28)
Положив l = n -1 и учитывая (6.27), найдем значения y(0),	..., y(n -1) :

y(0) = C T x(0), y(1) = C T Ax(0),..., y(n -1) = C T An-1 x(0),

или в компактном виде:

é	y(0)	ù
ê	y(1)	ú
ê		ú	= éCT	MCT AT	MLMCT (AT )n-1 ù x(0)=K	Н x(0) .
ê ........		ú	ë		û
ê		ú
ë y(n -1)		û
Если матрица KН		обратима (det KН ¹ 0), то можно найти

		é	y(0)	ù
		ê	y(1)	ú
x(0) = K	Н	-1 ê		ú.
		ê ........		ú
		ê		ú
		ëy(n -1)		û

(6.29)

(6.30)

70