Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

мерность соответствующего геометрического объекта совпадает с его топологической размерностью: DF 1.

На основании (2.39) можно сделать вывод, что величина y t

связана с функцией f t через полный интеграл и соответствует первому предельному случаю (эволюция физической системы с полной памятью). Случай 0 v DF 0 соответствует линей-

ной комбинации двух -функций одинаковой (половинной) интенсивности, локализованных на концах рассматриваемого интервала0,t , то есть имеется эволюция физической системы с полным от-

сутствием памяти.

Таким образом, на основании вышеизложенного можно сделать следующий важный вывод: множество Кантора, являющееся предельным случаем N описанного выше построения, соот-

ветствует дробному интегралу, показатель которого совпадает с фрактальной размерностью канторова множества, а также указывает на долю сохраняющихся состояний в процессе эволюции физической системы и охватывает предельные случаи полностью замкнутой 1 и марковской 0 систем.

Ряд физических систем, которые могут быть описаны уравнениями в дробных производных, должны содержать каналы, входящие в состав некоторой ветвящейся фрактальной структуры [84]. В [84] такие системы классифицируются как системы с «остаточной памятью». Поэтому процессы переноса в перколяционных кластерах, фрактальных деревьях, пористых системах должны тщательно классифицироваться для того, чтобы получить корректные уравнения переноса для таких систем.

Физический смысл показателя дробного интеграла заключается в том, что значение этого показателя соответствует доли каналов или ветвей, открытых для протекания в перколяционном кластере, фрактальном дереве и т.д.

Для процессов с потерями, обусловленными столкновениями, также следует использовать уравнения в дробных производных. В

108

частности, для упругих сил в [84] получено обобщенное уравнение переноса в дробных производных1.

Изучение взаимосвязи между операторами дробного интегродифференциального исчисления и фрактальной геометрией проводилось как с математической, так и физической точки зрения во многих работах, в частности, в [83, 85 – 112], в которых был получен ряд глубоких результатов с учетом регуляризации и устойчивых распределений2.

Контрольные вопросы

1.Приведите примеры недифференцируемых функций.

2.Дайте определение интегрального уравнения Абеля.

3.Приведите определения лево- и правосторонних дробных операторов и дробных производных Римана – Лиувилля.

4.Обобщенная формула Лейбница: определение и основные свойства.

Рекомендуемая литература

2.1.Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. Пер. с англ. М., 1962.

2.2.Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., 1966.

1Можно отметить, что там же обсуждается применимость таких уравнений для описания процессов релаксации наведенной электрической поляризации в диэлектриках.

2Более подробно устойчивые по Леви распределения и их применения при исследовании корреляционных эффектов в процессах множественного образования частиц при высоких энергиях рассматриваются ниже (гл.

6, 8).

109

Глава 3

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

§1. Вводные замечания

Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. В классической физике, как правило, она присутствует там, где существенное влияние на ход процесса оказывает очень большое число незначительных по отдельности факторов, особенно в том случае, когда система динамически неустойчива. В квантовой физике ситуация принципиально другая: статистический характер имеют сами законы, соотвественно, случайность, статистическая интерпретация являются ключевыми и неотъемлемыми понятиями квантовой теории.

Теория вероятностей – раздел математической науки, занимающийся построением и изучением математических моделей случайных явлений.

Внешне случайность проявляется как недостаточная регулярность в массовых явлениях, которая не позволяет с достоверностью предсказывать наступление определенных событий, то есть не допускает описания изучаемых явлений в рамках детерминированных моделей. Аппарат теории вероятностей позволяет по вероятности одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. Это изучение основано на том, что массовые случайные явления в стационарных условиях обладают закономерностью, называемой статистической устойчивостью частот, суть которой на интуитивном уровне можно пояснить следующим образом. Пусть некоторое случайное событие A может произойти или не произойти при осуществлении совокупности некоторых вопроизводимых условий S. Если данная совокупность условий осуществляется N раз, то говорят, что было произведено N испытаний. Пусть N A – число появлений собы-

110

тия A при N испытаниях; число N A называется частотой со-

бытия A в N испытаниях, отношение N A N – относительной

частотой. При больших N относительная частота обычно колеблется около некоторого фиксированного числа, называемого вероятностью события A и обозначаемого P A . Например, в класси-

ческом случае бросания правильной монеты событие «выпадение «герба» наблюдается примерно в половине случаев, поэтому вероятность появления фиксированного события можно считать равной 12 [113]. Таким образом, для описания взаимосвязи случайных событий с совокупностью условий возникновения данных событий вместо обычного для классического естествознания утверждения «при совокупности условий S наступает событие A » необходимо ограничиваться утвеждением «при совокупности условий S событие A имеет вероятность P A ». Именно для таких случайных

событий, имеющих определенную вероятность, удалось построить содержательную математическую теорию, которая и носит название «теория вероятностей» [114].

Важно отметить, что статистические закономерности возникают и в неслучайных схемах, что используется при моделировании случайных явлений, например, методом Монте-Карло.

В ряде физических и химических исследований в середине XX века возникла потребность наряду со случайными величинами рассматривать случайные процессы, то есть процессы для которых определена вероятность того или иного течения. Одним из наиболее известных и важных примеров случайного процесса является броуновское движение частицы, подробно рассматриваемое ниже. Наиболее важные и интересные конкретые результаты теории случайных процессов получены в двух специальных направлениях – марковские процессы (см. ниже) и стационарные случайные процессы.

Элементарная теория вероятностей оказалась недостаточной для описания случайных явлений уже в достаточно простых ситуациях. Например, модель с конечным числом исходов непригодна для понятия «случайно выбранной на отрезке точки» [114]. Многие трудности, в том числе и приведенные выше, позволяет преодолеть

111

схема, предложенная А.Н. Колмогоровым в 1933 г. и ставшая с тех пор общепризнанной.

В рамках настоящей книги при изложении элементов теории вероятностей авторы используют аксиоматический подход Колмогорова с привлечением фундаментальных понятий теории множеств и теории меры.

§2. Основные понятия теории множеств

Ниже приводятся некоторые, необходимые для дальнейшего изложения, элементы теории множеств в приложении к теории вероятностей.

Определение 3.1. Вероятностным пространством называется упорядоченная тройка (пространств) ,A,P , где – простран-

ство элементарных событий – некоторое произвольное множество (элементами данного пространства являются элементарные события, обозначаемые ниже ), A – -алгебра подмножеств пространства элементарных событий, элементы которой называются (случайными) событиями, P – мера на ,A , такая, что выполне-

но P 1.

Ввиду важности и нетривиальности введенных выше пространств, остановимся подробнее на понятии -алгебры.

2.1. -Алгебра

Пусть – множество (пространство) элементарных событий. Введем два события специальным образом: невероятное событие, обозначаемое , и достоверное событие, обозначаемое .

Каждому событию A множества элементарных событий поста-

вим в соответствие дополнительное событие, обозначаемое Ac. По

определению событие Ac реализуется тогда, когда событие A не реализуется. Введем как аксиомы следующие свойства этой операции:

1) Ac c A;

112

2)c ;

3)c .

Далее, каждой упорядоченной паре событий A и B поставим в соответствие следующие два события: объединение событий A и B, понимаемое как «реализация или события A, или события B »

и обозначаемое в дальнейшем A B или sup A, B ; пересечение событий A и B, понимаемое как «реализация и события A, и со-

бытия B » и обозначаемое в дальнейшем A B или inf A,B .

Подчеркнем еще раз, что по определению событие A B происходит тогда и только тогда, когда происходит по крайне мере одно из событий A, B; событие A B происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B.

Введенные таким образом бинарные операции объединения и пересечения событий обладают следующими свойствами:

1)A, B из : A B B A, A B B A – коммутативность;

2)A, B,C из : A B C A B C , A B C A

B C – ассоциативность;

3)A A A, A A A; A Ac , A Ac ;

A , A ;			A , A A.
Для всякого конечного непустого семейства событий Ai ,i I
определено объединение			A sup A и пересечение событий се-
		i		i	i
мейства Ai infi			i
	Ai . Как аксиомы вводятся также следующие со-
i

отношения для произвольного конечного непустого семейства событий Ai ,i I :

	c	Aic ;
1)	Ai
	i	i

c

2)Ai Ai .

i

i

113

Операции объединения и пересечения дистрибутивны по отношению друг к другу: B и Ai ,i I , Ai , i 1,2, выполнено

B	Ai B Ai ,		B	Ai B Ai .
	i	i		i	i

Определение 3.2. Структура, которая образуется на множестве событий введенными выше аксиомами и определениями, называется структурой булевой алгебры.

Определение 3.3. Пусть – булева алгебра. Два события A и B такие, что A B , называются взаимно исключающими или непересекающимися.

Определение 3.4. Объединение двух непересекающихся событий называется суммой и обозначается A B вместо A B.

Аналогично, если Ai ,i I – заданное конечное непустое семей-

ство попарно непересекающихся событий, то их объединение называется «суммой событий Ai i I », то есть «суммой событий

данного семейства», и обозначается Ai вместо Ai .

i i

Определение 3.5. Разностью двух событий A, B называется со-

бытие A Bc , которое обозначается A B.

Определение 3.6. Симметрической разностью двух событий A и B называется событие A B B A и оно обозначается как

A B.

По определению, событие A B происходит тогда и только тогда, когда событие A происходит, а событие B не происходит; событие A B происходит тогда и только тогда, когда происходит лишь одно из событий A, B.

Обозначения Ai , Ai , Ai			удобно распространить и на тот
i	i	i
случай, когда i I, I	– пусто. При этом полагают, что справедливы
следующие соотношения: Ai , Ai				, Ai .
		i	i	i

114

В силу данного естественного соглашения все приведенные выше формулы, относящиеся к конечному семейству событий, справедливы также и для пустого семейства событий. Кроме того, это соглашение позволяет, например, записать в простом виде формулу, составляющую содержание следующей леммы.

Лемма 3.1. Для всякого семейства Ai ,1 i n , состоящего из n n 1 событий, справедлива следующая формула:

n	n	i	i 1
i				j
A	A			A .
i 1	i 1		j 1

Доказательство. Данная лемма будет доказана с помощью метода математической индукции. При n 1 справедливость утверждения леммы очевидно. Предположим, что утверждение леммы справедливо при n k, то есть выполняется следующее равенство:

	k	k	i 1
	i	i		j
	A	A		A .
	i 1	i 1	j 1
Покажем, что данная формула справедлива для n k 1.					Положим
A k	Ai , B Ak 1. Лемма будет доказана, если установить, что для
i 1			A B A B A ,
любых событий A и B справедливо					то есть с

учетом введенных выше обозначений справедливы равенства

k

k

k

k

k

A

c

k

i 1

Но

A A

A A

A

A A

A

A .

i

k 1

i

k 1

i

i

k 1

i

i

j

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

j 1

для любых двух событий

A и B искомое соотношение

A B

A B A

следует непосредственно из определений объедине-

ния, суммы и разности двух событий. В силу показанной выше эквивалентности равенства A B A B A и утверждения леммы,

лемма 3.1 доказана. ▲ Необходимо отметить, что предыдущая лемма 3.1 утверждает

тот факт, что одно из событий семейства Ai ,1 i n происходит тогда и только тогда, когда существует первое происходящее собы-

115

		i 1	A
тие в этом семействе. Другими словами, событие A				про-
	i			j
		j 1

исходит тогда и только тогда, когда Ai является первым происходящим событием в семействе.

2.2. Классы подмножеств

Определение 3.7. Говорят, что событие A влечет событие B и пишут соответственно A B или B A, если A A B или, что равносильно, B A B.

Определение 3.8. Два события A, B, для которых справедливо A B и B A, называют эквивалентными и пишут A B.

Ниже, если специально не оговорено, эквивалентные события считаются неразличимыми.

Отношение «влечет» является отношением порядка в множестве событий. Это означает, что A, B,C справедливы следующие

соотношения: A A; A B, B A A B; A B, B C A C, вы-

ражающие свойство транзитивности.

Важно отметить, что объединение A B (пересечение A B ) двух событий A и B является точной верхней (соответственно, точной нижней) гранью этих событий, относительно рассматри-

ваемого порядка. Кроме того, A B Bc Ac.

Определение 3.9. Класс подмножеств E множества называется замкнутым относительно некоторой операции над множествами, если при применении этой операции к любым подмножествам множества , принадлежащим классу E, в результате получается подмножество множества , также принадлежащее классу E.

Булева алгебра подмножеств множества есть класс подмножеств , содержащий в качестве элементов , и замкнутый относительно операций образования дополнений, конечных объединений и конечных пересечений.

В силу соотношений

c

A1 A2 An A1c A2c Anc ,

116

c

A1 A2 An A1c A2c Anc

для того, чтобы класс A был булевой алгеброй, достаточно, чтобы он содержал , и был замкнут относительно дополнений и конечных объединений (или, дополнений и конечных пересечений).

Для всякого класса E подмножеств множества существует наименьшая булева алгебра A подмножеств множества , содержащая E. Такой булевой алгеброй является класс всех подмножеств множества , принадлежащих всем булевым алгебрам (подмножествам множества ), содержащим E. Данная наименьшая булева алгебра называется булевой алгеброй, порожденной классом E.

Рассмотрим более подробно простейший случай конечных булевых алгебр.

Определение 3.10. Конечным разбиением P Ai ,i I мно-

жества называется конечное семейство непустых попарно непересекающихся подмножеств множества , в объединении дающих все множество .

Без доказательств приведем несколько важных предложений. Предложение 3.1. Булева алгебра A, порожденная конечным разбиением P множества , состоит из объединения всевозможных подсемейств семейства P (если P имеет n элементов, то бу-

лева алгебра A состоит из 2n элементов).

Обратно, если A является конечной булевой алгеброй подмножеств множества , то множество ее атомов (то есть непустых подмножеств алгебры A, являющихся одновременно подмножествами множества , и для которых справедливы следующие соотношения: B A, B A, B A) образуют конечное разбиение множества , порождающее A.

Предложение 3.2. Пусть E является произвольным классом подмножеств множества . Образуем последовательно следующие классы:

1) класс E1, состоящий из множеств , и из A таких, что либо A E, либо Ac E;

117