Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

6. Если Cn – последовательность таких положительных чисел,

f

n

x

n

то начиная с некоторого значения ин-

что x 0,1 :

C ,

декса n справедливо следующее неравенство:

4

n

n

4r

C

n

,

0 1.

D

D

n

1

n

7. Знак разности

fn x hn fn x ,

начиная с некоторого номе-

0

n

и для всех

0

ра n не зависит от значения h для всех x 0,1

n n .

Тогда функция

f x ,

являющаяся суммой ряда fn x

из

n 1

условия 2, ни в одной точке x 0,1 не будет иметь конечной про-

изводной. Бесконечную производную данная функция может иметь на бесконечном множестве точек [60, 61].

Позже У. Дини показал [61], что при некоторых дополнительных предположениях такая функция f x ни в одной точке не бу-

дет иметь и бесконечной производной. Важно отметить, что класс функций, удовлетворяющих теореме Дини, бесконечен [60], в частности, в нем содержится функция Вейерштрасса W x [61].

В 1879 г. Дарбу предложил достаточно общий метод построения недифференцируемых функций [62]. Он изучал функции x ,

определяемые следующим рядом:

		f anbn x
	x		,	(2.4)
	n 1	an

где an и bn – некоторые последовательности действительных чисел, f x – непрерывная ограниченная функция с ограниченной второй производной. Если последовательности an и bn выбра-

ны так, что при фиксированном k					справедливы соотношения
lim	an	0,	lim	a1b12	a2b22 an kbn2 k	0,
					an
n an 1			n

78

то ряд (2.4) сходится к некоторой непрерывной функции x .

При некоторых дальнейших ограничениях на выбор an , bn ,k и f x можно получить непрерывные функции, не имеющие произ-

водной ни в одной точке. Так, если n : bn 1 и k 1, то на члены последовательности an достаточно наложить условие

lim a1 a2 an 1 0,

n an

которому удовлетворяют, например, числа n!, чтобы можно было указать бесконечное множество функций f x , для которых соот-

ветствующая функция (2.4) не дифференцируема ни в одной точке. В частности, при всех f x cos x функция x нигде не диффе-

ренцируема. При выборе bn n 1,k 3 и f x sin x из общего соотношения (2.4) получается недифференцируемая функция x

из работы Дарбу [59].

В 1918 г. метод построения непрерывных недифференцируемых функций был предложен К. Кноппом [63]. Можно даже сказать, что после упомянутых выше работ была создана целая индустрия по производству как отдельных недифференцируемых функций, так и целых их классов.

Замечание. Пример функции Вейерштрасса опирается на свойства лакунарного ряда, то есть такого ряда, в котором члены, отличные от нуля «очень редки и разбросаны» [64, 65].

Понятие лакунарного тригонометрического ряда было введено Ж. Адамаром в 1892 г. при изучении функций, не продолжаемых аналитически за границу сходимости [66].

Определение 2.1. Лакунарным (в смысле Адамара) тригонометрическим рядом называется ряд следующего вида:

		a0				cos n		x b sin n		x
				a	k		k		k		(2.5)
	2							k
				k 1
при nk 1	nk q 1.

Таким образом, номера nk лакунарного ряда (2.5) при всех k растут не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем,

79

большим единицы. В [48] было также доказано, что функция Вейерштрасса W x не имеет конечной производной ни в одной точке

при выполнении следующих условий: a 1,b 1 и ab 1.

§3. Множества первой и второй категории по Бэру

Чтобы корректно рассмотреть вопрос о месте, занимаемом дифференцируемыми функциями в множестве всех непрерывных функций, представляется важным напомнить некоторые понятия, относящиеся к множествам (подробнее – см., например, [39]). Для данного случая вводится удобное определение согласно [67 – 69].

Определение 2.2. Множество M называется топологическим пространством, если всякому подмножеству X M поставлено в

соответствие подмножество X M так, что выполнены следующие аксиомы:

1)X Y X Y ;

2)X X ;

3), – пустое множество;

4)X X .

Определение 2.3. Множество X называется всюду плотным в топологическом пространстве M , если X M.

Определение 2.4. Множество X называется граничным, если его дополнение в топологическом пространстве M является всюду

плотным множеством, то есть M \ X M .

В 1899 г. Бэр сформулировал следующее определение. Определение 2.5. Множество X топологического пространства

M называется множеством первой категории на M , если оно является объединением счетного семейства множеств нигде не плотных на M .

Определение 2.6. Множества второй категории определяются как множества, не являющиеся множествами первой категории.

Согласно теореме Бэра справедливы следующие утверждения: - дополнение любого множества первой категории на прямой

является плотным;

80

-никакой интервал на множестве действительных чисел R не является множеством первой категории;

-каждое счетное множество на прямой является множеством первой категории и множеством меры нуль;

-в множестве действительных чисел рациональные числа образуют множество первой категории.

Простейшим примером несчетного множества, принадлежащего

кмножеству первой категории и к множеству меры нуль, является канторово совершенное множество, имеющее мощность континуума. Доказывается, что прямую можно разбить на два взаимно дополняющих друг друга множества A и B так, что множество A будет являться множеством первой категории, а множество B – иметь меру нуль.

Во многих проблемах топологии и теории функций множества первой категории играют роль, аналогичную роли множеств меры нуль в теории меры (то есть множеств, которыми можно пренебречь).

При доказательстве теорем существования в теории множеств часто пользуются так называемым методом категорий, который основан на теореме Бэра, согласно которой всякое метрическое пространство является множеством второй категории на самом себе [57]. На основе данного утверждения доказывается следующая важная теорема.

Теорема 2.2. Пусть C 0,1 – пространство непрерывных функций

x t , наделенное нормой	x				max		x t		. Пусть G – множество
					t 0,1

функций из C 0,1 , которые не имеют конечной правой производной ни в одной точке t 0,1 . Тогда G является множеством второй

категории по Бэру на пространстве C 0,1 , а его дополнение являет-

ся множеством первой категории по Бэру [70, 71].

Из приведенных выше определений и теорем следует исключительно важный вывод: множество функций, имеющих конечную одностороннюю производную хотя бы в одной точке t 0,1 , явля-

ется пренебрежимо малым в смысле категории Бэра по сравнению с множеством всех непрерывных функций. Тем более данное ут-

81

верждение справедливо для функций с конечной обычной производной. Доказательство данного утверждения и приведенной выше теоремы приведено в [69], а в [72] показано, что множество таких функций образует коаналитическое неборелевское подмножество пространства 0,1 .

Как отмечено в работе [41], классы непрерывных функций без производных, рассмотренные в XIX веке и в первые два десятилетия XX века, не давали примера такой сингулярной непрерывной функции, у которой ни в одной точке не существовала бы конечная или бесконечная (левая или правая) производная. Например, у функции Вейерштрасса W x (2.2) имеется односторонняя произ-

водная на всюду плотном множестве.

Первый пример такой в сильном смысле недифференцируемой функции был построен в 1922 г. и опубликован в 1924 г. А.С. Безиковичем [73]. В связи с этим Банах и Штейнгауз поставили следующий важный вопрос о распространении с помощью метода категорий результата С. Мазуркевича и Банаха на функции типа функции Безиковича: можно ли показать, что дополнение множества всех непрерывных функций, не имеющих ни в одной точке ни конечной, ни бесконечной производной, является множеством первой категории?

В 1932 г. С. Сакс дал отрицательный ответ на данный вопрос. Он показал [74], что множество непрерывных на отрезке 0,1

функций, у которых или существует конечная правая производная, или эта производная равна на множестве мощности континуум, есть множество второй категории в пространстве всех непрерывных функций.

Таким образом, можно сделать исключительно важный вывод: класс функций, односторонне дифференцируемых хотя бы в одной точке, в смысле категорий существенно шире класса функций, имеющих обычную производную хотя бы в одной точке.

Соответственно, класс функций, не имеющих ни конечной, ни бесконечной односторонней производной в каждой точке отрезка, уже в смысле категорий класса функций, нигде не имеющих двухсторонней производной.

82

По словам С. Сакса «… это быть может объясняет трудности с нахождением первого примера функции, не имеющей конечной или бесконечной односторонней производной в каждой точке …»

[74].

Таким образом, непрерывные дифференцируемые функции, в основном используемые в физических исследованиях, составляют существенно малую часть (подмножество меры нуль) множества всех непрерывных функций. Естественно, что попытки корректно и на количественном уровне описывать, в частности, сложные многочастичные процессы, фазовые переходы, резко нерегулярные и квазихаотические явления в физике микромира и квантовой теории поля привели к необходимости введения аппарата недифференцируемых (фрактальных) функций, который является относительно новым для физиков и в то же время достаточно давно известен математикам. Важно отметить, что раздел недифференцируемых функций имеет прочную и строгую фундаментальную математическую основу.

С целью расширения известных классов недифференцируемых функций В. Орлич в 1947 г. нашел достаточно общие условия, при которых непрерывные функции, являющиеся суммами равномерно сходящихся рядов, нигде не дифференцируемы [75]. Однако общность результатов была достигнута за счет того, что коэффициенты этих рядов задавались неэффективно, с использованием метода категорий. Такой подход сам В. Орлич охарактеризовал как «в некотором смысле промежуточный» между «эффективными» способами задания недифференцируемых функций в виде рядов и «неэффективным» методом Мазуркевича – Банаха [75].

Таким образом, класс непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке, неизмеримо богаче класса функций с производными.

Как метко было отмечено в [41] «… создалась любопытная ситуация, когда оказалось, что те непрерывные функции, которые изучались математиками на протяжении веков, те функции, которые использовались для описания (физических) явлений внешнего мира, – эти функции оказались принадлежащими лишь пренебрежимо малому классу всех непрерывных функций …». Постепенно с течением времени математики привыкли к тому, что нигде не дифференцируемые функции действительно существуют, но физики

83

долго не соглашались с этим и воспринимали такие функции в виде неких «монстров», «уродливых порождений математических фан-

тазий», не имеющих отношения к миру реальных физических явлений1.

Важно отметить, что с позиций современной физической науки функция без производной вовсе не абстрактное понятие, такая функция описывает реальное физическое явление, в частности, траекторию движения броуновской частицы. В настоящее время идеи фрактальной геометрии и соответствующие ей разделы математического анализа, в частности, связанные с недифференцируемыми функциями, интегродифференциальным исчислением дробных порядков (см. ниже), все более широко используются в современных физических исследованиях.

Великий ученый Н. Винер писал: «… В рамках этой теории мне удалось подтвердить замечание Перрена, показав, что за исключением множества случаев, имеющих суммарную вероятность нуль, все траектории броуновского движения являются непрерывными нигде не дифференцируемыми кривыми …» [77].

Существенным моментом является то, что в спектральной теории стационарных случайных процессов недифференцируемые функции возникают совершенно естественно и избежать их возможно лишь при отказе от имеющего ясный физический смысл условия стационарности, единственно делающего данную теорию простой и наглядной [76].

Ввиду важности кратко поясним данное утверждение.

При спектральном разложении стационарного процесса X t

использование интеграла Стилтьеса оказывается неизбежным в силу того, что случайная функция Z не является дифференци-

руемой ни в каком смысле, и поэтому никак нельзя перейти от интеграла Фурье – Стилтьеса

X t ei tdZ

1 Долгое время физики исходили из принципа «в физике все функции дифференцируемы» [76].

84

к обычному интегралу Фурье. В случае существования спектральной плотности f всегда справедливо следующее соотношение:

	dZ		2	f d .	(2.6)

В силу соотношения (2.6) во всех реальных физических случаях, когда процессу X t соответствует положительная спектральная

плотность	f , средний квадрат приращения Z случайной
функции	Z на малом отрезке оси частот будет близок к
величине	f , то есть имеет тот же порядок малости, что и
величина . В таком случае само значение приращения Z

имеет, как правило, порядок , что несовместимо с допущени-

ем о дифференцируемости случайной функции Z , то есть о существовании предела отношения Z при 0 [78].

Как отмечено в работе [76] «… мы сталкиваемся здесь с довольно редким случаем, когда в задаче, имеющей реальный физический смысл, возникают нигде не дифференцируемые функции, которые еще совсем недавно многим прикладникам представлялись заумной математической абстракцией, которая не может иметь никаких приложений …».

В арсенале математика нашелся и аналитический аппарат для адекватного и строгого описания таких объектов и процессов. Место обычной размерности заняла размерность Хаусдорфа (подробнее – см. [39]), а место обычной производной – дробная производная или показатель Гельдера.

§4. Интегралы и производные дробного порядка: краткая историческая справка

Представляется важным отметить, что мысль об обобщении по-

нятия дифференцирования	d p f x dx p на нецелые значения по-
рядка дифференцирования	p возникла практически с самого воз-

никновения дифференциального исчисления.

85

Первая попытка обсуждения идеи обобщения понятия производной на любые порядки, зафиксированная историей, содержится в переписке создателя дифференциального исчисления Г. Лейбница. В своих письмах к Г. Лопиталю (1695 г.) и Уоллису (1697 г.) Г. Лейбниц сделал несколько замечаний о возможности рассматривать дифференциалы и производные дробного порядка, а именно, для p 12.

Следующий шаг, который можно рассматривать как первую попытку количественного решения проблемы производных произвольного порядка, был сделан Л. Эйлером (1738 г.), заметившим, что результатам вычисления производной d p x dx p от степенной функции можно придать смысл при нецелых значениях порядка дифференцирования p. П. Лаплас (1812 г.) высказал идею о возможности (нецелого) дифференцирования функций, которые можно представить с помощью следующего интеграла:

F t t xdt,

где F t – некоторая функция.

В трактате С. Лакруа (1820 г.) повторена мысль Л. Эйлера и уже приведена явная формула вычисления производной дробного порядка d12 x dx12 от степенной функции.

Следующий шаг в развитии данного направления аппарата интегродифференциального исчисления сделал Ж. Фурье (1822 г.), который предложил использовать равенство

d p f x			1		p
						d	f t cos tx t p		dt
dx	p		2					2

для определения производной нецелого порядка. Важно отметить, что это было первое определение производной любого положительного порядка от любой (достаточно «хорошей») функции, и, что примечательно, дано это определение было еще в первой половине XIX века.

Таким образом, дифференцирование и интегрирование дробных порядков имеет достаточно длительную историю развития и является неотъемлемой частью математического анализа. В настоящее время в связи с развитием теоретических и экспериментальных методов физических исследований данный раздел математики нахо-

86

дит все более широкое применение при решении различных задач, в том числе и в физике фундаментальных взаимодействий.

Описанные выше эпизоды можно отнести к предыстории развития аппарата дробного интегродифференциального исчисления1. Собственно историю интегрирования и дифференцирования дробных порядков следует вести с работ Н. Абеля и Ж. Лиувилля. В работах Н. Абеля 1823 г. и 1826 г. в связи с так называемой задачей о таутохроне было решено следующее интегральное уравнение:

t

dt f x , x a,0 1. (2.7)

a x t

Вобеих указанных выше работах Н. Абеля решение было дано дляx

произвольного значения 0,1 , хотя задача о таутохроне приво-

дит к случаю 12. Хотя работы Н. Абеля и не были выполнены в русле идей обобщения дифференцирования на произвольные порядки, они сыграли важную и непосредственную роль в их развитии. Это связано с тем, что левая часть уравнения Н. Абеля (2.7) представляет собой, как выяснится позже, операцию дробного интегрирования порядка 1 , а обращение данного уравнения – операцию дробного дифференцирования соответственно. Однако в такой форме понятия дробного интегродифференциального исчисления были сформулированы позже.

В 1832 – 1837 г.г. появляется серия работ Ж. Лиувилля, сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной картины интегродифференциального исчисления дробных порядков. Хотя теория, созданная Ж. Лиувиллем, еще и не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие подходов дробного интегрирования и дифференцирования другими исследователями, но в ней уже были высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Ис-

1 Здесь и далее, если специально не оговорено, под термином «дробное интегродифференциальное исчисление» понимается, естественно, интегродифференциальное исчисление дробного порядка, то есть именно дробный порядок интегрирования / дифференцирования. Ниже в соответствии с установившимися понятиями и для краткости будут использоваться сочетания «дробное интегродифференциальное исчисление, дробное интегрирование / дифференцирование».

87