Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Важно отметить, что именно в экспериментах по ГНР на HERA (H1, ZEUS, HERMES) удалось достичь как области очень больших переданных импульсов, так и области очень малых x. В частности, на HERA впервые оказалось возможным исследовать ГНР при очень малых x в (квази)пертурбативном режиме, то есть изучать область x 10 4 при Q2 , превышающих несколько ГэВ2.

Цель КХД-анализа экспериментальных данных по ГНР для сечений или структурных функций заключается в определении партонных функций распределений. Как правило, это достигается с помощью параметризации последних при некотором масштабе Q02 1 2 ГэВ2 и дальнейшем использовании DGLAP-уравнений в

NLO ТВ КХД для описания эволюции функций распределений. С одной стороны, функциональная форма функций распределений при начальном масштабе Q02 , то есть их x -зависимость, не может быть, пока, предсказана КХД, поэтому данная форма определяется на основе экспериментальных данных методом простого подбора. С другой стороны, как было показано выше, Q2 -эволюция партонных функций распределений полностью определяется уравнениями эволюции. Таким образом, изучение Q2 -зависимости функций распределений партонов является важным и подлинным тестом пКХД [18].

Результаты КХД-анализа экспериментальных данных по ГНР представлены на рис. 1.10 для протонной мишени и на рис. 1.11 для дейтериевой мишени. Видно, что точность данных высока и аппроксимация на основе КХД очень хорошо описывает экспериментальные результаты. Например, для протона КХД позволяет корректно предсказывать Q2 -зависимость структурных функций при изменении квадрата переданного импульса.

Поскольку экспериментальные данные SLAC сдвинуты в сторону низких значений до Q2 1 ГэВ2 , то в ходе анализа удалось получить оценку для непертурбативных вкладов «высших твистов1» в наблюдаемое нарушение масштабной инвариантности при малых

Q2 [26].

1 «Твист» оператора равен размерности минус спин [22].

58

Эффекты «высших твистов» возникают, в основном, вследствие взаимодействий в конечных состояниях на больших расстояниях, которые трудно рассчитывать в пертурбативной КХД. В настоящее время проблема остается нерешенной в общем случае, количественно оценить вклады «высших твистов» достаточно сложно и существуют лишь некоторые теоретические соображения относительно кинематической зависимости вклада «высших твистов», в частности то, что их можно разложить в ряд по параметру 1Q2 [33]. Это выражается следующим соотношением:

	2	LT		2		2		LT		2		CHT x
F2 x,Q		F2	x,Q		1 HT x,Q			F2	x,Q		1				, (1.38)
												Q	2

где структурная функция лидирующего «твиста» F2LT x,Q2 соот-

ветствует DGLAP-уравнению. Такие поправки действительно видны в экспериментальных данных для структурных функций. На рис. 1.12 представлены аппроксимации данных экспериментов с фиксированной мишенью при учете только структурной функции лидирующего «твиста» и при учете вклада «высших твистов» в соответствии с (1.37). Видно, что в последнем случае наблюдается улучшение согласия теоретических кривых и экспериментальных данных.

Качество аппроксимации лучше всего иллюстрируется в пред-

ставлении

«логарифмических наклонов», которые

показывают

d

x,Q

2

d

2

. Усредненные по диапазону

Q

2

для x - ин-

F2

lnQ

тервала, логарифмические производные ведут себя так, как и предсказано DGLAP-уравнениями (рис. 1.13). В данном анализе член «высшего твиста» CHT x уравнения (1.37) аппроксимируется на-

бором констант для каждого интервала по x. Оказалось, что эти постоянные коэффициенты близки к нулю для x 0,4, то есть пКХД может описывать нарушения масштабной инвариантности в этом диапазоне x до таких малых значений как Q2 1 ГэВ2 [26].

На рис. 1.14 представлены экспериментальные данные и аппроксимации в области малых x. Наблюдается рост структурной функции протона, усиливающийся с ростом Q2 , по мере продвижения в область малых x. Видно, что удается достичь разумного

59

Рис. 1.10. Экспериментальные данные для протонной структурной функции, полученные в различных экспериментах и соответствующие аппроксимации с учетом DGLAP-уравнения в рамках NLO ТВ КХД. Для наглядности к значению

F2p x,Q2 добавляется константа c x 0,6 i 0,4 , где i является номером

интервала x в диапазоне от 1 x 0,65 до 24 x 2 10 5 [32]

60

Рис. 1.11. Структурная функция дейтрона (экспериментальные данные для наглядности умножаются на указанные постоянные множители). Экспериментальные данные получены для мюонного рассеяния в CERN и электронного рассеяния в SLAC. Сплошные линии соответствуют КХД-аппроксимации, учитывающей теоретически предсказанное нарушение масштабной инвариантности и использующей в качестве параметров фитирования константу сильного взаимодействия и глюонное распределение [10]

согласия теоретического описания и экспериментальных данных в широком диапазоне изменения Q2 и x, причем, как и ожидалось

по мере увеличения Q2 улучшается согласие между КХД-кривыми и данными эксперимента.

Таким образом, экспериментальные данные и усовершенствованный анализ КХД четко и однозначно определили справедливость DGLAP-уравнений для корректного описания поведения структурных функций, наблюдаемого в ГНР.

Как было указано выше, на основе экспериментальных данных для адронных структурных функций можно определить кварковые и глюонную функции распределений. Известно, что глюоны не участвуют в электрослабом взаимодействии и, соответственно, их функции распределения не могут быть определены из ГНР. Но на основе изучения других процессов при высоких энергиях, таких

61

Рис. 1.12. КХД-аппроксимация функции F2 x,Q2 как функции Q2 для фиксиро-

ванных x по данным SLAC и NA4/BCDMS . Пунктирная линия соответ-

ствует чисто пертурбативному случаю со структурной функцией лидирующего порядка F2LT x,Q2 . Сплошная линия включает вклад «высших твистов» [26]

62

Рис. 1.13. Нарушение масштабной инвариантности в логарифмических производных, наблюденное на водороде и дейтроне в объединенных экспериментальных данных SLAC и NA4/BCDMS. Приведены только статистические погрешности.

Сплошная линия – КХД-аппроксимация с s MZ2 0,113; пунктирные линии

соответствуют s M Z2 0,010 [26]

как образование струй с большими поперечными импульсами, рождение прямых фотонов и тяжелых кварков, удалось получить ин-

формацию для g x, 2 в широком диапазоне изменения x. Одна-

ко необходимо отметить, что для используемых в данном случае процессов присутствуют значительные экспериментальные и теоретические неопределенности, что отражается на точности определения глюонной функции распределения. На рис. 1.15 представлены неполяризованные партонные функции распределений при различных масштабах факторизации [28].

Все глобальные анализы данных по ГНР выполняются на основе DGLAP-уравнения в NLO или NNLO (последние данные) ТВ КХД, но могут отличаться некоторыми важными деталями: выбором форм функций распределений при начальном масштабе Q02 , набо-

63

Рис. 1.14. Структурная функция протона F2p x,Q2 для области преимуществен-

но малых x и Q2 , измеренная в электромагнитном рассеянии позитронов (ZEUS, H1), электронов (SLAC) и мюонов (BCDMS, NMC) на протонах. Штриховые линии соответствуют параметризации по модели Редже для малых Q2 и получены в эксперименте ZEUS, сплошные линии – КХД-параметризации при более высоких Q2 , выполненные в эксперименте H1. Некоторые точки незначительно смещены по x для наглядности [28]

64

ром экспериментальных данных, включенных в анализ, трактовкой экспериментальных погрешностей, схемами описания массивных кварков и так далее. Феноменологические неопределенности приводят к неопределенностям в функциях распределений как показано на рис. 1.15. Видно, что функции распределений валентных uV ,dV -кварков известны с значительно более высокой точностью, чем для морских кварков или глюонов. Наблюдается существенное улучшение точности определения партонных функций распределений с ростом масштаба факторизации, то есть по мере продвижения в область больших передач импульсов и жестких процессов, где точность предсказаний ТВ КХД увеличивается и неопределенности играют все меньшую роль.

Рис. 1.15. Неполяризованные партонные функции распределения в виде xf x с

соответствующими неопределенностями в следующем к следующему к лидирующему порядке (NNLO) ТВ КХД для параметризации MRST2006 [34] при различ-

ных масштабах факторизации [28]. Здесь f x uV ,dV ,					где u d V –
	u	,d		, s,c,b, g,
валентные кварки

§5. Фрактальность структурных функций в КХД

Исследование геометрии некоторого объекта в обычном про- странстве-времени осуществляется на основе изучения именно

65

структурных функций объекта при рассеянии на данном объекте каких-либо частиц, рассматриваемых a priori в качестве точечных. Как было отмечено выше, точное выполнение бьеркеновского скейлинга возникает, если можно использовать импульсное приближение и рассматривать процесс ГНР как некогерентную сумму рассеяний на свободных конституентах мишени. Данная картина имеет место в случае любой слабосвязанной системы, и рассеяние представляет собой зондирование структуры мишени виртуальными калибровочными бозонами.

Из принципа неопределенности следует, что виртуальный бозон с массой Q2 позволяет исследовать внутреннюю структуру адро-

на-мишени на линейных масштабах 1Q2 . Соответственно, с

увеличением массы виртуального бозона появляется возможность исследовать структуру на все меньших расстояниях. Таким образом, при увеличении неупругости процесса естественным образом возникают «структуры в структурах в структурах…», что соответствует фрактало-подобной природе мишени в некотором интервале масштабов1. При этом возможная фрактальная геометрия структуры частиц в обычном пространстве-времени носит динамический характер и непрерывно меняется. Такое представление материи в виде «структуры в структурах в структурах…», то есть в виде дискретных уровней, позволяет объяснить нарушение скейлинга при значениях Q2 из некоторых конкретных интервалов (при достижении следующих уровней). Таким образом, в общем случае можно ожидать наблюдение чередования скейлингового поведения и его нарушения по мере перехода от одного уровня структуры материи к другому2. На границах, разделяющих эти уровни, где происходит

1 Как было отмечено в [1], естественные фрактало-подобные объекты проявляют свойства истинных (математических) фракталов в ограниченном диапазоне изменения масштаба. В неодушевленной природе концы данного диапазона могут различаться примерно в 104 раз, в биологических примерах – примерно в 102 раз.

2 В настоящее время применительно к ГНР можно говорить только о двух уровнях материи: адронном и партонном. Как известно, пока внутренняя структура кварков не обнаружена.

66

нарушение скейлинга, структурные функции будут изменяться в зависимости от Q2 и перераспределяться в сторону области, соответствующей меньшим значениям масштабной переменной x, так как каждая составляющая будет нести все меньшую долю импульса мишени.

В соответствии с указанными представлениями партонной модели следствия КХД можно интерпретировать в терминах адронов, имеющих непрерывный набор составляющих слоев [22]. По мере увеличения Q2 и все более глубокого проникновения в одетый кварк будет обнаруживаться все большее число виртуальных кварков и глюонов, и валентные кварки будут все большую часть первоначального импульса нуклона отдавать глюонам и морским кваркам. При ультравысоких виртуальностях и, соответственно, на ультрамалых расстояниях структурная функция будет приближаться к -функции, сосредоточенной в точке x 0 :

lim2	F2 x,Q2 x .
Q

Важно отметить, что зависимость количественных значений физических наблюдаемых от масштаба, на котором выполнено наблюдение, является достаточно широко распространенной в квантовой физике. В качестве примера зависимости от масштаба наблюдения можно привести фундаментальную зависимость значения константы взаимодействия КХД от переданного импульса Q2 (см., например, [1] и приложение 1).

Описанная выше слабая Q -зависимость структурных функций

может быть вычислена в рамках более формального подхода пертурбативной КХД, использующего уравнение ренормализационной группы и операторное разложение [22].

При исследовании возможных проявлений фрактальности в ГНР полезным оказывается изучение поведения моментов структурных функций, определяемых аналогично моментам партонных функций распределения. Момент n -го порядка адронной структурной

функции Fi x,Q2 , i 1 3 определяется следующим образом:

1

Fi n,Q2 dxxn 1Fi x,Q2 .

0

67