Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Если для всех	x A	и n,n 1,2, : fn x C , то спра-
ведливо следующее неравенство:
lim	f x dx lim			fn x dx .
n	A	A	n

2.	Если для всех			x A и	n,n 1,2, выполнены неравенства
fn x C и для почти					всех (относительно ) x A выпол-
нено	f	n	x f x ,	то lim	f	n	x dx			f x dx .
				n
				A					A
3.	Если функция			g x является				-суммируемой функцией на
A; для почти всех (относительно )								x E имеет место сходимость

последовательности функций

к

некоторой функции

fn x

f x : fn x f x ;

n 1

fn x

g x , то

n 1,2, справедливо

n

f

x dx

f

x dx .

выполняется равенство

lim

n

n

A

A

4. Теорема Фубини.

Пусть i

– -конечные меры на измеримых пространствах

Ei ,Ai , i 1,2

и пусть

f x1, x2 является

A1 A2 -измеримой

функцией на E1 E2 такой, что выполнено условие абсолютной

сходимости интеграла:				f x1, x2		2 dx2			dx1 .
								1		Тогда
E1	E2

справедливо следующее равенство1:

f x1, x2

2 dx2

dx1

f x1, x2

1 dx1

dx2 .

1

2

E1 E2

E2 E1

1 Если рассматриваемая функция f x неотрицательна, то дополнитель-

ное условие об абсолютной сходимости интеграла является излишним.

128

5. Пусть задано отображение : E1,A1 E2 ,A2 , причем является измеримым отображением, и пусть задана мера на из-

меримом пространстве E1,A1 . Тогда формула

1 , A1

определяет меру на пространстве E2 ,A2 . Для любой A2 - измери-

мой функции f справедливо следующее равенство:

f x2 dx2 f x1 dx1 .

E2 E1

Точнее, если хотя бы один из указанных двух интегралов существует, то существует и другой интеграл, причем эти интегралы равны между собой.

6. Пусть U,AU , V ,AV , Z,AZ – три измеримых пространст-

ва,	F u, z u U, z Z	– AU	AZ -измеримая числовая функция.
Пусть определены v		v V	– меры на Z,AZ , причем v
есть	AV -измеримая функция от v при любом AZ . Если инте-
грал G u,v F u, z v dz			сходится при всех u U, v V , то он
	Z
определяет AU AV -измеримую функцию от u и v.
Определение 3.32. Пусть			E,A – измеримое пространство.

Функция , определенная на некоторой подсистеме A систе-

мы A и принимающая значения из промежутка , или из

интервала , , называется счетно-аддитивной, если для лю-

бого конечного или счетного набора множеств 1, 2, из A та-

кого, что 1 2 A, 1 выполняется следующее равенство:

1 2 .

1 Запись 1 2 означает, что множества 1, 2 , попарно не пересекаются и их сумма равна множеству .

129

Важно отметить, что каждую меру на измеримом простран-

стве E,A можно рассматривать как счетно-аддитивную функцию

на A A.

Пусть – счетно-аддитивная функция и – мера, определенные на одной и той же -алгебре A, то есть на одном и том же измеримом пространстве E,A .

Определение 3.33. Говорят, что определенная выше функция дифференцируема относительно меры , если существует A - из-

меримая функция	f x такая, что для всех : A выполняется
равенство f x dx .
Функция f x	называется производной от функции по мере
и обозначается	d d . Важно отметить, что она определена

лишь с точностью до множества точек, имеющих меру , равную нулю.

Для любой -суммируемой функции g x 1 с учетом указанных выше определений и условий справедливо следующие равенство:

g x dx g x d dx . d

E E

§5. Вероятности

5.1. Вероятности на прямой R1

Вероятности на прямой обычно вводятся с помощью функций распределения.

1 Здесь подразумевается, что функция g x является суммируемой не по

мере , а по другой структуре, которой в данном случае является -

алгебра.

130

Определение 3.34. Пусть некоторая функция F x определена на прямой , и F x : R1 R1. Функция F x называется

функцией распределения, если она не убывает, непрерывна слева и удовлетворяет следующим предельным условиям:

lim F x 0,	lim F x 1.	(3.1)
x	x

Покажем, что между функциями распределения и вероятностями на действительной оси существует взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим класс J всех промежутков на числовой оси (интервалов, полуинтервалов, отрезков). Класс J образует булеву алгебру и порождает булеву алгебру конечных объединений непересекающихся интервалов. Обозначим через R булеву -алгебру, по-

рожденную классом J. В силу того, что каждый промежуток на R1 есть счетное пересечение и каждое открытое множество есть счетное объединение открытых промежутков, то R является также наименьшей -алгеброй, содержащей все открытые множества.

Определение 3.35. Подмножества R, принадлежащие введенной выше -алгебре R, называются борелевскими множествами.

Теорема 3.2. Пусть P – вероятность на R,R , F x :R1 R1 –

функция	распределения на прямой R1, Ix , x , x R1.	Тогда
формула	P Ix F x
		(3.2)

устанавливает взаимно однозначное соответствие между вероятно-

стью P на R,R	и функцией распределения F x на R1.
Доказательство. Пусть P – вероятность на R,R . Тогда, со-
гласно определению вероятности			x, y R1, x y : Ix I y		и для
произвольной последовательности			x ,n 1 R1	выполнены сле-
			n
дующие предельные соотношения:			Ixn Ix при	xn x;	Ixn
				n
при xn ;	Ixn R1	при xn . В силу справедливости
n		n
указанных соотношений		F x P Ix – функция распределения.

131

Проведем доказательство в обратную сторону. Пусть задана не-

которая функция F x : R1 R1 и F x является функцией рас-

пределения. Определим функцию множеств P на классе J, положив a,b R, a b выполнение следующих соотношений:

P a,b F b F a ; P a,b F b F a 0 ;

P a,b F b 0 F a ; P a,b F b 0 F a 0 .

Тогда определенная таким образом функция множеств P есть аддитивная функция множеств, отображающая класс J в отрезок

0,1 и удовлетворяющая условию P R 1. Таким образом, со-

гласно определению P – вероятность. Теорема доказана. ▲ Обозначим через E класс всех компактных (замкнутых ограни-

ченных) промежутков на R. Тогда класс E компактен.

Лемма 3.4. Если класс E подмножеств множества компак-

тен, то также компактен и наименьший класс E' , содержащий E и замкнутый относительно операций конечного объединения и счетного пересечения.

Предложение 3.7. Пусть A – булева алгебра или полуалгебра подмножеств множества и пусть E – компактный подкласс A. Всякая аддитивная функция P, отображающая A в отрезок 0,1 и

такая, что P 1, A A :P A sup P C ;C A,C E , являет-

ся вероятностью.

Следовательно, функция P является -аддитивной, и поэтому имеет единственное продолжение до вероятности на R,R .

5.2. Действительные случайные величины

Пусть ,A – измеримое пространство.

Определение 3.36. Действительной ступенчатой случайной ве-

личиной на ,A называется отображение	X множества		в
действительную прямую R1 вида X x	при A	i I ,	где
i	i

132

Ai , i I – конечное разбиение измеримого пространства ,A и

действительные числа xi i I попарно различны.
Теорема 3.3. Для того чтобы отображение X		множества в
действительную прямую R1 было	ступенчатой	действительной
случайной величиной, необходимо	и достаточно, чтобы класс
X 1 R был конечной -полуалгеброй -алгебры A.
Доказательство. Необходимость:	класс X 1 R совпадает с

булевой -алгеброй, порожденной семейством Ai i I .

Достаточность: рассмотрим конечное разбиение Ai , i I мно-

жества	на множества из -алгебры A, порождающее класс
X 1 R ,	согласно предложению 3.1. Отображение X постоянно

на каждом множестве Ai данного разбиения. Действительно, пусть

, ' в некотором множестве Ai , для которых X X ' .
Тогда можно было бы выбрать борелевское множество S в R,		со-
держащее X и не содержащее X ' . Тогда были бы справед-
ливы соотношения X 1 S Ai , X 1 S Ai X 1 R	и	вы-
бранное борелевское множество строго содержалось бы в	Ai ,	что

невозможно. Таким образом, наше предположение неверно и отображение X действительно постоянно на каждом множестве Ai данного разбиения. Наконец, значения отображения X на множестве Ai попарно различны, поскольку в противном случае множе-

ства Ai не могли бы все принадлежать классу X 1 R . Теорема

доказана. ▲

Каждому множеству A A поставим в соответствие ступенчатую действительную случайную величину.

133

5.3. Распределение действительной случайной величины
Определение 3.37. Пусть – случайная величина,	то есть из-
меримое отображение вероятностного пространства	,A,P в
измеримое пространство X ,B ; : ,A, P X ,B .	Распреде-

лением случайной величины называется вероятностная мера

на измеримом пространстве X ,B , определяемая следующим со-

отношением:

B B: B P B ,

(3.3)

где, более подробно, P B P ; : B .

Определение 3.38. Совместным распределением случайных величин , , , где

: ,A,P X ,B ,

: ,A, P Y ,C ,

: ,A, P Z,G ,

называется вероятностная мера A , где A B C G,

соответствующая распределению случайного вектора , , , и

определяемая следующим соотношением:

A B C G : A P , , , A . (3.4)

Определение 3.39. Случайные величины , ,	называются
независимыми, если для них справедливо соотношение:	(3.5)
.

Определение 3.40. Случайные величины из бесконечного се-

мейства называются независимыми, если для любого ко-

нечного числа отличных друг от друга значений 1, 2 , n слу-

чайные величины 1 , 2 , , n являются независимыми.

Как отмечали А.Н. Колмогоров и ряд других авторов, именно понятие независимости в большей мере, чем что-либо другое, вы-

134

деляет теорию вероятностей среди других ветвей математического анализа и составляет ее характерную особенность.

5.4. Моменты и семиинварианты

Распределение случайной величины принято характеризовать различными числовыми характеристиками, называемыми моментами.

В данном разделе ниже, если другое не оговорено специально, рассматриваются случайные величины и , являющиеся изме-

римыми отображениями : ,A,P X ,B , : ,A, P Y ,C .

Определение 3.41. Математическое ожидание (обозначается) действительной случайной величины определяется как интеграл Лебега по следующей формуле:

P d .	(3.6)
Если определена функция распределения F x	случайной ве-

личины , то математическое ожидание может быть вычислено и как интеграл Лебега – Стилтьеса (Римана – Стилтьеса)

xdF x ,

при этом интегрируемость в смысле (3.6) равносильна конечно-

сти интеграла xdF x .

Определение 3.42. Моментом порядка k ( k 0, k – целое) слу-

чайной величины называется математическое ожидание k ,

если оно существует. Если F x – функция распределения данной случайной величины, то

mk k k P d xkdF x .		(3.7)

Важно отметить, что при определении моментов в теории вероятностей используется прямая аналогия с соответствующим поня-

135

тием, играющим существенную роль в механике: формулой (3.7) определяются моменты распределения масс.

В соответствии с (3.6) и (3.7) момент первого порядка является собственно математическим ожиданием случайной величины (статический момент в механике).

Определение 3.43. Величина k называется абсолютным

моментом порядка k (момент данного типа определяется и для не-

целых k ). Величина a k	называется моментом k -го поряд-
ка относительно a. Величина	k называется централь-

ным моментом k -го порядка.

Центральный момент второго порядка имеет специальное название – «дисперсия» (соответствует моменту инерции в механике). Дисперсия случайной величины (обозначается D ) опреде-

ляется в общем случае (комплексная случайная величина) по следующей формуле:

D				2 .	(3.8)

Аналогично определяются моменты совместного распределения случайных величин , , .

Определение 3.44. Для любых целых ki 0, i 1, ,n таких, что

n

ki k математическое ожидание k1 k2 kn называется сме-

i 1

шанным моментом порядка k. Смешанным центральным моментом порядка k называется k1 k2 kn .

Определение 3.45. Смешанный момент второго порядка для двух случайных величин и при k1 k2 1 называется ковариацией и является одной из основных характеристик зависимости между данными случайными величинами.

Ковариация случайных величин и (обозначается cov , )

в общем случае определяется по следующей формуле:
cov , .	(3.9)

В случае действительных случайных величин и соотношения (3.8) и (3.9) переходят соответственно в следующие формулы:

136

D 2 ,	(3.10)
cov , .	(3.11)

Аналитический аппарат теории вероятностей1 позволяет определять моменты случайной величины другим образом и вводить дополнительные важные характеристики.

В частности, моменты случайной величины определяются

значениями соотвествующих производных характеристической функции:

m

i

k d k f t

,

k 1.

k

k

dt

t 0

aN , то справедливо

Если существует абсолютный момент

следующее разложение:

N

it

k

tN .

f t 1

mk

o

k!

k 1

Определение 3.46. Семиинвариантом (кумулянтом) порядка n называется числовая характеристика случайной величины , рав-

ная коэффициенту разложения соответствующей характеристической функции в ряд Тэйлора:

Kn i	n d n ln		f t			.	(3.12)
		dt	n
						t 0

Понятие семиинварианта родственно понятию момента и взаимосвязь семиинвариантов и моментов выражается формулой

n	n!		Kl1		j1	Klr			jr
mn									,
	j1 ! jr
r 0 j,l		!		l1 !			lr !

где внутренняя сумма распространяется на все неотрицательные

r
значения j и l, для которых jili	n, и наоборот
i 1

1 Вследствие важности более подробно некоторые аналитические методы теории вероятности (характеристическая и производящая функции) рассмотрены в приложении 3.

137