Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Особое внимание уделено прямому и обратному уравнениям Колмогорова и марковским процессам.

Вследствие важности и в качестве необходимой основы для изучения квантовых систем в пятой главе рассмотрено броуновское движение различной размерности. В данной главе введено обобщенное (фрактальное) броуновское движение и подробно рассмотрены его свойства и некоторые фрактальные свойства временных рядов.

Вшестой главе рассмотрены устойчивые распределения и процессы переноса во фрактальных пространствах. Значительное внимание уделено обобщенному уравнению Ланжевена. Это обусловлено тем, что частный случай, классическое уравнение Ланжевена, являющееся примером стохастического дифференциального уравнения, играет в настоящее время заметную роль при исследовании коллективных эффектов в ядро-ядерных взаимодействиях при релятивистских энергиях.

Седьмая и восьмая главы посвящены физическим приложениям операторов дробных порядков и устойчивых распределений к исследованию процессов множественного рождения и геометрических характеристик источника вторичных частиц.

Вконце каждой главы представлены контрольные вопросы, которые позволят читателям лучше усвоить изложенный материал, а также список дополнительной литературы, рекомендуемый для более углубленного изучения материала данной главы.

Вприложениях кратко описаны эксперименты по определению значений свободных параметров КХД в процессах глубоко неупругого рассеяния, представлены некоторые важные сведения по теории вероятности и операторам дробных порядков.

Вконце пособия приведены упражнения по теории вероятности

ислучайным процессам.

Список литературы содержит используемые и цитируемые в данной книге работы. Конечно, данный список не исчерпывает всей литературы по рассматриваемым вопросам, однако авторы надеются, что представленный список литературы является достаточным, чтобы заинтересованный читатель мог, используя его, найти дальнейшие обзоры и оригинальные статьи, посвященные научным исследованиям в данных областях.

18

Рекомендуемая литература

В.11. Бор Н. Избранные научные труды. М., 1971. Т.2.

В.22. Нейман Дж. Математические основы квантовой механики.

Пер. с нем., М., 1964.

В.3. Холево А.С. Статистическая структура квантовой механики и скрытые параметры. М., 1985.

1Данная книга полезна для более углубленного рассмотрения дискуссии о проблеме скрытых параметров как с точки зрения физики, так и философии.

2Книга, в которой предпринята одна из первых попыток придать «проблеме скрытых параметров» в квантовой механике строгий математический статус.

19

Глава 1

СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ В КХД: ФРАКТАЛЬНОСТЬ И САМОПОДОБИЕ

В [1] было рассмотрено общее описание образования струй адронов в рамках пертурбативной КХД. Распределения партонов в адронах не могут быть, во всяком случае пока, вычислены исходя из первых принципов теории. Данные распределения определяются на основе экспериментальных данных, в частности, по глубоко неупругому лептон-нуклонному рассеянию. Процессы данного типа играют ключевую роль для определения внутренней структуры адронов. Измерения партонных распределений в адронах является, таким образом, существенным элементом общей программы построения законченной теории сильных взаимодействий и проверки справедливости КХД. В [1] были рассмотрены схемы фрагментации и проявления фрактальных свойств конечных адронных состояний в процессах с образованием струй вторичных частиц. В данной главе основное внимание уделено такому элементу, соответствующему начальному состоянию общей схемы образования струй адронов, как структурные функции. Детальное изложение теории глубоко неупругого взаимодействия и структурных функций выходит за рамки данной книги, существенное внимание будет уделено эволюции структурных функций в рамках КХД и связанным с этим возможным проявлением фрактальных свойств данных функций.

§1. Адронные структурные функции: основные сведения

В данном параграфе приводятся определения и основные свойства адронных структурных функций.

Определение 1.1. Глубоко неупругими процессами (глубоко неупругим рассеянием – ГНР) называются инклюзивные процессы взаимодействия лептонов и адронов, при которых как квадрат передачи 4-импульса лептоном, так и квадрат суммарной полной

20

l k N p l ' k ' X PX .

энергии вторичных адронов в системе их центра масс значительно превышает характерную энергию покоя адронов 1 ГэВ [17].

Количественные кинематические критерии ГНР будут приведены ниже (п. 1.1.).

Вследствие соотношения неопределенности процессы ГНР, как было указано выше, играют важную роль в исследовании структуры как адронов, так и атомных ядер, а также в изучении динамики взаимодействий на малых расстояниях.

Исторически структурные функции были введены в рассмотрение для описания процессов глубоко неупругого рассеяния лептонов на нуклонах1:

(1.1)

Здесь X соответствует системе нерегистрируемых адронов в конечном состоянии. Реакция (1.1) является полностью инклюзивной относительно конечного адронного состояния. В случае нейтральных токов ( l l ' e, или l,l ' – электрически нейтральные) процесс ГНР определяется однофотонным обменом, если переданные импульсы не очень велики, а именно, много меньше массы промежуточного Z 0 -бозона. Однако, например, электрон-позитронный коллайдер HERA (DESY, Гамбург) позволяет исследовать столкновения встречных пучков протонов и электронов с энергиями 820 и 30 ГэВ соответственно. В данном случае энергия столкновения в с.ц.м. составляет около 314 ГэВ, что соответствует энергии электронного пучка E 50 ТэВ для экспериментальной схемы с фиксированной мишенью, при этом достижимые значения переданного импульса сопоставимы с массой промежуточных бозонов. Поэтому при высоких энергиях необходимо также учитывать обмен нейтральным промежуточным Z 0 -бозоном. Обмен заряженными промежуточными W -бозонами соответствует заряженным токам: l l N X или N l l X . В общем случае схема-

1 При исследовании, как теоретическом, так и экспериментальном, ГНР в качестве мишени для подавляющего большинства случаев рассматривается именно нуклон. Поэтому когда говорят о ГНР общего вида подразумевается, тем не менее, как правило, лептон-нуклонное рассеяние.

21

тическое изображение и соответствующие кинематические величины для lN -рассеяния представлены на рис. 1.1.

1.1. Кинематика лептон-нуклонного ГНР

В соответствии с рис. 1.1. лептон характеризуется начальным, k E,k , и конечным, k ' E ',k ' , четырехмерными импульса-

ми, нуклон – начальным p EN , p 4-импульсом, – угол рас-

сеяния лептона.

Рис. 1.1. Схематическое изображение и кинематические переменные для глубоко неупругого лептон-нуклонного рассеяния при обмене промежуточным бозоном в лабораторной системе отсчета

Кинематика глубоко неупругого рассеяния описывается следующими параметрами:

q k k ' – переданный 4-импульс при обмене виртуальным промежуточным бозоном;

mN – масса нуклона;
ml l ' – масса начального (конечного) лептона;
Q2 q2	2 EE ' k k ' ml2	ml2' 0	– квадрат 4-импульса, пе-
редаваемого	промежуточным	бозоном;	Q2 4EE 'sin	2 при

22

EE 'sin 2 ml2 ,ml2' , где – угол рассеяния лептона в системе

покоя нуклона-мишени относительно направления лептонного пучка;

S p k 2 2 pk mN2	ml2	– квадрат энергии лептон-нуклон-
ного столкновения, при ml	mN – справедливо S 2 pk mN2 ;
M X2 PX2 p q 2 – квадрат инвариантной массы системы ад-
ронов в конечном состоянии1;
pq mN Q2 M X2 mN2		2mN ; смысл данного параметра

наиболее прозрачен в лабораторной системе, в которой справедливо E ' E – переданная энергия2.

Процесс, изображенный на рис. 1.1 соответствует ГНР, если M X2 mN2 (условие неупругости) и Q2 mN2 (условие «глубины», то есть зондирования структуры адрона-мишени на малых линейных масштабах). Дополнительно учитывая, что ml l ' mN при

l l ' ,e, , массы лептонов в начальном и конечном состояниях,

как правило, считают пренебрежимо малыми, то есть при описании ГНР используется приближение безмассовых лептонов.

Процесс ГНР удобно описывать с помощью следующих мас- штабно-инвариантных переменных:

x

Q2

Q2

Q2

переменная Бьеркена,

Q2 M 2 m2

2 pq 2m

N

X

N

(1.2)

pq

Q2

M 2 m2

y

X

N

.

pk

E

S mN2

Вследствие того, что

M X2

mN2 ,

область значений переменной

Бьеркена –

0 x 1,

причем упругому рассеянию соответствует

x 1. Учитывая,

что

S M X2 ,

область

значений

масштабно-

инвариантной переменной y

соответствует

0 y 1.

Распределе-

1Данная переменная может интерпретироваться также как квадрат энергии для системы «промежуточный бозон - нуклон».

2Другими словами, в системе покоя нуклона-мишени данный параметр соответствует энергии промежуточного бозона.

23

ние по переменной y отражает спиновую структуру процесса взаимодействия. Параметр (или соответствующая безразмерная переменная y ) характеризует степень неупругости взаимодействия и иногда называется, соответственно, «неупругость».

Важно отметить, что глубоко неупругим называется кинематический режим, при котором выполнены следующие условия:

1)mN и Q2 mN2 ;

2)бьеркеновская переменная x фиксирована и имеет конечную

величину.

При данном кинематическом режиме можно благополучно пренебречь массой нуклона по отношению к другим (большим) характерным параметрам, описывающим процесс взаимодействия. Спра-

ведливы следующие соотношения: Q2 2mN Exy, xy Q2				S mN2 ,
при S 2 pk mN2 можно использовать			xy Q2 S . Дж.	Бьеркеном
было	предложено	рассматривать	предельный	случай
Q2 , , x const,		называемый бьеркеновским пределом.

На рис 1.2 представлены различные кинематические области ГНР. Основное внимание в данной главе будет сосредоточено на процессах с большими Q2 , которые соответствуют высокой виртуальности промежуточного бозона и описываются DGLAP уравнением Докшитцера – Грибова – Липатова – Альтарелли – Паризи (DGLAP), более подробно рассмотренного ниже. Процессы с малыми x, соответствующие пределу высоких энергий, описываются уравнениями Балицкого – Фадина – Кураева – Липатова (BFKL).

Важно отметить, что величина Q2 определяет жесткость взаимодействия, то есть разрешающую способность взаимодействия для пространственно-временной структуры мишени. Промежуточный бозон выступает в роли «зонда», дающего возможность исследовать структуру мишени с пространственной разрешающей способностью L 1Q 0,197Q фм, где Q берется в гигаэлектронвольтах [18].

24

Рис. 1.2. Кинематические области для лептон-нуклонного рассеяния в плоскости переменных ,Q - (а) и переменных x,Q - (б)

25

1.2. Сечение ГНР

Дифференциальное

сечение

для

инклюзивного

процесса

lp l ' X может быть записано в следующем виде [18]:

d

1

d 3k '

1

1

d 3P

3

3

X

J

2 2E '

2

sl ,sl '

2

sN

X

2 2PX0

(1.3)

M 2 2 4 4 p k k ' PX .

Поток для входящих частиц в приближении безмассовых лептонов определяется как J 4 pk, что соответствует J 4mN E в системе покоя нуклона-мишени. Суммирование выполняется по всем ненаблюдаемым конечным адронным состояниям X , каждое из кото-

	nX	Учитывая,
рых содержит nX частиц, соответственно, PX	pi .

i 1

что рассматривается неполяризованное ГНР, в (1.3) выполнено усреднение по спинам начальных частиц sl ,sN и суммирование по спиновым состояниям конечного лептона sl ' . Дальнейшая каче-

ственная схема вычисления сечения состоит в следующем:

1) квадрат амплитуды может быть представлен в виде произве-

дения лептонной l и адронной w части;

2) в рассмотрение вводятся лептонный L и адронный W

тензоры и сечение оказывается пропорционально произведению данных тензоров;

3) в то время как лептонный тензор является полностью определенным, тензор W , описывающий внутреннюю структуру адрона

(нуклона), определяется динамикой сильных взаимодействий в непертурбативной области;

4) адронный тензор и сечение ГНР выражаются через некоторые зависящие от кинематических переменных функции, называемые структурными и определяемые из эксперимента.

Определение 1.2. Структурной функцией в квантовой теории поля и при описании, в частности, ГНР называется функция (инва-

26

риантных) импульсных переменных, определяющих неупругое взаимодействие -кванта или W -, Z 0 -бозонов с адронами [19].

Выражение (1.3) и представленная схема носят общий характер. Конкретные реализации схемы вычислений и конечные формулы зависят от типа рассматриваемого взаимодействия1.

Рассмотрим подробно ГНР при обмене фотоном. Квадрат амплитуды в (1.3) имеет для данного случая следующий вид:

2

4

*

M

e q

u

k ',s

u

k,s

u

k ',s

u

k,s

эл

l '

l '

l

l

l '

l '

l

l

(1.4)

X

J эл 0

P,sN

*

X

J эл 0

P,sN

4 q2 2 lэл wэл ,

где e2

4

– постоянная тонкой структуры. Лептонный и ад-

ронный тензоры вводятся следующим образом:

L

1

l

1

u

k ',s

u

k,s

*

u

l '

k ', s

'

u

k,s

,

эл

эл

l '

l '

l

l

l

l

l

2 sl ,sl '

2 sl ,sl '

1

1

W эл

d 3P

wэл 2

4

4

p q PX

(1.5)

X

8 mN

2

3

0

sN

X

2PX

8 mN

d 3P

P, sN

J эл 0

X

X

J эл 0

P,sN

2 4 p q PX .

X

2P

0

s

N

X

X

Для лептонного тензора (в пренебрежении массой лептона)

справедливо:

Lэл 2 k k ' k k ' q2 g 2

,

где

g , , 0 3 –

метрический тензор.

Учитывая следующую интегральную форму представления -

функции:

2 4 4

x d 4 zeixz ,

трансляционное свойство

тока

eizq P,sN

J эл 0

X

P,sN

J эл z

X

и свойство полноты для ад-

ронного состояния

X

X

1, для адронного тензора справед-

X

ливо следующее выражение общего вида:

1 Учитывая, что нейтрино обладает определенной спиральностью, в формуле (1.3) для ГНР за счет слабых токов не проводится усреднение по спину нейтрино, соответственно, один из множителей 12 будет исклю-

чен.

27