Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

взаимодействиями виртуального фотона (промежуточного бозона) с другими партонами [24].

Таким образом, в рамках партонной модели делаются следующие основные физические предположения:

1) партоны двигаются приблизительно в том же направлении, что и нуклон;

2) реакция лептон-нулонного рассеяния описывается (в импульсном приближении) рассеянием точечного лептона на отдельном точечном партоне и берется некогерентная сумма всех вкладов элементарных рассеяний;

3)партоны двигаются квазисвободно внутри нуклона и взаимодействиями между партонами можно пренебречь, по крайне мере, в течение времени лептон-партонного рассеяния;

4)фрагментация в конечные адронные состояния происходит в течение такого относительно большого промежутка времени, что влияние данного процесса можно не учитывать при вычислении сечения ГНР.

В рамках электрослабой теории взаимодействие калибровочных

бозонов с кварками данного аромата i i u,d,s,c,b,t является суперпозицией векторного и аксиально-векторного взаимодействий, характеризуемых параметрами i и ai соответственно. Структурные функции нуклона можно представить в виде линейной комбинации функций распределения кварков qi x , которые являются

плотностями вероятности распределения кварков данного типа в нуклоне по переменной x. Для невзаимодействующих партонов («наивная» кварк-партонная модель) в рамках гипотезы бьеркеновского скейлинга справедливы следующие формулы для адронных структурных функций [24]:

F

x

1

q

x

q

x 2

a2

,

1

2

i

i

i

i

i

F

x x

q

x

q

x 2

a2

,

(1.19)

2

i

i

i

i

i

F3 x 2 qi x qi x iai ,

i

где индексы i пробегают по всем ароматам кварков и антикварков, участие которых во взаимодействии допускается законами сохра-

38

нения. Для простейшего случая электромагнитного взаимодействияi :ai 0, i ei , где ei – заряд кварка данного аромата. Для заря-

женных токов – i :ai i 1 для кварков и i : ai i 1 для антикварков. В случае взаимодействия с нейтральными токами, соответствующих обмену Z 0 -бозоном, значения параметров определяются как i :ai T3i , i T3i 2ei sin2 W , где T3i – третья компонента слабого изоспина (анти)кварка данного аромата. Как было отмечено выше, в случае нейтральных токов необходимо учитывать играющую важную роль интерференцию между нейтральными калибровочными бозонами.

Из (1.19) видно, что

F2 x 2xF1 x .

Данное соотношение называется соотношением Калана – Гросса [25, 26], справедливость которого обусловлена тем фактом, что партоны-кварки имеют спин 12. Необходимо отметить, что данное соотношение выполняется только в системе бесконечного импульса. Нарушение соотношения Калана – Гросса при конечных энергиях выражается путем введения модифицированной продольной структурной функции

m		2 4mN2				x ,
FL x F2 x 1 x					2xF1
			Q	2

которая, в свою очередь, связана с отношением сечений поглощения для продольно- и поперечно-поляризованных виртуальных фо-

тонов: R *N		*N F m	F .
L	T	L	T

Универсальные партонные распределения (1.19) используются для вычисления сечений ГНР с различными частицами. Учитывая физические предположения партонной модели о некогерентном характере взаимодействий и физический смысл кварковых функций распределения, дифференциальное сечение ГНР (рис. 1.4,а) в рамках партонной модели можно записать в следующей фактори-

зованной форме [18]:
d		d q	q			d	x ,	(1.20)
		i		i

i

39

где d – сечение элементарного подпроцесса lq q l 'q q (см.

рис. 1.4,б). Учитывая закон сохранения энергии-импульса (1.20) можно переписать в виде

d

d q

q

d

x

q

x

q

x

d

.

dxdy

i

i

dy

i

i

dy

i

i

Предполагая наличие групп симметрий по типам-ароматам кварков SU f 3 или SU f 4 , можно получить обширный набор

дополнительных соотношений и правил сумм. Экспериментальная проверка данных соотношений, в свою очередь, может служить в качестве теста симметрий теории сильных взаимодействий. Детальное обсуждение данных вопросов выходит за рамки данной книги, более подробное рассмотрение можно найти в [18, 22, 27].

Более поздние и обширные экспериментальные данные показали, что при конечных Q2 имеется слабая Q -зависимость структурных функций. Мировые данные различных экспериментов для

структурной функции протона F2p x,Q2 и дейтрона

F2p x,Q2

представлены на рис. 1.5 и рис. 1.6 соответственно. Видно, что Q -

зависимость особенно сильно проявляет себя при малых x. Данные результаты означают, что скейлинг Бьеркена выполняется в природе не строго. Необходимо отметить, что наблюденная Q -

зависимость является малым эффектом. Это означает, что в случае гипотезы Бьеркена масштабная инвариантность оказывается (незначительно) нарушена.

Таким образом, приближение «наивной» кварк-партонной модели, позволяющее получать структурные функции на основе кварковых распределений, должно быть дополнено и изменено для учета таких динамических эффектов как нарушения масштабной инвариантности, соотношения Калана – Гросса и т.д. Развитие данной модели было выполнено в рамках КХД.

§3. Структурные функции в КХД

Как известно, в рамках КХД предполагается, что кварки связаны внутри нуклона посредством глюонов. Поэтому можно ожидать наличие квантовых флуктуаций, таких как испускание и поглоще-

40

Рис. 1.5. Структурная функция протона F2p x,Q2 , измеренная в экспериментах

на коллайдере HERA (H1 и ZEUS) и в экспериментах с фиксированной мишенью при рассеянии электронов (SLAC) и мюонов (BCDMS, E665, NMC). Данные показаны как функции Q2 при фиксированных x. Некоторые точки немного смещены

по Q2 для наглядности. Используется разбиение на интервалы по x, принятое в эксперименте ZEUS, данные всех других экспериментов приведены в соответствии с разбиением по x для ZEUS. Представлены полные погрешности (сложенные квадратично статистические и систематические погрешности). Для наглядно-

сти значение F2p x,Q2 умножено на 2i , где i является номером интервала x в

диапазоне от 1 x 0,85 до 28 x 6,3 10 5 [28]

41

Рис. 1.6. Структурная функция дейтрона F2d x,Q2 , измеренная в экспериментах

с фиксированной мишенью при рассеянии электронов (SLAC) и мюонов (BCDMS, E665, NMC), показана как функция Q2 при фиксированных x. Представлены полные погрешности (сложенные квадратично статистические и систематические

погрешности). Для наглядности значение F2d x,Q2	умножено на 2i , где i явля-
ется номером интервала x в диапазоне от 1 x 0,85	до 29 x 9 10 4 [28]
42

ние глюонов, образование и аннигиляция qq пар. В зависимости от пространственной разрешающей способности зондирующей частицы и времени взаимодействия некоторые из этих флуктуаций могут проявляться, что будет приводить, соответственно, к изменению наблюдаемой партонной структуры адрона (рис. 1.7). Вследствие этого структурные функции приобретают Q2 -зависимость. Важно отметить, что указанная зависимость является отличительной особенностью КХД и экспериментальное измерение Q2 -зависимости структурных функций представляет собой проверку КХД на фундаментальном уровне. Нарушение соотношения Калана – Гросса также является следствием КХД-излучения. Вклад в нарушение скейлинга структурных функций могут давать непертурбативные эффекты КХД, например, рассеяние на когерентных партонных состояниях. Данные вклады убывают степенным образом с ростом Q2. Предположение безмассовости кварков не выполняется для тяжелых c,b,t -кварков. Излучение тяжелых кварков будет подвержено влиянию пороговых эффектов, которые могут быть существенны вплоть до больших Q2 [24]. Поправки высших порядков, теоретическое понимание которых в настоящее время все еще достаточно ограничено, также оказывают влияние на поведение структурных функций в различных кинематических областях.

Ниже в кратком виде представлены основы формализма, который необходим для анализа нарушений масштабной инвариантности структурных функций нуклона и обсуждения возможного фрактального характера данного явления.

3.1. Нарушение масштабной инвариантности в КХД

В данном разделе, если специально не оговорено, рассматриваются только лидирующий (LO) или следующий к лидирующему (NLO) порядок ТВ пертурбативной теории.

По аналогии с факторизованной формулой (1.20) партонной модели адронные структурные функции в общем случае можно записать как сумму партонных структурных функций, взвешенных с учетом партонных функций распределений qi qi x , то есть как сумму сверток:

43

а)

Q2 0,1 ГэВ2 – область

«мягких» взаимодействий

б)

Q2 1 ГэВ2 – промежу-

точная область

в)

Q2 102 ГэВ2 – область

«жестких» взаимодействий

Рис. 1.7. Схематическое изображение фотон-нуклонного рассеяния при увеличении виртуальности Q2 фотона (промежуточного бозона) при фиксированном значении M X . При увеличении Q2 фотон способен зондировать поперечные

расстояния все меньших масштабов и, соответственно, способен «различать» дополнительные особенности структуры протона (б). При дальнейшем увеличении Q2 (в) увеличивается число кварков и глюонов, которые способна «различать» зондирующая частица [24]

44

F2qi qi

			1		qi
Fj	x d								qi		(1.21)
				qi Fj		x qi Fj				x , j 1 3.
		i	x
Здесь	Fjqi	qi	– структурная функция кварка (антикварка) i -го аро-

мата. Для определенности ниже будет рассматриваться структурная функция F2. Данный выбор обусловлен, в частности, тем, что значительный массив экспериментальных данных (см. ниже) полу-

чен именно для этой функции [28]. Структурная функция F2qi qi является с точностью до постоянного множителя сечением фотопоглощения для *q q -рассеяния1. В рамках партонной модели дан-

ный процесс соответствует просто *q q q q (рис. 1.4,б и рис.

1.8,а) и элементарная структурная функция определяется как

z ei2 1 z . Подставляя данное выражение в (1.21), мож-

но получать стандартную для партонной модели формулу (1.19) для структурной функции F2 x при учете только фотонного об-

мена.

Рассмотренное выше приближение партонной модели соответствует, как было указано выше, невзаимодействующим кваркам, то

есть лидирующему порядку s0 ТВ КХД. Однако в действи-

тельности кварки внутри адрона не являются свободными частицами. Они взаимодействуют посредством испускания / поглощения глюонов. Поэтому существуют процессы, дающие дополнительный вклад в сечение *q q -рассеяния. Данные процессы порядка s

показаны на рис. 1.8,б-е и могут быть разделены на процессы с испусканием реальных глюонов (t -канал – рис. 1.8,б, s -канал – рис. 1.8,в) и на процессы с эмиссией виртуальных глюонов – радиационные поправки (поправка к вершинной функции – рис. 1.8,г, поправки к собственной энергии – рис. 1.8,д,е).

1 В данном разделе для простоты рассмотрение будет ограничено только фотон-кварковым рассеянием. Однако представленная схема справедлива и в более общем случае электрослабой теории.

45

Рис. 1.8. Диаграммы, дающие вклад в *q q -рассеяния в лидирующем порядке

(а) и в следующем к лидирующему порядке (б-е) ТВ КХД [18]

Рассмотрим вначале диаграммы, соответствующие испусканию реальных глюонов. Данные диаграммы приводят к возникновению сингулярности двух типов [18]:

а) коллинеарная сингулярность, возникающая вследствие диаграммы для t -канала (рис. 1.8,б) в пределе t 0, то есть когда глюон испускается параллельно кварку;

б) сингулярность вследствие испускания мягких глюонов. Необходимо отметить, что сингулярность второго типа исклю-

чается при суммировании вкладов диаграмм с испусканием реальных и виртуальных глюонов. Таким образом, остается единственный тип сингулярности – коллинеарная. Важно отметить, что пре-

дел kT2 0 для поперечного импульса рассеянного кварка соответствует мягкой части (большие линейные масштабы) сильных взаимодействий, которая не может быть вычислена в рамках пертурбативной теории. Данная сингулярность может быть регуляризована

спомощью установления нижнего граничного значения

kT2 min k02 для поперечного импульса рассеянного кварка. Диа-

граммы, показанные на рис. 1.8,б-е, дают вклад в F2qi qi вида

46

i

s

e2 z

P

z ln

Q2

h

z

:

,

2

i

qi qi

2

qi qi

k0

где Pqi

qi z , hqi

qi

z –

некоторые конечные функции [18, 27].

Функция P z , которая называется функцией расщепления, пред-

ставляет собой вероятность для партона испустить другой партон с долей импульса z первоначального партона и может быть представлены в виде ряда P z sm P m z .

m

Таким образом, в NLO ТВ КХД элементарная структурная функция будет иметь следующий вид:

Q

2

s

F qi qi

x,Q2

e2 x

1 x

P

x ln

h

2

i

2 qi qi

k 2

qi qi

0

x . (1.22)

Видно, что в элементарной структурной функции возникает зависимость от масштабного фактора Q2 и эта зависимость порядка

s . Соответствующая данному порядку ТВ КХД функция распределения (анти)кварка определяется как

	qi x,Q2 1 x						Q2
qi			s	Pqi	qi	x ln	2	hqi	qi x . (1.23)
		2					k0

Учитывая полученную Q2 - зависимость в элементарной структур-

ной функции и обозначая q q 0i x 1 x экспериментально не

измеряемую «затравочную» или «голую» функцию распределения (анти)кварков, можно переписать (1.21) в следующем виде [18]:

1

x

F2 x,Q2 ei2 x d qi0

F2qi

,Q

i

x

1

d

x

s

ei2 x qi0

x

qi0

Pqi

2

i

x

s

1

d

x

2

0

0

ej

x qj

x

2

qj

P

qi

j

x

x

2

q

0

F qi

,Q2

i

2

Q

2

x

(1.24)

ln

2

h

k

qi

0

Q

2

x

h

ln

2

qi

.

k

0

Здесь многоточия обозначают вклад членов более высоких порядков. Таким образом, за рамками LO адронная структурная функция

47