Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

РЕШЕНИЕ:

Произведем деление числителя и знаменателя получившейся дроби на n2 - наибольшую степень n .

lim n 6 n + 5 32n10 +1 = lim

n

−5 / 6

+

5 32 +

1

n10

= 2.

(1 + n−3 / 4 )3 1 − n13

n→∞

(n +

4

n )

3

n

3

−1

n→∞

2

Вычислите предел числовой последовательности

lim

(

n2 +

5

)(

n4

+

2

)

−

n6 −3n3 +

.

5

n→∞

n

РЕШЕНИЕ:

lim

(n2 +5)(n4 + 2)−

n6 −3n3 +5

=

n

n→∞

=

домножим на сопряженную величину

=

n6 −3n3 +5)

(

n6 −3n3 +5) (

=lim

(n2 +5)(n4 +2)−

(n2 +5)(n4 +2)+

=

n(

(n2 +5)(n4 +2)+ n6 −3n3 +5)

n→∞

=

воспользуемся формулой разности квадратов

=

= lim

(

n2 +

5

)(

n4 +

2

)

−

(

n6

−3n3

+5

)

=

n→∞

5

10

n(

(n2 +5)(n4 + 2)+ n6 −3n3 +5 )

=

приведем подобные

=

2

= lim

(n6 +5n4 + 2n2 +10)−(n6 −3n3 +5)

=

n→∞ n( n6 +5n4 + 2n2 +10 + n6 −3n3 +5 )

= lim

5n4

+3n3 + 2n2 +5

=

n→∞ n( n6 +5n4 + 2n2 +10 + n6 −3n3 +5 )

=

делим на старшую степень n4

=

3

2

5

5 + n

+

+

5 .

= lim

n2

n4

=

n→∞

1 +

5

+

2

+

10

+ 1−

3

+5n

6

2

n2

n4

n6

n3

11

Вычислите предел: lim

n +1 − 3 n2 −1

.

n

3

+1 +

1+n

n→∞

4

91

РЕШЕНИЕ:

Выражение представляет неопределенность типа ∞ .

∞

Преобразуем подкоренные выражения, выделив

0

возрастающие множители:

n +1 n = n 1 + 1

1

1

n +1 =

= n2 1 +

,

n

n

n

3 n2 −1 =

3 n2 3 1 −

1

2

1

= n

3

3 1 −

,

n2

n2

n3 +1 = n3 1 +

1

3

1

= n2

1 +

,

n3

n3

1

4 1 + n = 4 n 4 1 +

1

= n4 4 1 + 1 .

n

n

Выносим в числителе и знаменателе старшие

степени:

2

1

1

1

n3

+

−

3 1−

1

4

n +1 − 3 n2 −1

n

2

lim

= lim

n3

n3

=

1

1

1

n→∞

n3 +

1 + 4 1+n

n→∞

3

n2

1+

+

4

+

n3

n6

n5

1

−1

= lim

= 0.

5

n→∞

n6

1

Вычислите предел числовой последовательности

limn→∞ (n2 −

n2 +n ).

РЕШЕНИЕ:

В этом примере мы имеем дело с неопределен-

ностью типа (∞ − ∞) , т.к.

n2

→ ∞ и

n2

+ n → ∞ при

n → ∞.

12

Эту неопределенность можно устранить или превра-

∞

тить в неопределенность типа

∞

, вынося за скобку

∞

старшую степень или домножая на сопряженное.

Способ 1:

)

n2 −

n2 +n

= lim n2

1

1

lim

1−

+

.

2

3

n→∞

(

n→∞

n

n

Выражение в скобках стремится к единице, а n2 → ∞. Отсюда следует, что

92

lim n

2

−

1

+

1

= ∞.

1

2

3

n→∞

n

n

Способ 2:

(n2 − n2 +n )(n2 + n2 +n )

limn→∞ (n

2

−

n

2

+n )= limn→∞

=

(n2 +

n2 +n )

n

4

1

1

n

4

−n

2

−n

1−

−

n

2

n

3

= lim

= lim

= lim n2

=∞.

(n

2

2

+n )

n→∞

+

n

n→∞

1

1

n→∞

n2

1+

+

n2

n3

Вычислите предел lim

cos(n2 )

.

n +1

РЕШЕНИЕ:

n→∞

Последовательность

cos(n2 )

есть

произведение

13

n +1

0

двух

последовательностей

{cos(n2 )}

и

1

,

из

n +1

которых

первая

ограниченная,

а

вторая

бесконечно малая. Следовательно,

lim

cos(n2 )

= 0 .

n +1

n→∞

Вычислите предел lim

10n +5n+1

7n +5n

.

РЕШЕНИЕ:

n→∞

n

5

n

10

1

+5

10n +5n+1

10

10n

10

n

lim

n

n

= lim

= lim

n

= lim

.

7n 1+

n

14

n→∞

7

+

5

n→∞

5

n→∞

7

n→∞

7

∞

7

Последовательность

n

-

бесконечно большая,

10

7

т.к.

10

>1. Следовательно,

lim

10

n

7

7

=∞.

n→∞

Вычислите предел lim

(n +1)!+ n!

.

(n +2)!+

(n +3)!

РЕШЕНИЕ:

n→∞

15

0

В этом примере мы опять имеем дело с

неопределенностью

∞ .

∞

93

Расписываем факториалы по формуле n! =1 2 3 ... n

lim

(n +1)!+ n!

=

n→∞ (n + 2)!+ (n + 3)!

= lim

1 2 3 ... n (n +1) +1 2 3 ... n

=

2 3 ...

(n + 2) (n + 3)

n→∞ 1 2 3 ... (n +1) (n + 2) +1

= lim

1 2 3 ... n (n +1 +1)

= lim

n! (n + 2)

=

n→∞ 1 2 3 ... (n + 2) (1 + n + 3)

n→∞ (n + 2)! (n + 4)

= lim

n + 2

= 0 .

(n +1) (n +

2) (n +

4)

n →∞

Вычислите предел числовой последовательности

n!+(n + 2)! lim ( ) ( ) . n→∞ n −1 !+ n + 2 !

16

РЕШЕНИЕ:

(

(

)(

))

1

lim

n! (n

+

2)!

= lim

n

n + 2

=

+

n! 1 +

+1

(

)

(

n +

2

)

! n→∞

(

n −

)

(

+ n

(

n +

)(

+

2

))

n→∞

n −1 !+

1 !

1

1

n

= lim

n(1 + n2 +3n + 2)

= lim

n3 +3n2 +3n

=1.

n→∞ 1 + n3 +3n2 + 2n

n→∞ n3 +3n2 + 2n +1

Вычислите предел числовой последовательности

lim

2 + 4 +... + 2n

n +3

− n .

n→∞

РЕШЕНИЕ:

Числитель дроби представляет собой сумму n

первых членов арифметической прогрессии, которая

17

равна

-2

Sn =

a1 + an

n = 2 + 2n

n = (1 + n)n, поэтому

2

2

2 + 4 +... + 2n

(1+ n)n

lim

−n

= lim

− n

=

n +3

n +3

n→∞

n→∞

= lim

−2n

= −2.

n→∞ n +3

94

Вычислите предел lim

1 −n

1−

n

.

n→∞

РЕШЕНИЕ:

−n

n

n n

n

n−1+1

1

1

1

1

1−

=

=

=

1+

=

1+

=

18

n

1−

1

n

−1

n −1

n −1

е

n

1

n−1

1

= 1+

1+

.

n −1

n

−1

Тогда

1

−n

1

n−1

1

= e .

lim

1−

= lim 1+

lim

1+

n

n −1

n

−1

n→∞

n→∞

n→∞

Вычислите предел числовой последовательности

2

+ 4n −1

1−2n

lim

4n

.

2

+ 2n +3

n→∞

4n

РЕШЕНИЕ:

4n2 +4n −1 1−2n

выделимединицу

∞

=

limn→∞

= 1

=

воснованиистепени

4n2 +2n +3

2n − 4

1−2n

= lim

1+

=

4n

2

+ 2n +

n→∞

3

4n2 +2n+3

2n−4

(1−2n)

2n − 4

2n−4

4n2 +2n+3

= lim

1+

=

4n

2

+ 2n +

n→∞

3

1

19

4n2 +2n+3

2n−4

(1−2n)

4n2 +2n+3

2n − 4

e

2n−4

= limn→∞

1

+

=

4n

2

+ 2n +3

=по известному пределу последовательности = основание степени равно числу e

				2n−4		(1−2n)
= lim e4n2 +2n+3								=
n→∞
	ниже будет доказано, что в силу свойств
=	функции ex (непрерывность функции)										=
	это выражение можно записать в виде
= e		lim	2n−4		(1−2n)		= e		−1	.
		n→∞ 4n2 +2n+3
										95

n +1 n 2

Вычислите предел

lim

.

РЕШЕНИЕ:

n→∞ n + 2

n 2

−

− n

2

n + 1

1

( n + 2 )

n + 2

lim

= lim

1 −

,

n + 2

n

→ ∞

n → ∞

n + 2

1

−(n+2)

lim

1−

= e .

n→+∞

n +2

20

Таким образом, в последовательности

−( n +2 )

− n 2

1 −

1

n +2

основание стремится к e, а

n + 2

последовательность −

n2

расходится и

n + 2

0

n2

−

→ −∞ при n → +∞ . Таким образом, получаем

n + 2

n

+ 1 n 2

= e

−∞

= 0 .

lim

+ 2

n → ∞ n

2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

№

Задание

Ответ

Докажите, что lim

15x2 −2x −1

= 8 (найдите δ (ε )).

x −1/ 3

РЕШЕНИЕ:

x→1/ 3

По определению предела функции:

А= lim f

(x)

ε > 0 δ (ε )

> 0 x

x→a

(0 <

x − a

<δ

f (x)− А

<ε ).

f (x)− А

=

15x2 − 2x −1

−8

=

15x +3 −8

=

ε

21

x −1/ 3

δ (ε)= 5 .

=

15x −5

=15

x −1/ 3

.

1). Возьмем произвольное ε > 0.

2). Положим δ (ε )=

ε

.

15

3). Возьмем x X . Тогда если(0 <

x −a

< δ ), то

(0 <

x − a

<δ ) (

f (x)− А

< ε ), что и требовалось

доказать.

96

3

+ 4

1

x+2

Вычислите предел lim

x

.

3

+9

x→0 x

2

22

РЕШЕНИЕ:

1

3

3

+ 4

4

x+2

lim

x

=

=

2 .

3

+9

9

x→0 x

3

Вычислите предел lim

x3 −4x2 −3x +18

.

x3

−5x2 +

3x + 9

x→3

РЕШЕНИЕ:

x3

−

4x2 −3x +18

0

lim

=

.

x3 −5x2 + 3x + 9

0

x→3

Так как число 3 является корнем числителя и

знаменателя, поделим числитель и знаменатель на

x −3.

x3 −4x2 −3x +18

x −3

x3 −3x2

x2 −x −6

−x2 −3x

−x2 + 3x

−6x +18

5

23

−6x +18

4

0

x3 −5x2 + 3x + 9

x −3

x3 −3x2

x2 −2x −3

−2x2 + 3x

−2x2 + 6x

−3x + 9

−3x + 9

0

x3

−4x2 −3x +18

0

= lim

=

=

x3 −5x2 + 3x +

9

0

x→3

(

)

(

)

0

x2 −x −6

x2 −x −

6

= lim

(x −3)

= lim

=

;

(

)

(

)

x→3 (x −

x→3

x2

3)

x2 −2x −

3

−2x −3

0

= { найдем корни квадратных трехчленов }=

97

= lim

(x −3)(x + 2)

= lim (x + 2)

= 5 .

x −3

x +1

x→3

(

x→3

(

x +1

4

)(

)

)

Вычислите предел lim

3 − 4

x

.

9 −

x

x→81

24

РЕШЕНИЕ:

1

Пусть t = 4 x . Тогда

6

lim

3 − 4

x

= lim

3 −t

= lim

1

=

1

.

9

−

x

9 −t2

3 + t

6

x→81

t→3

t

→3

Вычислите предел

lim

x

2

+1

− x .

x→+∞

РЕШЕНИЕ:

25

Домножим и поделим на сопряженную величину:

(

x2 +1 − x)= (∞ − ∞)= lim

(

2

0

lim

x2 +1) −(x)2

=

x→+∞

x→+∞

x2 +1 + x

= lim

x2 +1 − x2

= lim

1

= 0.

x2

+

1 + x

x2 +1 + x

x→+∞

x→+∞

Вычислите предел lim

x +13 −2

x +1

.

3

x2 −9

x→3

РЕШЕНИЕ:

Домножим числитель и знаменатель на величину,

сопряженную числителю:

26

x +13 −2 x +1

0

0

lim

=

0

=

x→3

3

x

2

−9

(

x +13−4

x +1

= lim

)

=

( x +13 + 2 x +1)3 x2 −9

x→3

=

1

lim

−3(x −3)

= 0.

8 x→3 3

(

x −3

x + 3

)(

)

Определите порядок малости α (x)= 3 x3

1 − x

27

относительно β (x)= x при x → 0 . РЕШЕНИЕ:

	α (x)=	3 x	3	3	3
				= x2		,
		1− x			1− x

98

lim

α (x)

= lim

3

= 3 = const , откуда

3

x→0

(β (x))2

x→0 1− x

3

α (x) 3(β (x))

, т.е. порядок малости α (x)

2

относительно β (x)= x при x → 0 равен

3

.

2

Докажите,

что

α (x)− β (x)

имеет

второй

порядок малости относительно x при x → 0 ,

если α (x)=1/ (1 + x), β (x)=1 − x .

РЕШЕНИЕ:

1− 1− x

)

28

α (x)− β (x)=

1

−(1− x)=

(

2

x

2

=

,

1+ x

1+ x

1+ x

lim

α (x )− β

(x )

= lim

1

=

1 , α

(x)− β (x) x2

x2

1 + x

x→0

x→0

при x → 0 .

Вычислите предел lim tg x .

x→0

x

Применим первый замечательный предел:

lim

tgx

=

0

= lim

sin x

1

=

29

x

0

x

1

x→0

x→0

cos x

= lim sin x

lim

1

=1

1

=1.

cos x

cos 0

x→0

x

x→0

Докажите соотношение: lim

loga (1 + x)

=

1

,

где

ln a

x→0

x

a > 0, a ≠1.

РЕШЕНИЕ:

30

loga (1 + x)

ln (1 + x)

lim

= lim

=

x

x ln a

x→0

x→0

=

1

lim

1

ln (1 + x)

=

1

lim ln

(1 + x)

1

=

x

ln a x→0 x

ln a x→0

99

=

1

ln lim (1

+ x)

1

=

1

ln e =

1

.

x

ln a

ln a

x

→0

ln a

Докажите соотношение: lim

ax

−1

= ln a .

x

РЕШЕНИЕ:

x→0

Заменим переменную:

31

ax −1 = y,

ax =1+ y, x = loga (1+ y),

lim y = lim

(

ax −1 = 0, (см. предыдущее упр.)

x→0

x→0

)

lim

ax

−1

= lim

y

= ln a .

x

loga (1+ y)

x→0

y→0

Докажите соотношение: lim

(1 + x )a −1

= a .

РЕШЕНИЕ:

x

→0

x

32

Сделаем замену переменных (1+ x)a

= et . Тогда .

lim (1 + x)

a

−1 = lim

t

−1

t

e

= lim

= a .

t

t

x→0

x

t→0

t→0

a

ea

−

1

Докажите соотношение: lim

1+ x −1 =

1 .

РЕШЕНИЕ:

x→0

x

2

(

1 + x −1)(

1 + x +1)

33

lim

1 + x −1

= lim

=

(

)

x

x

x→0

x→0

1 + x +1

= lim

1 + x −1

= lim

1

= 1 .

(

)

x→0

x

1 + x +

x→0

1

+

x

+

1

2

1

Вычислите предел lim

arcsin (x /

1 − x2 )

.

ln (1 − x)

x→0

РЕШЕНИЕ:

Используя ряд эквивалентных бесконечно-малых

34

при x → 0 , можно записать:

arcsin

x

x

x , ln (1− x) (−x);

1− x2

1− x2

lim

arcsin

(x / 1− x2 )

= lim

x

= −1.

ln (1− x)

−x

x→0

x→0

35

Вычислите предел lim

xsin 2x

.

x→0 1+cos(x −3π )

100