Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

4.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

№

Задание

Ответ

Пользуясь только определением производной, найдите

производную функции f (x) = log2 x.

РЕШЕНИЕ:

log2 (x + ∆x)−log2 x

y = log2 x ,

(log2 x)′ = lim

∆x

→0

∆x

x + ∆x

∆x

= lim

log2

= lim log2

1 +

log

2 e

∆x

∆x→0

∆x ∆x

= lim

log2

lim

log2 1 +

∆x→0

= 1 log2 e ,

(log2 x )′ =

1 log2 e .

Для заданной f (x)=

x, x ≤1,

, x0 =1 найдите

f '− (x0 ) и f '+ (x0 ).

−x2 + 2x, x >1

РЕШЕНИЕ.

f '

= lim

f (x)− f (1)

= lim

x −1

=1 и

1,0

−

( )

x→1−0

x −1

x→1−0

x −1

f ' 1 = lim

f (x)− f (1)

= lim −x2 +2x −1 = lim

(

x −1 =0.

+ ( )

x→1+0

x −1

x→1+0

x −1

x→1+0

)

≥1,

f (x)

Пусть

. Найдите коэффициенты

+b,

<1.

f (x) была непрерывна и

a и b такие, чтобы функция

a = −

дифференцируема в любой точке.

РЕШЕНИЕ:

b = 2 .

Рассмотрим поведение

f (x)

в окрестности точки

x =1. Пусть f1 (x)

f2 (x)= ax2

+b . Тогда для

111

непрерывности f (x)

необходимо f1 (1)= f2 (1),

a + b =1. Для дифференцируемости необходимо

f ′(1)= f

′

(1),

f ′(x)= −

′

(x )= 2ax , 2a = −1.

Решая полученную систему для коэффициентов

квадратичной функции, получаем a = −1

, b =

3 .

Функция f (x)

является чётной, репзультат не

изменится для точки

х = −1.

Докажите, что производная четной функции – функ-

ция нечетная, а производная нечетной функции –

четная.

РЕШЕНИЕ:

f ′(x)

= lim

f (x + ∆x) − f ( x)

. Пусть f (x) четна,

∆x

→0

∆x

f (−x)= f (x). Тогда

f ′(−x)

= lim

f (−x +∆x) − f (−x)

∆x→0

∆x

= lim

f (−(x −∆x))− f (−x)

= − lim

f (x −∆x)− f (x)

∆x→0

∆x

∆x→0

−∆x

(обозначим ∆x = −∆x , ∆x → 0 при ∆x → 0 )

= − lim

(x + ∆x)− f (x)

= − f ′(x),

f ′(x)- нечетна.

∆x→0

∆x

Если

f (x) нечетна, f (−x)= − f (x), то

f ′(−x)

= lim

f (−x +∆x) − f (−x)

∆x→0

∆x

= − lim

f (−(x − ∆x))− f (−x)

= lim

f (x − ∆x)− f (x)

∆x

−∆x

∆x→0

= lim

f (x + ∆x)− f (x)

= f ′(x), f ′(x)- четна.

∆x→0

∆x

Пусть y = f −1 (x) – функция, обратная заданной

y = f (x). Выразите (f −1 )′ (x) через x и

f −1 (x), если

f (x)= x +ex .

РЕШЕНИЕ:

1+e

f −1

(x)

Если y = f (x), то x = f −1 (y);

−1 ′

′

+e , (f

) (y)

′

x =

−1

yx =1

= xy =

yx′

+ e

(y)

1 + e f

112

Обозначая аргумент обратной функции через x ,

получаем (f −1 )′(x)=	1			.
	+ e f	−1	(x)
1

Покажите, что функция y = arcsin x удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 − x2 )y′′ = xy′. РЕШЕНИЕ:

		′			′		1
		′			′
6	y		= (arcsin x)			=	1 − x2			,
				1	′		(1 − x	2	)	−	1	′		1	(1 − x	2	)	−	3	(−2x ).
	y′′ =					=					2		= −	2					2
	y′′ =			1 − x2		=					2		= −						2
				1 − x2

(

)

′′

′

1 − x

= xy

1 − x2

5. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Найдите

′

x .

y (x)

, если y = arctg

РЕШЕНИЕ:

′

= 3arctg x 1+ х2 .

′

, если

y = sin ln (x

+ 4x

Найдите y (x)

РЕШЕНИЕ:

y′ = cos ln (x3 + 4x2 )

(3x2

+8x)

+4x

′

sin x −cos x

Найдите

y (x)

, если

y = sin x +cos x .

РЕШЕНИЕ:

y ′ = (sin x + cos x)(sin x − cos x)′− (sin x − cos x)(sin x + cos x)′

(sin x + cos x)2

= (sin x + cos x )(sin x + cos x ) − (sin x − cos x )(cos x − sin x )

sin 2 x + 2 sin x cos x + cos2 x

sin 2

x + 2 sin x cos x + cos

x + sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x

2(sin2 x +cos2 x)

1 + sin 2 x

1 +sin 2x

Найдите y′(x) , если y = ln( 2 sin x +1 + 2sin x −1) .

113

РЕШЕНИЕ:

y′ =

2 cos x

2 sin x +1 + 2 sin x −1

2 sin x +1

2 2 sin x −1

cos x(

2 sin x +1 +

2 sin x −1) =

2 sin x

+1 +

2 sin x −1

4 sin2 x −1

cos x

4 sin2 x −1

′

ln x

Найдите

y (x) , если y = arctg

РЕШЕНИЕ:

′

ln2

x 3x = x(9 +ln2 x) .

1 +

′

Найдите

y = 5sh

3sh

15 .

y (x) , если

РЕШЕНИЕ:

y′ =

′

3sh

5sh

= 15sh

1+sh

= sh2

ch2

= sh2

ch3

Найдите

′

, если y = x

y (x)

РЕШЕНИЕ:

ln y = ln (xx )= x ln x;

(ln y)′ =

y′

yy′ = x′ ln x + x (ln x)′ = ln x + x 1x = ln x +1; y′ = (ln x +1)xx .

′	y =(sin x)	tgx	.
Найдите y (x) , если	y =(sin x)		.
РЕШЕНИЕ:
Применяем метод логарифмического
14 дифференцирования.
ln y = tg x ln(sin x);

114

′

ln sin x

(ln y)

= tg x

cos x +

ln sin x =

1 +

cos2 x

;

sin x

cos2 x

(ln y)′ =

y′

′

ln sin x

(sin x)

tg x

= (ln y)

= 1 +

cos

′

(2x −1)3 3x + 2

Найдите

y (x) , если

y =

(5x + 4)2 3 1− x .

РЕШЕНИЕ:

ln y =3ln(2x −1) +

ln(3x +2)

−2ln(5x +4)

−

ln(1−x) ;

(ln y)′ =

;

2 +

−2

5 −

(−1)

2x −1

3x +2

5x +4

1−x

′

y′

(ln y)

′

(2x −1)3

3x +2

−

;

(5x +4)2

3 1−x

2x −1

2(3x +2)

5x +4

3(1

−x)

Найдите

′

x3 (x −1)7

y (x) , если y

x + 6

РЕШЕНИЕ:

ln y =

3ln x + 7 ln (x −1)− ln (x + 6)

;

y′

(ln y)′ =

−

;

(ln y)′ =

x −1

x + 6

y′ =

(x −1)7

−

x −1

+ 6

x +

Вычислите производную y 'x

функции

x = sin

y = cos

0 < t <

, заданной

параметрически.

115

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой для производной функции, заданной параметрически:

y 'x =

y 't

-1

x 't

Вычислим производные по переменной t :

y 't

= 2cost (−sin t),

отсюда

x 't

= 2sin t cost,

y 't

2cost (−sin t)

y 'x

=−1.

x 't

2sin t cost

′

+ 3t +1;

Найдите

y (x)

x = t

y (x) , если

y =

+1.

РЕШЕНИЕ:

5t2

′

15t

+15t

+1)

y (x)

= 5t

′

+1)

x (t)

Составьте уравнения касательной и нормали к

кривой y =

x 2

− 2x −3

в точке x0

= 4 .

РЕШЕНИЕ:

8 − 2

′

;

y (x)

(2x − 2);

(4) =

y(x0 ) = y(4) =

16 −8 −3

y =

(−32x +47)

Уравнение касательной:

y −

(x − 4) y =

(6x −19) .

Уравнение нормали:

y −

= −

(x − 4) y =

(−32x + 47) .

Составьте

уравнение

касательной

к графику

функции: y (x)

в точке t =

π .

x = a cos

y = a sin

РЕШЕНИЕ:

y = −х+

′

a 3sin

t cos t

(t)

= −tgt .

′

a 3cos

t(−sin t)

(t )

При t =

116

;

= a

;

= −tg

= −1.

y′

Уравнение касательной

y − a 2 = − x − a

или

y = −x + a

2 .

Найдите

производную

(x)

функции

y(x), если она

′

задана неявно уравнением x2 + x2 y + xy 2 = 0 .

РЕШЕНИЕ:

2x + 2xy + y 2

21 Дифференцируем равенство по x :

= −

x(x + 2 y)

2x + 2xy + x2 y′+ y 2 + 2xy y′ = 0 .

′

Отсюда

′

2x + 2xy + y 2

= −

x(x + 2 y) .

′

′′

′′′

y = x

+ 2x

−

− x

−0,5x +7 .

Найдите y , y , y

,.... , если

РЕШЕНИЕ:

y′ = 5x4 +8x3 −9x2 − 2x −0,5;

y′′ = 20x3 + 24x2 −18x − 2;

22y′′′ = 60x2 + 48x −18; yIV =120x + 48;

yV =120;

y(6) = y(7) =... = 0

	Найдите	y(100) (x) , если y = x shx.
	РЕШЕНИЕ:
	Воспользуемся формулой Лейбница.
	y = f (x) g(x), ăäĺ f (x) = x, g(x) = shx .
	f (x) = x,	g(x) = shx,
	′	′
	f (x) =1,	g (x) = chx,
23	′′	′′
23	f (x) = 0,	g (x) = shx,
	.......	........
	f (n) (x) = 0, g(99) (x) = chx,
		g(100) (x) = shx.
	В формуле Лейбница ненулевыми будут только два
	слагаемых: при k = 0 и k =1 .

117

(100)

(x) =

f (x) g

(n)

′

(n−1)

(x) =

(x) +n f (x) g

= x shx +100 chx

Найдите

y′

y′′

функции,

заданной

параметрически:

x = sec t =

y = tg t = sin t

cos t

cost

t 0,

РЕШЕНИЕ:

′ =

′

= − −sin t =

sin t

y ′

(tg t )′ =

cos2 t

cos

cos t

yt′

yx′ =

cos2 t

yx′ =

xt′

sin t

yx′ =

cos2 t

(y′x )′t

cost

y′′xx = −

sin2 t

y′′xx =

xt′

= − sin t

= −ctg t = −

cos2 t

Найдите

y′

y′′

функции,

заданной

неявно:

y = tg(x + y).

РЕШЕНИЕ:

Дифференцируем

уравнение по

x :

′

1+ yx

cos2 (x

+ y )

(1+ yx )

yx =

cos2 (x + y )

y′x = −1 −

′

cos2 (x + y)−1

′

=1−

yx = −

cos2 (x + y)

sin2 (x + y )

2 y2 +1

′′

=−

(

)

Используя

=1+

получаем

yx′ =−1−

yxx

sin2 α

tg2 α

Повторно

(

дифференцируя

по

x ,

получаем

yx′

−2

y2 +1

′′

)

yxx =2

118

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Найдите	дифференциал				функции
y(x) = x a2 − x2	+ a2 arcsin	x	−5	при	произвольном
		a

значении аргумента x и при произвольном его приращении ∆x = dx .

РЕШЕНИЕ:

−2x

′

(x)= a

− x

+ x

+ a

2 a2 − x2

1 −

a2 − 2x2

= 2 a2 − x2 ,

a2 − x2

dy = y′(x) dx = 2 a2 − x2 dx .

Найдите дифференциал 2-го порядка функции y =3−x2 .

РЕШЕНИЕ:

y′=(3−x2 )′ =(e−x2 ln3 )′ =e−x2 ln3 (−x2 ln3)′ =

= −2x ln3e−x2 ln 3 = −x ln9e−x2 ln 3 .

y′′= −ln9(xe−x2 ln3 )′ = −ln9(e−x2 ln3 −2x2 ln 3e−x2 ln3 )= =3−x2 ln9(x2 ln9 −1).

Найдите дифференциал неявно заданной функции y5 + y − x2 =1.

28РЕШЕНИЕ: Дифференцируем равенство:

5y4 dy + dy −2xdx = 0, откуда dy = 52yxdx4 +1 .

119

Вычислите приближенное значение arcsin0,51

	помощью дифференциала.
	РЕШЕНИЕ:			y = arcsin x .	Полагая
	Рассмотрим	функцию		y = arcsin x .	Полагая
29	x = 0,5; ∆x = 0,01	и		применяя	формулу
29	arcsin( x + ∆x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ ∆x , получаем
				1
	arcsin 0,51 ≈ arcsin 0,5 +		1−(0,5)2 0,01 =
	= π +0,011 = 0,513.
	6

Вычислите приближенно 4 15,8 . РЕШЕНИЕ:

Пусть y = 4 x , где x =16 . Тогдаy(16)= 4 16 = 2 ;

y = (15,8)= y(16)+ ∆y .

Применим формулу ∆y ≈ dy = y′(x)∆x ;

30	∆x =15,8 −16 = −0,2 ;
		14 ′		1		14−1		1	−34
	′		=		x		=		x ;
	′
	y (x)= x			4				4
				4				4

y′(16)= 14 16−34 = 418 = 321 .

Тогда y(15,8)= 2 + 321 (− 0,2)= 2 − 0,0062 =1,9938 .

Вычислите приближенно значение объема V шара
радиуса r =1,02 м.
РЕШЕНИЕ:
	Так как	V (r )=	4	π r 3 ,	то, полагая, r0 =1,		∆r = 0,02 и
	Так как	V (r )=		π r 3 ,	то, полагая, r0 =1,		∆r = 0,02 и
31 используя		3
31 используя		формулу			для	∆V ,	получаем
V	(1,02)=V	(1)+∆V ≈V (1)+V ′(1) 0,02 =
=	4 π +4π 0,02 443 м3
	3

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR

#
29.05.20151.95 Mб18Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy.pdf
#
29.05.20154.52 Mб26Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29.pdf
#
29.05.20154.89 Mб19Chast_3__Mat_an_2010_23_09.pdf
#
29.05.20151.09 Mб37Chast_5_DifUr.pdf
#
29.05.2015934.06 Кб26Chast_6_FNP.pdf
#
29.05.2015608.76 Кб16Модуль 2_4 Формулы пр.pdf