Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

Расчетная работа № 3. Часть 2. Варианты

Вариант 1

1.

Найти производную функций:

x3

а)

y = tg (ln x + 2x); б)

y = 2cos(3x ); в)

y =

; г) y = ex arcsin( x ).

1 + x2

π .

2.

Найти производную функции y = sin xctgx

в точке x =

3

4

′

3.

Найти производную

x = 2 , если

y

(x) в точке

3t

x =

1 +t

.

t

2

y =

1 +t 2

4.

Найти y (50)(x), если

y(x)= xe2 x .

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

y4 +sin(yx)− x2

= 2 .

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

arccos0.6 .

(

7.

Найти предел lim ln x

2x −1 .

x→0+0

)

8.

Написать уравнение касательной к кривой y = arctgx в точке x =

3 .

9.

Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

y =

1

в точке

2

+ x2

x = 0 .

10. По графику функции

1

− 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 x2 − 2x .

181

Вариант 2

1.

Найти производную функций:

1

а)

y = сtg (e

x

−3x); б) y = 3

−x2 sin x

; в)

y =

cos x +1

; г)

y =

2

x + 3

ln x +

.

π .

x

2. Найти производную функции

y = xtgx в точке x =

3. Найти производную

′

x =1, если

4

y (x) в точке

x =

1 −t

π .

y

= ln tg t +

4

4. Найти y(40)(x), если

y(x)= x sin 2x .

5. Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

xy4 −ex+y3 = 2 .

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение arcsin 0.05 .

	7. Найти предел lim x ln (arctgx).
		x→0+0
	8.	Написать уравнение касательной к кривой y = ln(1 + x) в точке x = 0.
	9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции	y =	sin x	в точке
				x

x = π2 .

10. По графику функции

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

	11. Провести полное исследование и построить график функции y =	ex		.
		x −1

182

			Вариант 3
1.	Найти производную функций:
	y = ln(sin x +3 x ); б)	2	x ;				x −1	; г) y = cos (5 x ) arccos	( x ).
а)		y = 58tg		в) y =			x +1
					(		)
2.	Найти производную функции			y =		x2	−1 arctgx в точке x = 3 .
3.	Найти производную	′				x = 0 , если
		y (x) в точке
				π
			x = 2 sin t −t .
				y = cost +t
4.	Найти y(50 )(x), если	y(x)= (1+ x)cos x .
5.	Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

ctg (y2 + x)+3xy −5 y =1.

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение arctg0.02 .

		Найти предел lim 1+5x	)	1
	7.			x .
		x→+∞(
	8.	Написать уравнение касательной к кривой y = sin x в точке x = π .
					cos x	4
	9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y =				в точке
					x

x = π2 .

10. По графику функции

2

1

−3 − 2	−1	0		1			3
					2

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции

y =		x		2
			.
	x +1

183

		Вариант 4
1.	Найти производную функций:
а)	y = arctg (sin x +1); б)	y = 3ln2 (ln x ); в)	y = 1 + x2			+ 3 ctg2 ;
г) y = (1 + x )co s 2 x .
	tg x + 2
2.	Найти производную функции y = (arccos x)x+1					в точке x = 0 .
3.	Найти производную	′	x =1, если
		y (x) в точке
			2t
			1+t .
		x =
				t
		y = t2
4.	Найти y(60 )(x), если	y(x)= x ln x .
5.	Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

xy2 +sin(xy)= x .

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение arcctg0.98 .

1

7. Найти предел lim (x +1)sin x .

x→+∞

8. Написать уравнение касательной к кривой y = tgx в точке x = π6 .

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = tgxx в точке

x = π4 .

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = x4 −1 .

184

Вариант 5

1.

Найти производную функций:

1

y = ln(1+ ln2 x); б)

y =

ctg3x +

а)

y = 5

xarctg(1+3x); в)

x2

;

sin x + 4x

x

г)

y =

x

2

− 2 x arccos

.

x + 1

π

tgx

2. Найти производную функции y = (cos x)

в точке x =

4 .

3. Найти производную

′

x = 2 , если

y (x) в точке

t +

1

x = 3

t .

1

y = 1+ t

4. Найти

y(45)(x), если

y(x)= (2x +1)ln(x +1).

5. Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

xy2 + yx2 + ln(x + y)= 2 .

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение arctg1.05 .

	7.	Найти предел lim (ln x)e−x .
		x→+∞				π .
	8.	Написать уравнение касательной к кривой y = cos x в точке x =
				ctgx		4
	9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции	y =			в точке
				x

x = π4 .

10. По графику функции

2

1

							2	3
−3 − 2			−1		0	1

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = x3 −1 .

185

Вариант 6

1.

Найти производную функций:

а)

y = log2 (3x2 +

x ); б)

y =3sin(cosx);

в)

y =

tg2 x + x

;

1

ex

+ e−x

г)

+ 3 x

(4 x ).

y =

x

arcsin

2.

Найти производную функции

1

в точке x =1.

y = (arctgx)x

3.

Найти производную

′

x = 3 , если

y (x) в точке

t +1

x =

t −1 .

y =

1

1+t 2

4.

Найти y(55)(x), если

y(x)= xex +e−x .

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

y2 + x2 + tg(2x + y)= xy .

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

5 0.99 .

cos x

π

−arctg

1

7.

Найти предел

lim

.

2

π

x→π −0

2

− x

2

8.

Написать уравнение касательной к кривой y = ex

в точке x =1.

9.

Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = ln2 x в точке

x = e .

10. По графику функции

2

1

								3
−3 − 2			−1		0	1	2

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции

y= ln 1+ 1 .

x

186

Вариант 7

1.

Найти производную функций:

а)

y =3

ln(1+ x)+ x ; б)

y = 78tg(x2 +1); в) y

=

1+

cos x ;

x

2 −

sin x

г)

y =

x

3

arccos

.

2

2.

Найти производную функции y = xarctgx

в точке x =1.

3.

Найти производную

′

y (x) в точке x =1, если

x = lnt +t

.

y = t lnt

4.

Найти y(65)(x), если

y(x)

= (x +1)e−x .

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

2xy −3y3 + ln(x2 + y2 )= 0 .

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

3 7.9 .

1

7.

Найти предел

lim

1 x

ln 1+

.

x→+∞

x

1

8. Написать уравнение касательной к кривой y = arcsin x в точке x =

.

2

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = e x −1 в точке

x =1.

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

\

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 (x +x1)2 .

187

Вариант 8

1. Найти производную функций:

а)

y

= ln arcsin

1

−

x ); б)

y =8cos2 (3x+1)

;

в)

y

=

tg2x + x

;

ctg3x − x2

(

1

3

3

г)

y =

1

+ x

arcctg

.

x

+ 1

y = (1+ x2 )sin x

2. Найти производную функции

в точке

x = 0 .

3. Найти производную

′

x =

π

, если

y (x) в точке

2

2

)

x = arccos(t +t

y = 2

+

1

.

1

+t

y(45)(x), если

4. Найти

y(x)= x(ex +e−x ).

5. Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

2 − x +3yx2 + arctg (x − y)= 0 .

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

5 31.8 .

	x→1+0	(	(	))	arctgx
7.	Найти предел lim	1+sin		x −1	x−1 .
8.	Написать уравнение касательной к кривой y = arccos x в точке x = 0 .
9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y =					x2
							в точке

2x +1

x =1.

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции

y= ln 1+ 1 − x .

x

188

Вариант 9

1.

Найти производную функций:

cos3x + x

а)

y = arccos(ln x); б) y =7 x2 +1 ;

в) y =

;

sin(2cos x)

г) y = tg 3 x arctg (x 3 ).

1

2.

Найти производную функции

y = (arcsin x)

в точке x =1/ 2 .

x+1/ 2

3.

Найти производную

′

x = 2 , если

y (x) в точке

−t

t

x =

2

−2

.

Найти y(35)(x), если

y = t 3 + 2t

4.

y(x)= (x2 +1)sin(2x).

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

ctg (x + y) arccos(2x − y2 )=1.

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение ln(1.05).

	1
7.	Найти предел lim x	ln(sin x)	.
	x→0+0
8.	Написать уравнение касательной к кривой y =arctgx в точке x =1.
9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = 2 − x в

точке x =1.

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

	11. Провести полное исследование и построить график функции y =	3	x2	.
		1	+ x

189

Вариант 10

1.

Найти производную функций:

3

x +1 − x

а)

y = ln ln x

+1

; б)

y =3sin2 x ;

в)

y =

;

1

tgx + x2

sin

x

г)

y = arcsin (e x

)

cos

x .

2.

Найти производную функции

y = (1 − x)arctgx в точке x = −1.

3.

Найти производную

′

y (x) в точке x =1, если

3

−1+2 t .

x =

y

= sin(πt )

4.

Найти y(40)(x), если

y(x)= x cos(3x).

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

x − y

+cos xy = 2 .

x + y

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

e0.01 .

(arcctgx)x .

7.

Найти предел

lim

x→0+0

8.

Написать уравнение касательной к кривой y = arcctgx в точке x =1.

9.

Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = x +1 в точке

x +1

x =1.

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 x5 . 1+ x

190