Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

ПРИМЕРЫ

1). Последовательность {1,1,2,2,3,3,4,4,...,n,n,...} - неубывающая.

2). Последовательность		n	2		– возрастающая, так как	x +	> x .
	n2 +1					n 1	n

Действительно,		(n +1)2				n2		(n +1)2 (n2 +1)− n2 ((n +1)2 +1)
					−		=		=
		(n +1)2 +1				n2 +1		((n +1)2 +1)(n2 +1)
=	2n +1		> 0 .
	((n +1)2 +1)(n2 +1)

3). Последовательность 1 – убывающая, так как

⎩n

x	− x =	1		− 1 = −	1	< 0 .
n+1	n	n +1		n	n(n +1)

1.11. Признак сходимости монотонной последовательности

Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность {xn} ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом.

Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.

			(−1)	k		1		8		1		24
ПРИМЕР. {x	}= 1	+	n2		= 0,1	4	,	9	,1		,	25	,.....	,
n									16

lim xn =1, однако {xn} - немонотонная.

n→∞

Неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.

21

1.12. Число е как предел монотонной последовательности

		1 n
lim 1	+			= e
n→∞		n

Доказательство заключается в установлении следующего неравенства:

2 ≤ xn ≤ xn+1 < 3. Последовательность xn			1 n
	= 1	+			является возрастающей и ог-
			n

раниченной сверху. По признаку сходимости монотонной последовательности из этого делается вывод о существовании ее предела e ≈ 2,7 1828 1828 459045....

Эта формула допускает обобщение на произвольную бесконечно малую последовательность {αn} с ненулевыми элементами

1

lim (1+αn )αn = e .

n→∞

2.ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

2.1.Понятие функции. График функции. Способы задания функции

Если задано правило f , по которому каждому элементу x из множества

X поставлен в соответствие единственный элемент y из множества Y , то го-

ворят, что на множестве X задана функция y = f (x), x X , y Y . Множество

X называется областью определения функции (ООФ) и обозначается D( f ).

Множество изменения функции Y называется областью значений функции

(ОЗФ) и обозначается E ( f ).

В этом случае переменная величина x называется независимой перемен-

ной или аргументом, величина y - функцией (от x ).

Множество точек (x, f (x)) плоскости Oxy называется графиком функции y = f (x).

Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с помощью таблицы.

22

ПРИМЕРЫ
Явное задание функции:
1) y = 1 − x2 , {x}={x : x ≤1},{y}= {y : 0 ≤ y ≤1};
			1, x > 0,
2) y = sgn x - знак x ,
		sgn x = 0, x = 0,
			−1, x < 0,
{x} ={x : −∞ ≤ x ≤ ∞}, {y} ={−1,0,1}
3) f (x)=[x]- целая часть x (наибольшее целое,
не превосходящее х )
D( f )={x} ={x : −∞ ≤ x ≤∞}.
Неявное задание функции:						y = f1 (x) = +
Уравнение x2 + y2 −1 = 0 определяет две функции:							1 − x2	и
y = f2 (x) = − 1 − x2 .
2.2. Основные характеристики функций
Функция	f (x) с симметричной относительно нуля областью определения X
называется четной, если для любого					x X	выполняется		равенство
f (x)= f (−x).
Из определения четной функции следует, что ее график симметричен от-
носительно оси ординат. Например, функции y = x2 , y = x							являются четными,
их графики имеют вид:
		y	y = x2			y
						y = x
		y0
	–x0	0	x0	x		0	x
Функция	f (x) с областью определения X называется нечетной, если для лю-
бого x X	выполняется равенство			f (−x) = − f (x).
					23

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции y = x3 и y = 2x являются нечетными, их графики имеют вид:

	y				y
			y = x3		y0		y = 2x
				x	–x0			x
		0				0 x0
						–y0
Функция y = x2 + x не является ни					четной,		ни нечетной, так как
(−x)2 +(−x)= x2 − x ≠ ±y .

Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x X выполнены условия: 1) x +T X , x −T X .

2) f (x +T )= f (x). Число T называется периодом функции y = f (x).

Функция f (x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве {x}, если найдется такое действительное число М (число m), что для всех x {x} выполняется неравенство f (x)≤ M ( f (x)≥ m ).

Например, y = x2 ограничена снизу на всей области определения x .

Функция f (x) называется ограниченной на множестве {x}, если найдутся такие действительные числа m и М, что для всех x {x} выполняются неравенства m ≤ f (x)≤ M .

Например, функция y = sin (x) ограничена на всей числовой оси; y = x3 ог-

раничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения x .

Пусть y = f (x) определена на множестве D( f ) и множество G D ( f ).

Если для любых x1, x2 G , удовлетворяющих условию x1 < x2 , выполня-

ются неравенства f (x1 )< f (x2 ), f (x1 )≤ f (x2 ), f (x1 )> f (x2 ), f (x1 )≥ f (x2 ),

функция f (x) называется соответственно возрастающей, неубывающей, убы-

вающей и невозрастающей на G.

Все четыре типа в совокупности называются монотонными на G, а возрастающие и убывающие - строго монотонными на G.

24

2.3. Обратная функция. Сложная функция

Функция y = f (x), x X , y Y обратима, если ка-

ждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого y Y существует только одно значение

x X такое, что y = f (x).

Если функция x = g (y) осуществляет отображение

y	y = f (x)
y

x x

множества Y в множество X , то y = f −1 (x), которая получается, если в функции x = g (y) аргумент обозначить через x , а зависимую переменную через y , называется обратной к f (x).

	Множество значений обратной функции y = f −1 (x)	y
		y = f −1(x)
	совпадает с областью определения функции y = f (x),
	а область определения обратной функции y = f −1 (x)	x
	совпадает с множеством значений функции y = f (x).
	График обратной функции симметричен графику ис-	−1(x)
	ходной функции относительно прямой y = x .
	Если y = f (x) и z = g (y), причем область определе-	x
	ния g содержит область значений f , то z = g ( f (x))
	называется сложной функцией.

2.4.Основные элементарные функции

1.Степенные функции

1.1. y = xn , n N .

25

1.2. y = x1n , x ≠ 0 .

1.3. y = n x .

1.4. y = xα , α .

2. Трансцендентные функции

2.1. Показательная	2.2. Логарифмическая
y = ax , a > 0, a ≠1.

26

3. Тригонометрические функции

3.1. y = sin x

3.2. y = cos x

3.3. y = tgx, x ≠ π2 + nπ .

3.4. y = ctgx, x ≠ kπ .

4. Обратные тригонометрические функции

4.1. y = arcsin x, | x |≤1. arcsin(−x) = −arcsin x .

4.2. y = arccos x, | x |≤1. arccos(−x) =π −arccos x .

27

4.3. y = arctg x ,	4.4. y = arcctg x ,
arctg(−x) = −arctg x .	arcctg(−x) =π −arcctg x .

arcsin x + arccos x =			π	, arctg x + arcctg x =		π , arctg x =		π	−arctg		1 .
			2			2		2			x
		5. Гиперболические функции
5.1. Гиперболический синус					5.2. Гиперболический косинус
y = sh x =	ex −e−x					y = ch x =	ex + e−x
		.								.
	2							2

5.3. Гиперболический тангенс			5.4. Гиперболический котангенс
x	−x	= sh x .	ex + e−x	ch x
y = th x = ex	−e−x		y = cth x = ex −e−x	= sh x .
e	+ e	ch x

ch2 x −sh2 x =1, th x cth x =1,
sh(x + y) = sh xch y +sh y ch x ,	ch(x + y) = ch xch y +sh xsh y .

3.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

3.1.Предел функции в точке

Определение по Коши

Число A называется пределом функции y = f (x) в точке a , если для лю-

бого сколь угодно малого положительного числа ε существует положительное число δ , зависящее от ε , такое, что для любого x , входящего в область опре-

28

деления функции и отличного от a , из условия 0 < x − a <δ (ε ) следует f (x)− A <ε .

lim f (x)= A ε > 0 δ (ε )> 0 x (0 < x − a <δ (ε ) f (x)− A <ε ).

x→a

Неравенства порождают окрестности точек. Таким образом, для любой ε -окрестности точки A можно найти δ -окрестность точки a , такую, что все значения функции для x из δ -окрестности точки a попадут в ε -окрестность точки A .

Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка x расположена к точке a , тем ближе значение f (x) к числу A .

Для функции, график которой представлен на рисунке, если

f (x1 )= A −ε

и

f (x2 )= A +ε , в качестве δ

следует взять

наименьшее из значений

х1 − а

и

х2 − а

.

Определение по Гейне

y = f (x)

в точке a

Число

A

называется пределом функции

, если для любой

сходящейся к числу a

последовательности

lim f (x)=

A

x→a

{xn}

значений аргумента x (limn→∞ xn = a), входящих в область определения и от-

личных от a , соответствующая последовательность

{

n

}

f (x

)

значений функции

y = f (x) сходится к числу A , т.е. выполняется равенство lim f (xn )= A .

n→∞

Определения Гейне и Коши эквивалентны.

3.2. Предел функции в бесконечности

Число A называется пределом f (x) при x → +∞ ( x → −∞), если

ε > 0 M (ε ) x ≥ M : f (x)− A <ε ( ε > 0 M (ε ) x ≤ M : f (x)− A <ε ).

29

ПРИМЕР. Пользуясь определением предела функции по Коши, докажите, что

lim x2 =16 .

x→4

Чтобы доказать существование предела f (x) при x → a , следует для любого ε найти формулу для нахождения δ (ε).

По определению из неравенства

x − 4

<δ должно следовать

f (x)−16

<ε .

Решим неравенство

x2 −16

<ε :

−ε < x2 −16 <ε , 16 −ε < x2 <16 +ε,

16 −ε < x < 16 +ε . Так как нас интересуют значения x , близкие к 4, то

	x		= x , и	16 −ε < x < 16 +ε ,	16 −ε −4 < x −4 < 16 +ε −4. Из двух расстоя-
ний, 4 − 16 −ε и 16 +ε −4, нужно выбрать наименьшее. Покажем, что
4 − 16 −ε > 16 +ε −4. Действительно, 8 >							16 +ε +	16 −ε и получаем оче-
видное неравенство 64 >32 +2					256 −ε2 . Таким образом,
				δ (ε ) = 16 +ε − 4 .
			Так как	при ε < 9 для δ (ε ) имеет место оценка
				δ (ε )= 16 +ε −4 =			ε	> ε	,
							16 +ε +4
то можно положить δ (ε )= ε .								9
				9					найти δ (ε), что и оз-
Итак, построена формула, позволяющая по заданному ε

начает, что lim x2 =16 .

x→4

ПРИМЕР. Докажем, что предел lim sin x не существует.

x→+∞

В определении Гейне предполагается, что {xn} – любая последовательность значений аргумента. Выберем две разных бесконечно больших последователь-

ности: xn

= πn и x′n = π/2 + 2πn, где n N, для которых lim x

′

= ∞ и lim x = ∞.

= lim sin (πn)= lim 0 = 0 ,

n→∞ n

n→∞ n

Поскольку lim sin xn

а

n→∞

n→∞

n→∞

lim sin xn′

= lim sin(π / 2 +

2π n) = lim 1 = 1 , то

lim sin x не существует.

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

3.3. Односторонние пределы

Число A называется правым пределом функции y = f (x) в точке a :

lim

f (x ) = A ε > 0 δ (ε )> 0 x (0 < x − a <δ (ε )

f (х)− A

<ε ).

x → a + 0

Число A называется левым пределом функции y = f (x) в точке a :

lim

f

(x ) = A ε > 0 δ (ε)> 0 x (0 < a − x <δ (ε)

f (x)− A

<ε ).

x → a − 0

30