Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

РЕШЕНИЕ:

lim

xsin 2x

= lim

xsin 2x

= lim

xsin 2x

=

1+cos (x −3π )

x→0

x→0

1−cos x

x→0

2sin

2 x

4

2

x 2x

= lim

= 4.

x

2

x→0

2

2

Вычислите предел lim cos 3x −cos x .

РЕШЕНИЕ:

x→π

tg2 2x

x = t + π

lim cos 3x −cos x =

=

x→π

tg2 2x

t →0

cos

3t + 3π

−cos

t

+ π

)

36

= lim

(

)

(

=

1

2

(2t

+ 2π)

x→π

tg

= lim

1−cos3t

)

+

(

cost −1

−cos3t + cost = lim (

) =

t→0

tg2 2t

t→0

tg2 2t

2sin

2 3t

−

2sin

2

t

2

9t

2

−2

t2

2

2

4

4

= lim

= lim

=1.

tg2 2t

t→0

t→0

4t2

Вычислите предел lim

23x

−35x

.

РЕШЕНИЕ:

x→0 sin 7x −2x

2

3x

−1

5 x

−1

3ln 2 −5ln 3

3x

5 x

− 3

37

2

−

= lim (

)

(

) =

5

lim

3

sin 7x −2x

sin 7x −2x

x→0

x→0

= lim

3x ln 2 −5x ln 3

=

3ln 2 −5ln 3

5

x→0

7x −2x

sin

x2

Вычислите предел

lim

π

.

РЕШЕНИЕ:

x→π

2 sin x+1 −

2

38

2

x2

(t +π )2

sin

x

= t +π

sin

ln 2

lim

π

=

t = x −π

= lim

π

=

x→π

2

sin x+1 − 2

t → 0

t→

0 2 −sin t +1 − 2

101

sin

+2t + t

2

2t + t

2

π

−sin

= lim

π

= lim

π

=

(

−sin x +1 −1)2 ln 2

sin t

t→0

t→0

−

2 ln

2

2

2t +

t2

2

= lim

π

=

t ln 2

ln 2

t→0

Вычислите предел lim

ex −e

.

(

)

x→1 sin

x2 −1

РЕШЕНИЕ:

x = t +1

e

39

lim

ex −e

=

= lim

et+1 −e

=

2

2

sin

x

−1

t →0

x→1

x→1

sin((t +1)

−1)

2

(

)

e

et −1

et

e

= lim

(

)

= lim

=

.

(

)

t→0

t

→0 t(t + 2)

2

sin t2 + 2t

2

2

x

1

sin2 x

1

+ x

2

x

Вычислите предел lim

.

x→0

+ x 5

1

РЕШЕНИЕ:

1

1

1+ x2 2x

1+ x2 2x

sin2 x

sin2 x

lim

2

x

= lim 1+

2

=

5

5

x −1

x→0

1

+ x

x→0

1

+ x

2

(2

x

x

1

x

−5

sin2 x

)

= lim 1

+

=

40

1

1+ x

5

x→0

x

2

1+x2 5

x2 (2x −5x )

1

2

(2

x

x

x

−5

x2

(

2x −5x

)

1+x2 5x

sin2 x

)

= lim 1

+

=

2

x

x→0

5

1+ x

x2(2x−5x )

(2x−5x )

1

lim

x2

1

= lim e 1+x2 5x

sin2 x

1+x2 5x

sin2 x

=

= ex→0

x→0

(2x−5x )

lim

lim

x(ln 2−ln5)

= e0 = 1.

= ex→01+x2 5x = ex→0 1+x2 5x

2x −1

ln(3+2 x)

1

ln(2−x)

41

Вычислите предел lim

.

x→1

x

5

102

РЕШЕНИЕ:

2x −1			ln(3+2x)						x = t +1
			ln(2−x)			∞
lim					= 1			=		=
x→1 x									t →0

ln(3+2(t+1))

(

)

(

(

))

2

t

+1

−1

ln

2− t+1

=

= lim

t→0

t +1

1+

2t

ln(2t+5)

t

ln(2t+5)

ln(1−t)

ln(1−t)

= lim

= lim 1

+

=

t→0

t

+1

t→0

t +1

t+1 t

ln(2t+5)

t

ln(2t+5)

t

t

t+1

ln(1−t)

t+1

ln(1−t)

= lim 1+

= lim e

=

t→0

t +1

t→0

2t

ln 5

t

(

)

+ln 1+

ln

2t+5

t

( )

5

lim

lim

ln(1−t)

= e t→0 t+1

= e t→0 t

+1

−t

=

= e −ln5 = 15 .

Вычислите предел lim e2 x −e x+1 . x→1 x −1

РЕШЕНИЕ:

42

2 x

x+1

x = t

+1

2+2t

−e

2 2+t

4e

4

e

−e

=

e

=

lim

= lim

x→1

x −1

t →0

t→0

t

e

2

(

e

2t

−1

2+t

2

2+t

e

2t

4

)

= 4e .

= lim

= lim

t→0

t

t→0

t

3. ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

№		Задание		Ответ
		Найдите область определения и множество
43		значений функции f (x)=	4x − x2 .
		ООФ находим из условия 4x − x2 ≥ 0 ,		x [0, 4],
		x(x − 4)≤ 0 x [0, 4].
				y [0, 2]

103

y ≥ 0,

ОЗФ находим из условий: x2 − 4x + y2 = 0.

Допустимые значения параметра y

удовлетворяют неравенствам:

− y

≥ 0,

y

≤ 2,

D ≥ 0,

4

2

y [0, 2].

y

y ≥ 0

≥ 0

y ≥ 0

Изобразите график функции

x

−1,

если − 2 ≤ x < −1;

f (x) =

1 − x2 ,

если

−1 ≤ x

<1;

x

−1,

если

1 ≤ x

< 2.

2

y

РЕШЕНИЕ:

44

1

На полуинтервале [-1, 1) функция

x

имеет вид смещенной параболы,

-2 -1

0

1 2

ветви которой направлены вниз.

-1

Вне этого полуинтервала

f (x)=

x

−1,

т.е. y =

x

- опущенный на 1 вниз

стандартный график.

Изобразите график функции

1, x > 0,

45

y = sgn x - знак x , sgn x = 0, x = 0,

−1, x < 0,

{x}={x : −∞ ≤ x ≤∞}, {y}={−1,0,1}

Функция y =[x]- целая часть x

(наи-большее целое, не превосходящее x )

46D ( f )={x} ={x : −∞ ≤ x ≤ ∞},

E ( f )={y} ={y :целыечисла};

эта функция может быть задана в виде

104

...

1,

x [1;2),

[x]=

x [0;1), .

0,

−1 x [−1;0),

...

Найдите g (x), если

f (x)=

1

,

2x −3

g (f (x))= x . Вычислите g (

5).

1

+ 3 ;

1

1

1

3

g (x)=

2x

47

f (x)=

2

2x −

3 =

x =

+

2 ;

2x −3

f (x)

2 f (x)

g (5)=1,6 .

g (f (x))

1

3

1

3

=

+ 2

,

значит,

g (x)=

+

2

;

2 f (x)

2x

g (5)=1,6 .

Вычислите односторонние пределы функции

y =

x −1

в точке x = 1.

x −1

В точке x = 1 функция не определена,

потому что знаменатель равен нулю. По

определению модуля

x −1

=

x −1,

если x ≥1;

−(x −1),

если x <1.

lim 1 = ±1

48

Левый предел:

x −1

(

)

x → 1 ± 0

lim

=

= lim −

x −1

= − lim 1 = −1.

x −1

x→1−0

x→1−0

x −1

x→1−0

Правый предел:

lim =

x −1

= lim

x −1

= lim 1 =1.

x −1

x→1+0

x→1+0

x −1

x→1+0

Односторонние пределы конечны, но не равны

друг другу, функция имеет в точке x = 1

разрыв 1-го рода.

Установите, какого рода разрыв в точке х = 0

имеет функция

f (x)= tgx .

РЕШЕНИЕ:

x

В теории пределов был доказан 1-й

105

49

замечательный предел lim sin x =1,

x→0

x

следствием которого является предел

lim tgx =1. В самой точке х0 = 0 функция не

точка

x→0

x

устранимого

определена. Следова-тельно, выполняется

разрыва

определение точки устра-нимого разрыва.

1

Вычислите односторонние пределы lim 7

2−x

.

x→2±0

РЕШЕНИЕ:

1

1

−lim

1

= 7−∞ = 0 ,

1

0,

50

lim 7 2−x

= lim7 −α

= 7

α

lim 72−x =

α→0

x→2+0

α→0

x→2±0

∞.

1

1

lim

1

= 7∞ = ∞ .

lim 7 2−x

= lim 7α

= 7α→0

α

x→2

−0

α→0

Функция имеет в точке x =2

разрыв 2-го рода.

Докажите (найдите δ (ε )), что функция f (x)

непрерывна в точке x , если

f (x)= 5x2 +5,

x0 = 8.

0

РЕШЕНИЕ:

По определению непрерывности требуется

доказать, что lim f (x)= 5 82 +5 = 325.

x→8

По определению предела требуется доказать,

что

(ε)> 0 x :

ε > 0 δ

< ε ).

51

(0 <

x −a

< δ (ε)) (

f (x)− А

1). Возьмем произвольное ε > 0.

2). Так как

f (x)− А

=

5x2

+ 5 − 325

=

5x2 − 320

=

5

x2 −64

, то из

5

x2 −64

<ε

получим

ε

δ (ε)= min 1,

.

45

3). Тогда если

( 0 <

x −a

< δ (ε )), то

f (x)− A

= 5

x −8

x +8

< 5 δ (ε ) 9 <ε, ч.т.д.

Определите точки разрыва функции

52

x

2

,

если 0 ≤ x ≤1;

и исследовать

разрыв 1-го рода

f (x) =

2x +3,

если 1 < x ≤ 2

106

характер разрыва. РЕШЕНИЕ:

Функция имеет различный вид на отрезке [0, 1] и полуинтервале (1, 2], поэтому точка х = 1 может быть точкой разрыва.

Левый предел:		lim	f (x) = lim x2 =12 =1.
		x→x0 −0	x→x0 −0
Правый			предел:
lim f (x) =	lim (2x +3) = 2 1+ 3 = 5.
x→x0 +0	x→x0	+0

Односторонние пределы существуют и не равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода.

		Определите точки разрыва функции
		1
		f (x)= 2 x и исследуйте их характер.
		РЕШЕНИЕ:
		Функция не определена, следовательно,
		разрывна в точке х = 0.
		Вычислим левый предел, учитывая, что
		показательная функция y = ax, a > 1,
		стремится к нулю при х → - ∞. Кроме того,
		функция
		y = 1/x является бесконечно большой,	х = 0 – точка
	53	потому что х→0 и х < 0. Итак, lim 21 x = 0.
		x→0−0	разрыва 2-го рода.
		Вычислим правый предел, учитывая, что
		показательная функция y = ax, где a > 1,
		стремится к бесконечности при х → +∞.
		Кроме того, функция является бесконечно
		большой, потому что х→0 и х > 0. Итак,
		lim 21 x = +∞.
		x→0+0
		Поскольку правый предел бесконечен по
		определению, то точка х = 0 является
		точкой разрыва 2-го рода.
		Установите, какого рода разрыв в точке х =
	54	0 имеет функция	устранимый разрыв
		f (x)= arctgx
		sin x

107

	РЕШЕНИЕ:
	lim	arctgx = lim					x	=1.
							x
	x→0±0	sin x				x→0±0
	Односторонние					пределы			существуют	и
	равны друг другу. Следовательно, точка х =
	1 является точкой устранимого разрыва,
	устранить который можно, доопределив
	функцию:			f (0) =1.
	Имеет ли корень уравнение
	sin x − x +1 = 0 ?
	РЕШЕНИЕ:
	Рассмотрим функцию
	f (x)=sin x − x +1, которая непрерывна на
	всей числовой оси, поскольку является
55	суммой непрерывных на числовой оси										да
	функций y = sin x и y = −x +1. Легко
	установить, что функция меняет знак,
	поскольку			f (0)=1, а			f (2π )= −2π +1 < 0 .
	Следовательно, функция равняется нулю
	внутри отрезка [0, 2π], то есть имеется по
	крайней мере один корень исходного
	уравнения.
	Исследуйте поведение функции
	f (x)=		sin x		в точке x			= 0 .
			x				0
	РЕШЕНИЕ: В точке x0							= 0 функция не
	определена,
56	lim sin x = lim sin x =1								x = 0
	x→+0			x		x→−0 x			0
	является точкой устранимого разрыва.
	Чтобы функция стала непрерывной в
	точке x0 = 0 , положим							f (0)= lim f (x)=1.
									x→0

108

Принимает

ли

функция

f (x) =

x3

−sinπx +3

значение

2 1

внутри

4

3

отрезка [-2, 2]?

РЕШЕНИЕ:

Функция является непрерывной на [-2,

57

2]. Кроме того, на концах отрезка функция

да

принимает числовые значения f (-2)=1,

f (2) = 5.

Так как 1 < 2 1

< 5, то найдется точка c (-

3

= 2 1

2, 2) такая, что

f (c)

3

Найдите

функцию,

обратную

функции

f (x)= (x +1)2

при x ≤ −2 .

РЕШЕНИЕ:

y = (x +1)2 , x (−∞, −2], y [1, ∞).

При x ≤ −2 функция y = (x +1)2 монотонно

убывает, значит, существует обратная.

f −1 (x) = − x −1

58

Выразим x через y , учитывая, что y > 0 .

x [1, ∞)

x

+1

=

y

=

y

Получим:

−x −1

,

≤ −2

x

x ≤ −2

x = − y −1. Поменяем местами x и y .

f −1 (x) = − x −1, x [1, ∞),

f −1 (x) (−∞, −2].

109

Область определения и область значений исходной и обратной функции меняются местами. Графики функций симметричны относительно прямой y = x .

110