Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

7. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Вычислите предел

lim ln cos 2x .

РЕШЕНИЕ:

x→0

sin 2x

32

1

(− sin 2x) 2

ln cos 2x

− sin 2x

lim

= lim

cos 2x

= lim

= 0 .

sin 2x

cos 2x 2

2

2x

x→0

x→0

x→0 cos

Вычислите предел функции

lim

x3 −4x2 −3x +18

.

x3 −5x2 +3x +9

РЕШЕНИЕ:

x→3

x3 − 4x2 −3x +18

27 −8 9 −9 +18 =

0

lim

= lim

=

33

x→3 x

3

−5x

2

+3x

+9

x→3

27

−5 9 +9 + 9

0

= lim

3x2 −8x −3

=

27 − 24 −3

=

0

= lim

6x −8

=

3x

2

−10x + 3

27 −30 + 3

6x

−10

x→3

0

x→3

=

18 −8

= 10

=

5 .

18 −10

8

4

Вычислите предел функции

lim

x +13 −2

x +1

.

3

x2 −9

РЕШЕНИЕ:

x→3

1

2

−

x +13 −2 x +1

0

lim

=

= lim

2

x +13

2

x +1

=

34

3 x2

−9

x→3

0

x→3

1

(x

2

−9)

−2 / 3

2x

2

3

1

1

2

−

(x

−9)3

2

16

4

= lim

= 0.

2 3

x→3

3

sin

x2

Вычислите предел функции

lim

π

.

x→π

2 sin x+1 −

2

35

РЕШЕНИЕ:

sin

x2

0

lim

π

=

=

2

sin x

0

x→π

+1

− 2

121

cos

x2

1

2x

2

.

= lim

π

π

=

1

x→π

2 sin x+1 ln 2

cos x

ln 2

2

sin x +

1

Вычислите предел функции

lim

23x −35 x

.

sin 7x − 2x

РЕШЕНИЕ:

x→0

36

lim

23x

−35 x

=

0

= lim 23x ln 2 3 −35 x ln 3 5 =

x→0 sin 7x − 2x

0

x→0

7 cos 7x −2

=

3 ln 2 −5 ln 3

.

5

Вычислите предел функции

lim

ex −e

.

(

x2

)

x→1 sin

−1

37

РЕШЕНИЕ:

ex

e

lim

ex − e

=

0

= lim

=

.

sin (x

2

−

1)

cos(x

2

−1) 2x

2

x→1

0

x→1

Вычислите предел lim

ln2 x

.

x3

РЕШЕНИЕ:

x→+∞

38

1

1

ln 2 x =

2 ln x

2 ln x

2

2 9

lim

lim

x

=

lim

=

lim

x

=

= 0.

3x 2

3x 3

lim

x 3

x→+∞

x 3

x→+∞

x→+∞

x→+∞

9x 2

x→+∞

(Здесь правило Лопиталя применялось дважды).

Раскройте неопределенность типа 0 ∞

lim sin(x −1) tg

πx

= lim

sin(x −1)

= lim

cos(x −1)

=

2

π 1

39

x→1

x→1

ctg

πx

x→1

−

2

2

sin

2 πx

2

2

lim cos(x −1) sin2 πx

2

= −

= −

.

π x→1

2

π

Вычислите предел lim (x − ln x) .

x→+∞

РЕШЕНИЕ:

Имеем неопределенность типа ∞ −∞.

40

ln x

lim (x −ln x) = lim x 1 −

.

x

x→+∞

x

→+∞

ln x

1

1

Исследуем

lim

= lim

x

= lim

= 0

.

x

x→+∞

x→+∞

1

x→+∞ x

122

Таким образом, исходный предел xlim→+∞(x −ln x) = +∞.

1

1

Вычислите предел: lim

−

.

ex −1

РЕШЕНИЕ:

x→0

x

Предел является неопределенностью типа ∞ −∞.

Преобразуем:

41

1

1

1

x

e x −1 − x

.

lim

−

= lim

1 −

= lim

x

x(e x −1)

x→0 x

ex −1

x→0

e x −1

x→0

Дважды применяем правило Лопиталя.

lim

e x −1 − x

= lim

e x

−1

= lim

e x

=

1

.

x(e x −1)

e x

+ e x + x e x

2

x→0

x→0 e x −1 + x e x

x→0

Вычислите lim x

1

.

x

x→+∞

РЕШЕНИЕ:

Имеем неопределенность типа ∞0 .

1

42

x x = y (x); ln y (x)= 1x ln x;

lim ln x =

1

lim ln y (x )=

lim

x

= 0 .

1

x → +∞

x → +∞

x

x → +∞

1

= e0 =1.

Тогда lim x x

x→+∞

Вычислите предел lim (tgx)2 cos x .

x→π

−0

2

РЕШЕНИЕ:

Это неопределенность вида ∞0 . Положим (tgx)2 cos x = y ; логарифмируем:

ln y = 2cos x ln tgx = 2 ln tgx

1

43

cos x

Применяя правило Лопиталя, получим:

1

1

lim ln y = 2

lim

tgx

cos2 x

= 2

lim cos x = 0 .

1

π

π

sin x

π

x→2 −0

x→2

−0

x→2 −0

cos2

x

Таким образом,

lim y = e0 =1.

x→π −0

2

123

			8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
	Представьте функцию					f (x)= ax (a > 0,a ≠1) в виде
	могочлена третьей степени относительно х.
	РЕШЕНИЕ:
	f (x)= ax ;					f (0)=1;
	f ′(x)= ax ln a;					f ′(0)= ln a ;
	f ′′(x)= ax ln2 a;					f ′′(0)= ln2 a ;
44	f ′′′(x)= ax ln3 a;					f ′′′(0)= ln3 a ;
	f (4) (x)= ax ln4 a;					f (4) (θх) = aθx ln4 a .
	По формуле Маклорена получаем:
	ax =1+ x ln a + ln2 a x2 + ln3 a x3 + R ,
			2!			3!	3
	где R	=	aθx ln4 a	4	; 0	<θ <1.
				x
	3		4!

Выясните происхождение приближенных равенств а) 1+ x ≈1+ 12 x − 81 x2 , x <1;

б) 3 1+ x ≈1+ 13 x − 19 x2 , x <1.

РЕШЕНИЕ:

Равенства получаются из разложения функции (1+ x)α по формуле Маклорена с точностью до

45	слагаемых второго порядка:
	(1 + x)α =1 +		α x +	α(α −1) x2	+..
			1!	2!
	.. + α(α −1) ... (α − (n −1)) xn +
			n!
	+	α(α −1) ... (α − n)(1 +θx)α−n−1				n+1	,
			(n +1)!		x
	(1 + x)α =1 +		α x +	α(α −1) x2	+ o(x2 ).
			1!	2!

124

Многочлен 2x3 −3x2

+5x +1 разложите по степеням

(x +1) .

РЕШЕНИЕ:

f (x) = 2x3 −3x2 +5x +1; x0 = −1 ; f (−1) = −9 .

Найдем коэффициенты многочлена Тейлора:

f

′

= 6x

2

− 6x +

5 → f

′

=17;

(x)

(−1)

f

′′

=12x

− 6

→ f

′′

= −18;

(x)

(−1)

46

f

′′′

→ f

′′′

=12;

(x) =12

(−1)

f IV (x) = 0

f (n) (x) = 0;

f (x) = −9 +

17 (x +1) −18

(x +1)2 + 12 (x +1)3 .

1!

2!

3!

Учитывая, что 1!=1;

2!=1 2 ; 3!=1 2 3, получим

2x3 −3x2 +5x +1 = −9 +17(x +1) −9(x +1)2 +2(x +1)3 .

Запишите формулу Маклорена n–го порядка для

функции f (x) = (1 + x)α .

РЕШЕНИЕ:

f (x) = (1 + x)α ; f (0) =1;

x > −1.

f

′

α−1

;

f

′

(x) =α(1 + x)

(0) =α;

f

′′

=α(α −1)(1 + x)

α

−2

;

f

′′

=α(α -1);

(x)

(0)

f

′′′

=α(α −1)(α − 2)(1 + x)

α−3

;

f

′′′

α(α −1)(α − 2);

(x)

(0) =

47

f (n) (x) =α(α −1) ... (α − n +1)(1 + x)α−n ;

f (n) (0) =α (α −1)(α − 2) ... (α −(n −1)),

тогда

(1 + x)α =1 + α x + α(α −1) x2

+..

1!

2!

.. + α(α −1) ... (α −(n −1)) xn +

n!

+ α(α −1) ... (α − n)(1 +θx)α−n−1

xn+1.

(n +1)!

Используя формулы Маклорена для элементарных

функций, напишите первые n членов формулы

48

Маклорена для функции y = ln(4 + x2 ).

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем исходную функцию:

125

ln 4(1 +					x2					= ln 4				+ ln(1+								x2		) =
								)
					4																	4
											2									3								4
	x		2						2									2							x		2			1
= ln 4 +				−			x					1		+			x					1		−							+.....
																									4					4
		4						4				2			4							3
				n−1				x2				n		1	.
....... +(−1)														n
										4
Окончательно:																																n−1 x2n
		2										x2					x 4							x6
ln(4 + x			)	= ln 4 +										−							+					−... + (−1)								.
												4				42 2							43 3										4n n

Вычислите число e с точностью до 0,001. РЕШЕНИЕ:

Запишем формулу Маклорена для ex:

e x =1 + x +

x2

+

x3

+... +

xn

+

xn+1

eθx .

2!

n!

(n +1)!

При x =1:

3!

49

1

1

1

1

1

eθ

;0 <θ <1.

2, 718

e =1 +1 + 2

+ 6 +

24 + 120 +... + n! +

(n +1)!

Наименьшее значение n , удовлетворяющее условию

eθ

< 0,001

, равно 6,

(n +

1)!

тогда e =1+1+ 12 + 16 + 241 +1201 = 2,718.

Вычислите с точностью до 10 – 3 приближенное значение 3 29 .

РЕШЕНИЕ:

Представим заданный корень так:

2

1

3 29 = 3

27 + 2

+

3

. Воспользуемся формулой

= 3 1

27

Маклорена:

α(α −1)

α(α −1)(α −n +1)

α

α

2

n

50

(1+ x)

=1 + 1!

x +

2!

x

+

... +

n!

x

+

α −n−1

3, 072

+ α(α −1) ... (α −n)(1+θx)

xn+1

,

(n +1)!

где последнее слагаемое представляет собой

погрешность вычисления.

Полагая

x

=

2

,

α =

1

,

получим

27

3

2 2

2 2 2 5 +.... + Rn ) .

3 29 = 3(1 + 2 −

+

81

2

3

81

81

Оценивая величины последовательных ошибок в

126

вычислении 3 Rn , находим:

	3		R			<		3 2 2		< 0,002;
			1					812
	3		R2				<		3 2 2 2 5		< 0,0003.
								813

Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку R2, т.е.

3 29 ≈ 3(1 + 0,024 − 0,0006) = 3,072 .

Используя разложение по формуле Маклорена,

вычислите предел lim1 −cos3 x .

x→0 5x2 +7x3

РЕШЕНИЕ:

1−cos3 x = (1−cos x)(1+cos x + cos2 x);

C точностью до бесконечно малых о(x2 ) получаем:

lim	1 −cos3 x	= lim	3(1 −cos x)	.
	5x2 +7x3
x→0		x→0	5x2

Заменим cos x его разложением по формуле Маклорена:

51

x2

2

0,3

cos x =1 −

2!

+ о(x

), тогда

lim

1 −cos3 x = lim

3(1 −cos x)

=

x→0

5x2 +7x3

x

→0

5x2

= 3 lim

x2

+ o(x

2

)

3 lim

x2

2

=

2

,

x2

x2

5 x→0

5 x→0

Поскольку

x2

+o (x2 ) ~

x2

при x →0 .

2

2

Окончательно lim

1 −cos3 x

=

3

.

5x2 +7x3

10

x→0

127

5. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

ДЗ № 1. Пределы числовых последовательностей

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

5.214

Написать первые пять членов

2,0,6,0,10,…

1

последовательности

xn = n(1 −(−1)n )

5.216

Написать первые пять членов

2π

7π

8π

13π

14π

2

последовательности

3

,

3

, 3

, 3

,

3

,…

x

= (−1)n arcsin

3

+πn

n

2

5.217

Написать формулу общего члена

(−1)

n

3

1 1 1 1

xn =

последовательности − 2 ,

3 ,− 4 , 5 ,...

n +1

5.222

Написать формулу общего члена

x

=sin (n −1)π

4

последовательности

n

4

2

2

2

2

0,

,1,

,0, −

,−1,−

,0,...

2

2

2

2

5.223

Найти наибольший (наименьший)

Наибольший член x3 = 4

5

член ограниченной сверху (снизу)

последовательности (xn )n N :

x

= 6n − n2 −5

n

5.227

Найти наибольший (наименьший)

Наименьший член x8 = 24

член ограниченной сверху (снизу)

6

последовательности (xn )n N :

x

= 2n +

512

n

n2

5.253

Найти все предельные точки

π / 6 , −π / 6

7

последовательности

x

= arcsin

(−1)n

n

2

128

5.229

Используя логическую символику,

а) A > 0

n

(

xn

≤ A);

записать следующие высказывания,

(

A > 0 n

xn

> A);

а также их отрицания:

б)

N

(xn < xn+1 );

а) последовательность ограничена;

б) последовательность монотонно

n

(xn ≥ xn+1 );

возрастает;

в) ε > 0

N

в) число а есть предел

N

(n > N

xn − a

<ε );

9

последовательности;

ε > 0

N

г) последовательность (xn ) n N

n

(n > N

xn − a

≥ε );

г) E > 0

N

бесконечно большая;

n

(n > N

xn

> E );

д) число а есть предельная точка

E > 0

N

последовательности.

n

(n > N

xn

≤ E ) ;

д) ε > 0

n

(

xn − a

<ε ); ε > 0

n

(

xn − a

≤ε )

5.230а

Найти a = lim x

и определить

а = 1/3, N = 3

n→∞

n

номер N (ε ) такой, что xn − a <ε

10при всех n > N (ε ), если: xn = 0,33...,ε = 0,001.

							n
	5.235	Вычислить предел																			0
11		lim	(n + 2)3 −(n − 2)3
						95n3				+39n
		n→∞
12	5.237	Вычислить предел lim												3		n	4	+3n +1			+∞
																		n −1
												n→∞
13	5.238	Вычислить предел limn→∞(														n + 2 − n )					0
14	5.240	Вычислить предел lim													2n +3n						-1
												n→∞			2n −3n
	5.241	Вычислить предел																			½
15		lim		1			+	2		+... +	n −1
													2
					2			n	2			n
		n→∞	n
16	5.243	Вычислить предел lim													3 n2 sin (n2 )						0
																		n −1
												n→∞

129

5.245

Вычислить предел

1/6

17

lim

1

−

1

+... +(−1)

n−1

1

25

5

n

n→∞

5

Вычислить предел

3

18

lim

(3n −1)!+(3n +1)!

(3n)!(n −1)

n→∞

Вычислить предел

∞

19

lim

(n + 4)!−(n + 2)!

(n +3)!

n→∞

20

n −1 n+2

e−4

Вычислить предел lim

n→∞ n +

3

21

2

+ 2

n2

e

Вычислить предел lim

2n 2

n→∞

2n

+1

ДЗ № 2. Пределы функций

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

	№	№ по	Задание	Ответ
	п/п	Еф.

5.262

Пользуясь только определением

предела функции, доказать, что

lim f (x) = a , и заполнить

x→∞

1

следующую таблицу

ε

0,1

0,01

0,001

δ (ε )

f (x) =1/ x , x0 =1, a =1.

5.264

Используя логическую символику,

E > 0 δ > 0

2

записать следующее утверждение

(0 <

x

<δ

f (x)

> E )

lim f (x) = ∞

x→0

5.265

Используя логическую символику,

E > 0 δ > 0

3

записать следующее утверждение

(−δ < x −1 < 0

f (x)

< −E )

lim f

(x)= −∞

x→1−0

130