Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

10. Вычислить предел

lim

8x3 −27

.

3

x→

3

2

x −

(x

+1)

2

11. Вычислить предел

lim

1 − x − 2

2 − x .

x→−∞

− x

2

x

−1

x

12. Вычислить предел

limx→∞

2

x

.

+1

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim	arcsin (x2 + x)	.
x→0	arctg (3x)

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

	1
вычислить предел	lim(1+ x +2 − 2)		.
		x
	x→0

15. Вычислить lim f (g(x)), если f (x)= sin x , а g(x)= cos x .

x→π2

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

	x2	+1 − x				2	1
а) f (x)=		x	; б)	f (x)= ln 1	+sin				.
							x

Вариант 18

1. Написать формулу общего члена последовательности

12 , 16 , 121 , 201 , 301 , 421 , …

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

	xn =	ln n		;	xn =	n10	;
		ln n2	+1			3n +sin n

3.Вычислить предел

4.Вычислить предел

5.Вычислить предел

6.Вычислить предел

lim

n3 −27

.

(3 n

+1)(2n2 +

1)

n→∞

12

n5

+66 n9

.

lim

n(5

n +1)

n→∞

n

2

1

arcsin

lim

n

.

n→∞

3n2 +3

lim

3n

+n 7n

.

7n

n→∞ 5n +(2n +1)

xn = arcsin 1 .

n

171

7.

Вычислить предел lim

n (n2 +1)!

.

n→∞ (8n5 +7) (n2 −1)!

5n

3

−1

n

8.

Вычислить предел lim

.

2

6n

n→∞

+1

lim

10x +

x

9.

Вычислить предел

x→+∞

7x +3

x .

10. Вычислить предел

lim sin x −1 .

x→π

cos2 x

2

lim

x −1 − 4 x +1

11. Вычислить предел

.

x→∞

x

1

x

12. Вычислить предел

lim 1+

.

x2

x→∞

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

sin(1−cos x). lim cos(sin x)−1

x→0

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

	1
вычислить предел	lim(1+ln(1+ x))		.
		sin x
	x→0
15. Вычислить lim f (g(x)), если f (x)= arcsin(1− x), а g(x)= x.
x→0+0

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

	1		x				1
а) f (x)= cos		e		; б)	f (x)= arctg					.
							2	−1
x					x

Вариант 19

1. Написать формулу общего члена последовательности

0, 12 , 23 , 1, 23 , 12 , 0, 12 , ..

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

x

=

1

;

xn

=

1

; x

=

n .

n

−(−1)n n

n

1+

1

2

1+ n

n2

n4 −16

3. Вычислить предел lim

.

(n +1)(3n2 +1)( n +1)2

n→∞

172

4.

Вычислить предел

lim

7

n5 +1 −3

n

.

47 n3 )

n→∞ 7 n2 (7 +

5.

Вычислить предел lim

sin n

.

1

n→∞

2

+ tg

n

6.

Вычислить предел lim 7

n+2

+

5

n2

2 .

n→∞

3 +4 5n

7.

Вычислить предел lim

(n2 )(! 5n2 +4)

.

n→∞

(n2 +1)!+6

1

1

+ 4

n

8.

Вычислить предел

n

lim

n

.

1

+5

n→∞

9.

Вычислить предел

lim

10 x −1 .

x→∞

7 x −1

10. Вычислить предел

lim

x −1 .

x→1

(x2 −1)

11.

Вычислить предел

lim

x −

9 x 2

+1

.

x

x→+∞

12. Вычислить предел

3

x+4

lim 1−

x

.

x→∞

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim cos(e2 x −e3x )−1 .
x→0	3	x + x

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

	1
вычислить предел lim( 1− x − x)			.
		x
x→0
15. Вычислить lim f (g(x)), если	f (x)=			1− x	, а g(x)= cos x .
x→π				1+ x
2

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

а) f (x)= ln(1+	x ); б)	f (x)=	2x −2−x	.
x			x

Вариант 20

1. Написать формулу общего члена последовательности

3 , − 3 , 0, 3 , − 3 , 0, ..

173

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

xn = (−1)n ; xn

= 2 n ;

xn = sin(cos n) .

n

7n +3n2 +1

3.

Вычислить предел

lim

.

(6n +1)(5n −1)

n→∞

4.

Вычислить предел

lim

1+

n −3

n4

.

3 n2

(1+

n→∞

n )

5.

Вычислить предел lim cos n

+

1

ln 1

n

.

n→∞

6.

Вычислить предел lim

5n2 +1 −1

.

+3 5n

2

n→∞ 4 5n

7.

Вычислить предел lim

(3 +n) n!+(n −1)!

.

n→∞ (7n2 +n +1) (n −1)!

8.

7n

+3 n

Вычислить предел lim

.

n→∞

5n2 +1

9.

Вычислить предел

lim

x(

x +1)(3 x +1).

x→+∞ (2x +1)(6

x +1)5

10. Вычислить предел	lim	(4
	x→1
11. Вычислить предел	lim (3
	x→∞

x−1

x−1).

x 3 + 2 x 2 +1 − 3 x 3 +1).

		x		x
	12. Вычислить предел lim 1−			.
		5x2 +4
	x→∞

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim ln(1+2x)−ln(1+3x2 ).
x→0	sin x −sin x2

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

2

вычислить предел lim(1+sin x)x+x2 .

x→0

15. Вычислить lim f (g(x)), если f (x)=	x	, а g (x)= arctgx .
x→−∞	1+ x2

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

174

x, 0 ≤ x ≤1							1
			; б) f (x)=	2			x
а) f (x)= x −1											.
							1
		, x >1		1+2
	arctg(x −1)								x

Вариант 21

1.Написать формулу общего члена последовательности

12 , 13 , 101 , 151 , …

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

xn =

1

; x

=

n2 +1

;

x = n + n .

3n + 2

n

2n2 +1

n

3.

Вычислить предел

lim

n −(n +1)3

.

n→∞ 2n3 −(n +1)2

4.

Вычислить предел

lim

2n +1 −

n +2

.

n +

n→∞

n +3

π

+

1

tg

4

5.

Вычислить предел

lim

n

.

n +1

n→∞

6.

Вычислить предел lim

3 22n +3 n

.

3 + 4n

n→∞

7.

Вычислить предел

lim

n!(n +1)!

.

(3 +7(n!)2 )

(n +1)

n→∞

8.

Вычислить предел lim

n + 2

n

.

n→∞

n +3

9. Вычислить предел

lim

(x −1)3 +

x −1

.

+1)2

x→+∞ (x

+

2x6 +1

10. Вычислить предел

lim

x +

x −2

.

x→1

x −1

11. Вычислить предел

limx →∞ (3

x +1 −

x ).

x +2 2x

12. Вычислить предел lim . x→∞ x −4

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

175

lim	1	− 3	x +1 .
x→0	1	−	x +1

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

	вычислить предел lim	2ln(x+1) −1	.
		x
	x→0

15. Вычислить lim f (g(x)), если	f (x)= ex , а		π
		g (x)= tg	.
x→−∞			x

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

	а) f (x)=	1−cos x			(x)=			sin x
		x	(	x +1 ; б) f								.
									x
				)
				Вариант 22
	1. Написать формулу общего члена последовательности 0,												3	,	2	,		5	,	…
													4		9		16

2. Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

x = cos3 (n +1); x

=

1

;

x = (n +1)3 .

1

n

n

n

sin

n

2n

2

1

2

− n −

2

3.

Вычислить предел

lim

.

3n +4n2

n→∞

4.

Вычислить предел

lim

3 n +1 + 4 5n4 +2

.

n→∞

4 n4 +1 +1

5.

Вычислить предел lim

cos2 (2n)

.

n→∞

2n +1

6.

Вычислить предел lim

52n + 63n

.

7 63n−2 +5n

n→∞

7.

Вычислить предел lim

(n!+3)n

.

(

n→∞ 3

)

+4

(n +1)!

2

n

.

8.

Вычислить предел lim

n +1

2

n→∞

n

+ 2

9. Вычислить предел

lim

1+

x −1

.

x→+∞

1+2 4

x

10. Вычислить предел

lim

x2 −3x +2

.

x→+2

x −

2

176

sin5x

11. Вычислить предел	limx →∞ (		2 x 2 + x − 2 x 2 +1 ).
12. Вычислить предел		2	+x +2x	2	x
	lim				.
	x→∞		2 +x

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim sin ln (1+ x).

x→0

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел

lim

1−cos(2x)

.

x→0

3x2

π

g (x)=

2

15. Вычислить lim f (g(x)), если f

(x )= tg

, а

1+ x

.

x + 2

x→−∞

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае

устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

а)

f (x)= arctgx ; б)

f (x)=

1− x

.

x

(1−

x

)

x

Вариант 23

1. Написать формулу общего члена последовательности

3

,

3

,

0,

3

,

3

, 0, …

4

4

4

4

2. Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

x =

n +1

;

x = ln (3 +cos n)

; x =1−

1+ 1 .

n

n

n

n

n

3.

Вычислить предел

lim (n +2)3 −2(n −2)3

n→∞

n3 +n2 +n +1 .

4.

Вычислить предел

lim

3 n +

n +1

.

n + 3

4n +1

n→∞ 3

5.

Вычислить предел limn→∞ 3n

(sin

n +2).

6.

Вычислить предел lim

8 3n+2 −4n

.

5 3n+1 + 4n+1

n→∞

7.

Вычислить предел

lim

(2n)!+(3n)!n

.

n→∞

(3n +1)!

2n

2

n2

8.

Вычислить предел lim

.

2

n→∞

3n +1

9. Вычислить предел

lim

3x + x−2

.

x→+∞

5 3x+1 +2

177

10. Вычислить предел	lim		x +1(x2 +1)				.
	x→−1			(	1− x2			)
11. Вычислить предел	lim 3		x 2		3	2 x −1 − 3 2 x +1			.
	x →∞
12. Вычислить предел			2x +3 x
	lim		2x −1			.
	x→∞

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim	1−sin x		.
x→π2	x −	π
		2

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел	lim	arctg(x −1)			.
	x→0		1
	1		−ln e x

15.	Вычислить lim g			(	f	(	x	))	, если f			(			x	)	=	cos x	, а g	(	x	)	=			π				.
																		x +1						1		+ x
		x→0
16.	Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае
устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:
а) f (x)=		sin (sin x)	; б)		f (x)= ln (						ex −1			).
		x
									Вариант 24
1. Написать формулу общего члена последовательности																							1				4				9			16	, …
																							2 ,			9 ,				28			,	65

2. Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

x

= tg

π

− 1 ; x =

1+(−1)n

;

x

= ln

1 .

n

n

n

2 +cos n

n

2

n

3.

Вычислить предел

lim

3(n +2)−4(n3 +2)

.

n→∞ n4 − 16n8 +n6 +1

4.

Вычислить предел

lim

4 n3 +

n

n→∞ 2 + 4 2n3 +n .

5.

Вычислить предел

lim

n2 cos

n

n3 +1 .

n→∞

6.

Вычислить предел lim

4 32n + 4n

.

n→∞ 5 4n+2 +32n

7.

Вычислить предел lim

(

2n2 )!+(2n2 +1)!

.

(

4n

2

)(

2n

2

)

!

n→∞

178

8. Вычислить предел lim 2 + n

n .

n→∞ 3 + n

x

x −1

9. Вычислить предел

lim

−

.

x→+∞

x +1

x +1

10.

Вычислить предел

3

x +

x +1 −1

.

lim

x +1 −1

x

→0

11.

Вычислить предел

xlim→+∞ (

x3 −1 − x ).

12.

Вычислить предел

lim 1+ x3

)

1

.

x2

x→∞

(

13.

Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim

ln(1+e−x )

.

x→+∞

ex+3

14.

Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел

−

π

lim x

2

tgx .

x→π

2

x

15.

Вычислить lim g

(

f

(

x

))

, если

f

(

x

)

=

, а

g

(

x

)

= arctgx .

ln (x

+ 1)

x→0

16.

Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае

устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

		x			1− x
	а) f (x)= 2x+1 ; б)			f (x)=
										.
					(1+ x ) 1−		x

Вариант 25

1. Написать формулу общего члена последовательности 13 , 53 , 17 , 13 ,111 …

2. Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

x =

2 +(−1)n

;

x =

n

;

x

=

n +1

.

n2 +

1

n

2n +1

n

n

1−n−2

3. Вычислить предел

lim

n2

+(n +2)3

.

−1)4 −(n +1)4

n→∞ (n

4. Вычислить предел

lim

5 n3 + 6 n5

.

n→∞ 4 n3 +1 + 3 1+2 n5 +1

179

5. Вычислить предел lim

n

.

2

1

n→∞

(n

+1) 1+cos

n

2

n2

+

n2

6. Вычислить предел lim

3

.

2

n→∞ 2 +5 3n

+1

7. Вычислить предел lim

(n +1)!+(n +2)!

.

(

)

n→∞ (n +2)!+n

(n +1)!

8. Вычислить предел lim

n +1

n+1 .

n→∞

n + 2

9. Вычислить предел

lim

x +1 +(x +2)2

.

x→+∞

2

x4 +1 +1

10. Вычислить предел

lim

x3 − x2 −2x

.

x→−1

x +1

11. Вычислить предел

lim

x2 + 9 − 3

.

x→0

x

x +2

x

12. Вычислить предел

lim

.

x→∞

x −1

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

		1+ x
	ln
lim		1− x	.
x→0		x

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел

lim cos x +sin x −1 .

π

x→0

x2 + x

f (x )

x

g (x)

x

15. Вычислить

g (

−

f (x)

+

2)

, если

= arctg

, а

=sin

.

lim

x→

2

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае

устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

а) f (x)=

1

; б) f (x)= 2

1

ln(

cos x+sin x

)

.

x

−1

180