Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

(ax )′ =

1

=

1

=

y

=

ax

= ax ln a .

′

1

loga e

loga e

(loga

y)

y

loga e

(ax )′ = ax ln a , (ex )′ = ex .

2). y = arcsin x ,

x = sin y . Учитывая, что y

π

,

π

−

2

2

, cos y ≥ 0 , получаем

(arcsin x)′ =

1

=

1

=

1

=

1

.

(sin y)′

cos y

1 −sin2 y

1 − x2

(arcsin x)′ =

1

.

1 − x2

1

3). Аналогично можно показать, что (arccos x)′ = −

.

1

1− x2

4). y = arctg x,

x = tg y ,

(tg y)′ =

.

cos2 y

(arctg x)′ =

1

= cos

2

y =

1

=

1

.

(tg y)′

1 + tg2 y

1 + x2

(arctg x)′ =

1

.

1 + x2

1

5). Аналогично можно показать, что (arcctg x)′

= −

.

1+ x2

1.6. Производная сложной функции Теорема

Если 1) y = f [ϕ(t)] - сложная функция, t - независимая переменная, x =ϕ (t) - промежуточный аргумент; 2) существуют y′(x0 )= f ′( x0 ) и

′

(t

′

(t

), где

x =ϕ(t ) , то

{

f [ϕ

(t)]

′

′

′

x

)=ϕ

= f (x ) ϕ (t ) .

0

0

0

0

}

0

0

Доказательство

Пусть аргумент t получает приращение ∆t ; тогда приращения x и y , со-

ответственно, равны

∆x =ϕ(t0 + ∆t )−ϕ(t0 ), ∆y = f (x0 + ∆x)− f (x0 ).

∆x = x′(t0 ) и

При

∆t → 0

∆x → 0 и

∆y → 0 , более

того,

существуют lim

∆y

∆t→0

∆t

lim

= y′(x0 ).

∆x→0

∆x

∆y

∆y

∆x

∆y

∆x

Вычислим: lim

= lim

= lim

lim

=

f ′(x0 ) ϕ′(t0 ) , что и требова-

∆t→0

∆t

∆t→0

∆x

∆t

∆x→0

∆x

∆t→0

∆t

лось доказать.

51

Независимой переменной была t , промежуточным аргументом - x . На практике чаще имеем дело с функциями вида: y = f (u), u =ϕ(x) , тогда

yx′ = yu′ux′.

ПРИМЕР. Найдем производную степенной функции y = xα .

Запишем функцию в виде экспоненты y = xα = eα ln x . Вычислим производную по правилу дифференцирования сложной функции.

	y′ = (eα ln x )′ = eα ln xα	1	= α xα	1	=α xα−1	y ′ = (xα )′ = α xα −1 .
		x		x

1.7. Таблица производных

Таблица получена, исходя из определения производной и правил дифференцирования.

1.(xα )′ =α xα−1

2.(ax )′ = ax ln a (a > 0, a

3. (loga x)′ = loga e	1	(a
	x

4.(sin x)′ = cos x

5.(cos x)′ = −sin x

6.(tgx)′ = cos12 x

7.(ctgx)′ = −sin12 x

8.	(arcsin x)′ =			1
				− x2
	1
9.	(arccos x)′ = −			1
				1 − x2

10.(arctgx)′ = 1+1x2

11.(arcctgx)′ = −1 +1x2

12.(shx)′ = chx .

13.(chx)′ = shx .

≠1), (ex )′ = ex

> 0, a ≠1), (ln x)′ = 1x

Гиперболический синус shx = ex −2e−x

Гиперболический косинус chx = ex +2e−x

52

′	1				shx
14. (thx)	=		.	Гиперболический тангенс	thx = chx
		ch2 x

15.(cthx)′ = sh12 x . Гиперболический котангенс cthx = chshxx

1.8.Логарифмическая производная

При вычислении производной некоторых выражений полезно предварительное логарифмирование этого выражения.

Логарифмической производной называется результат дифференцирова-

	ния логарифма исходного выражения.	1		y′ = y [ln y]′.
	Если y = f (x), ln y = ln f (x), [ln y] ′ =		y′. Отсюда
		y
	x

1. Для степенно-показательных выражений вида y =

	ln y =ϕ(x)ln f (x) и y′ =		f (x)ϕ( x) ϕ′(x) ln
ПРИМЕРЫ		y′
1)	y = xα , α ≠ 0, ln y =α ln x,			=α 1x , y′ = y α		1	,
		y				x
2)	y = (sin x)x2 , ln y = x2 ln(sin x) ,			y′	= 2x ln(sin x) + x2
				y

f (x)ϕ( x)

	f (x) +ϕ(x)	f ′(x)
			.
		f (x)

y′ =α xxα , (xα )′ =α xα−1 . sin1 x cos x ,

y′ ={2xln(sin x) + x2 ctg x}(sin x)x2 .

2. Логарифмическая производная применяется для вычисления производной произведения большого числа сомножителей.

ПРИМЕРЫ

1)

y = sin x cos x x,

ln y = ln sin x + ln cos x + ln x ,

y′

cos x

−sin x

1

1

=

+

+

y′ = sin x cos x x ctg x − tg x +

;

y

sin x

cos x

x

x

2)

y = 5

x3 (x −1)7

,

ln y =

1

3ln x + 7 ln (x −1)− ln (x + 6) ,

x + 6

5

′

1

3

7

1

1

3

7

1

x3

(x −1)7

(ln y)

=

+

−

, y′ =

+

−

5

.

5

x

−1

x

6

x −1

x + 6

x

+ 6

5

x + 6

1.9. Производная функции, заданной неявно

Пусть уравнение F (x, y(x))= 0 задает неявно функцию y = y (x).

Для

вычисления

y′(x)

нужно

продифференцировать

тождество

F (x, y) = 0

по переменной x , рассматривая функцию F (x, y (x)) как сложную

53

функцию аргумента x , а затем полученное уравнение F1 (x, y(x), y′(x))= 0 разрешить относительно y′(x).

′

x2

y2

ПРИМЕР. Вычислите y

для функции a2

+ b2 =1,(y > 0).

Первый способ. Выразим явно y из уравнения:

y = ± b

a2 − x2 . Так как y > 0,

y = b

a2

− x2 ,

a

1

a

2

x

x

y′ = b 1

(a2 − x2 )−2 (−2x)= − b

= −b

2

.

a2 − x2

a 2

a

a

y

x2

y2

Второй способ. Продифференцируем выражение

+

=1 по переменной x :

a2

b2

2x

2 y

b2

x

y′ = 0 , откуда y′

+

= −

, y ≠ 0 .

a2

b2

a2

y

1.10. Производная функции, заданной параметрически

Теорема

x = x(t)

.

Пусть функция y = y(x)задана параметрически:

= y(t)

y

Если x(t), y(t) - дифференцируемые в своей области определения функции,

а x = x(t) имеет обратную функцию t = t(x), у которой существует производная

′		′			′		y ′
							t
					yx	=		.
t (x) , и		x (t) ≠ 0 , то					x ′
Доказательство							t
	Рассмотрим функции: y = y(t), t = t(x) . Рассматривая t как промежуточ-
ный аргумент, можно считать, что y - сложная функция x . Тогда y									′ = y	′ t ′,
	1		yt′					x	t	x
tx′ =		yx′ =		.
	x ′
			x ′
	t		t

54

ПРИМЕР

Найдем производную yx′ функции, заданной параметрически x =t2 , y = t3.

y ′ =	3t2	=	3	t , так как x	′ = 2t, y ′ = 3t2 .
x	2t	2		t	t
1.11. Производные высших порядков
	Производной второго порядка от функции						y = f (x)		называется произ-
водная от ее первой производной. Обозначение: f						′′		′	′
						(x) =( f		(x)) .

Производной n -го порядка (или n–й производной) называется производная первого порядка от производной (n −1)-го порядка: f (n) (x) = (f (n−1) (x))′.

Также используют обозначение y(n) (x) = d n y . dxn

ПРИМЕРЫ

1)y = sin x, y′ = cos x, y′′ = −sin x, y′′′ = −cos x .

2)y = xn , y′ = nxn−1 , y′′ = n(n −1)xn−2 ,…, y(n) = n!, y(n+1) = 0 .

Правила вычисления производной n–го порядка

1.[f (x) + g(x)](n) = f (n) (x) + g(n) (x) .

2.Формула Лейбница (производная произведения):

	n	n!
	[f (x) g(x)](n) = ∑Cnk f (n−k ) (x) g(k ) (x) , где Cnk =			- число сочетаний из
		k!(n − k)!
	k =0

n по k , k! (читается k -факториал) определен для целых неотрицательных k ,

причем (k +1)! = (k +1) k!, 0! =1! =1.

ПРИМЕР. Найдите производную n–го порядка от функции y = eax x2 . y = f (x) g (x), f (x) = eax , g (x) = x2 .

f ( x ) = eax ,						g( x ) = x2 ,
′	e		ax	,		′	x,
f ( x ) = a						g ( x ) = 2
′′	2	e		ax	,	′′
f ( x ) = a						g ( x ) = 2,
						′′′
						g ( x ) = 0,
f ( n ) ( x ) = an eax ,

g( n ) ( x ) = 0.

Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена.

55

Вычисляем коэффициенты:

k = 0 → Cn0 =

n!

= 1,

n!

1

n!

k = 1 → Cn

=

= n,

1! n −1 !

(

n!

)

(

)

2

k = 2 → Cn

=

=

n

n −1

,

2! n −2 !

2

(

)

y(n) (x)= aneax x2 + nan−1eax 2x + n(n −1)an−2eax 2 . 2

1.12. Вторая производная от функции, заданной неявно

Рассмотрим функцию y = y(x), определяемую уравнением F (x, y) = 0 . Для отыскания второй производной соотношение F (x, y) = 0 дифференцируем два раза по переменной х, считая y функцией x , и выражаем y′′ как функцию

y и х.

ПРИМЕР. Найдем y′′

для функции x2 + y2 =1.

Дважды продифференцируем уравнение и выразим первую и вторую про-

изводную функции:

2x

x

2x +2 y y

′

= 0, y

′

′

′

+ 2 y y

′′

= 0;

= − 2 y

= − y , 2 + 2 y

y

y

′′

1 +(y′)2

y2

+ x2

= − y

= −

y3 .

1.13. Вторая производная от параметрически заданной функции

x = x(t)

. Вторая производная

y′′xx = (y′x )′x =

(y′

)′

Рассмотрим

= y(t)

x

t .

Иначе

y

xt′

′

′′

yt′

′

1

ytt′′xt′ − xtt

′′yt′

1

ytt′′xt′ −

xtt′′yt′

= x =

=

=

2

=

yxx

tx

(

t

)

(

)

3

.

xt′

xt′

xt′

x ′

x ′

t

1.14. Механический смысл второй производной

Пусть S = f (t) - закон движения тела, движущегося поступательно. Скорость тела V (t ) в данный момент времени: V (t )= f ′(t) . Если движение неравномерно, то для приращения времени ∆t приращение скорости составляет∆V .

56

a = lim ∆V

∆t→0 ∆t

Тогда ∆∆Vt - среднее ускорение тела за промежуток времени ∆t . При ∆t → 0

получим ускорение в данный момент времени t :

=V ′(t) .

Таким образом, a (t )= f ′′(t) - ускорение прямолинейного движения равно вто-

рой производной от перемещения по времени. ПРИМЕР. Если S (t )= gt22 , V (t) =S '(t )= gt , a (t )= g .

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

2.1.Основные определения

Если функция y = f (x) - дифференцируема на (a,b), то для любо-

гоx (a,b)

существуетlim

∆y

′

∆y

при ∆x →0

стремится к

∆x

= f (x) . Отношение

∆x

∆x→0

∆y

числу

′

′

на бесконечно малую

f (x) . Следовательно,

∆x отличается от f

(x)

α(x):

∆y

=

′

, или ∆y =

′

α (x) ∆x .

∆x

f (x) +α (x), причем lim α (x)= 0

f (x) ∆x +

′

∆x→0

′

≠ 0 ,

′

Рассмотрим

f (x)∆x . В общем случае

f (x)

f (x)∆x - бесконечно

малая величина первого порядка относительно ∆x при ∆x → 0 .

Поскольку

lim

α (x) ∆x

= lim α (x)= 0 , то α

(x) ∆x - бесконечно малая вели-

∆x→0

∆x

∆x→0

чина более высокого порядка, чем ∆x .

Главная, линейная по ∆x часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy = f ′(x) ∆x .

2.2. Дифференциал независимой переменной

Пусть y = x . Тогда ∆y = ∆x, y′ = (x)′ =1, dy = dx = ∆x .

Вывод: дифференциал независимой переменной равен ее приращению, dx = ∆x . В общем случае: dy = f ′(x)∆x = f ′(x)dx .

dy = f ′(x)dx .

Производная может быть записана как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (обозначения Лейбница): f ′(x) = dydx .

57

2.3. Свойства дифференциалов

Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле dy = y′(x) dx , то справедливы обычные правила дифференцирования.

1.d (c) = 0 ;

2.d (u ± v) = du ± dv;d (u ± c) = du ;

3.d (uv) =udv + vdu;d (uc) = cdu ;

u	=	vdu −udv			.
4. d			v	2
v
2.4. Геометрический смысл дифференциала
Рассмотрим			функцию y = f (x) . Обозна-

чения, приведенные на рисунке, соответствуют:

′	′	, MT - ка-
M (x, y), M (x + ∆x, y + ∆y) , ∆y = NM
сательная в точке M .
Рассмотрим ∆MNT :
′
MN = ∆x; NT = ∆x tg φ; NT = ∆x f (x) , dy = NT .
Дифференциал функции y = f (x) в точке x есть
приращение ординаты касательной к графику функции в точке x .
2.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Метод основан на замене приращения функции ∆y = f (x + ∆x)− f (x)
приближенно дифференциалом этой функции: ∆y dy = f ′(x)dx .
Таким образом истинная функция на отрезке [x0 , x0 +∆x] заменяется линейной

функцией, график которой – касательная в точке (x0 , f (x0 )). Это возможно, так как ∆y и dy отличаются на бесконечно малую величину o(∆x).

lim	∆y =1+ lim		α∆x	=1+ lim		α	=1.
			′			′
∆x→0	dy	∆x→0		∆x→0	f
			f (x)∆x			(x)

Если x = x0 + ∆x , f (x) = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + dy , то f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x .

ПРИМЕРЫ

1). Вычислите приближенно 4 15,8 .

Здесь y = 4 x , x0 =16 . Тогда y(16) = 4 16 = 2 ; y =(15,8) = y (16)+ ∆y .

Заменим ∆y ≈ dy = y′(x)∆x ; ∆x =16 −15,8 = −0,2 ; y′(x)= (x 14 )′ = 14 x14−1 = 14 x−3 4 ; y′(16)= 14 16−3 4 = 418 = 321 . Тогда y(15,8)= 2 + 321 (−0,2)= 2 −0,0062 =1,9938 .

58

2). Вычислите приближенно значение объема V шара радиуса r =1,02 м.

Так как V (r)= 43 π r3 , то, полагая r0 =1, ∆r = 0,02 , V ′(r)= 4πr2 и используя

формулу для ∆V , получаем:

V (1,02)=V (1)+ ∆V ≈V (1)+V ′(1) 0,02 = 43 π + 4π 0,02 4,44 м3.

2.6. Дифференциал сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y = f [ϕ(x)]. Пусть u – промежуточный аргумент: y = f (u), u =ϕ(x) . yx′ = fu′ ux′, умножим это равенство на dx :

yx′dx = fu′ ux′ dx , dy = fu′du .

Сравнение с dy = fx′dx показывает, что дифференциал функции сохраняет свою

форму независимо от того, является ли ее аргумент x независимой переменной или функцией независимой переменной (промежуточным аргументом).

Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала.

2.7. Дифференциалы высших порядков

Пусть y = f (x) - дифференцируемая функция, а ее аргумент x - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f ′(x)∆x = f ′(x)dx также является функцией x , от которой в свою очередь можно найти дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции f (x) называется дифференциал ее дифференциала при фиксированном dx .

d 2 f (x) = d(df (x)) = d( f ′(x)dx) = dx d( f ′(x)) = dx f ′′(x)dx = f ′′(x) (dx)2 =

′′		2	; d	2	f (x) = f	′′	2	.
= f (x)dx						(x)dx
Аналогично	определяется						дифференциал порядка n: d n f (x) = d (d n−1 f (x)).

Можно показать, что d n f (x) = f (n) (x)dxn. Здесь dxn = (dx)n.

1.Для независимой переменной d 2 x = 0, d 3 x = 0,…

2.В приведенных формулах предполагалось, что x - независимая переменная. Если x - промежуточный аргумент, то форма для второго дифференциала

будет другой, отличной от выражения d 2 f = f ′′(x)dx2.

Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть y = f (x), x = g (t ), t - независимая переменная.

Тогда

d 2 f = d (df )= d ( f ′(x) dx)= d ( f ′(x)) dx + f ′(x) d (dx)=

59

= f ′′(x) dx2 + f ′(x) d 2 x = f ′′(x) (g′(t ))2 dt2 + f ′(x) g′′(t ) dt2 .

Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифференциала

неинвариантна.

3.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА

3.1.Теорема Ролля (о нуле производной)

Теорема. Если

1)функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b],

2)на интервале (a,b) существует производная f ′(x) ,

3)значения функции на концах отрезка совпадают, f (a) = f (b) , то существует точка ξ (a, b), такая, что f ′(ξ) = 0 .

	Доказательство				непрерывна на [a,b], то она достигает на отрезке
		Так как функция f (x)
	наибольшего M и наименьшего m значений. Возможны два случая:
	1) M = m и 2) M > m .						′
	Рассмотрим:		1) M = m ,		f (x)	-
							постоянная, следовательно, f (x) = 0
	для любого x (a,b);
	2) M > m , следовательно, хотя бы одно из этих значений достигается внутри
	[a,b], так как		f (a) = f (b) .
	Пусть f (ξ) = M , ξ (a,b). Так как						f (ξ) - наиболь-
	шее значение функции, то				f (ξ +	x)− f (ξ)≤ 0 при
	любом знаке		x .
		f (ξ + x)− f (ξ)		≤ 0 , x > 0 ,
			x

	f (ξ + x)− f (ξ)	≥ 0 , x < 0 ,
	x

переходя к пределу x → 0 и рассматривая отдельно правый и левый пределы, получаем

lim		f (ξ +	x)− f (ξ )		= f ′(ξ ) ≤ 0 ,	x > 0	,
			x
x→+0
lim		f (ξ +	x)− f (ξ )		= f ′(ξ )≥ 0 ,	x < 0 .
			x
x→−0

Эти соотношения совместны, если f ′(ξ) = 0 .Доказательство для случая, когда во внутренней точке отрезка достигается минимум, проводится аналогично.

60