Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 3 Часть 1

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: пределы последовательностей и функций, непрерывность функции

Часть 2

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: производная, дифференциал, формула Тейлора, исследование функций

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург

2010

151

Расчетная работа № 3. Часть 1. Варианты

Вариант 1

1.Написать формулу общего члена последовательности

−12 , 13 , − 14 , 15 ,…

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

	xn =		n		;	xn = sin(n)+1; xn = en .
			n +2			− (n − 1 )4
	3. Вычислить предел	lim		n 3			.
				(n		+ 1 )4 − n 4
		n → ∞

4. Вычислить предел lim

n→∞

5. Вычислить предел lim

n→∞

	n5 +3 −	n −3	.
	n −3 + 5	n5 +3
	n sin(n2 ).
	n +1

6.Вычислить предел

7.Вычислить предел

2n +7n lim 2n −7n−1 .

n→∞

			(	n + 2 !+ n!
lim					)				.
	(			)		(	)
n→∞			n + 2 !+				n −1 !

8. Вычислить предел lim 3n +1 n2 . n→∞ 3n −1

9. Вычислить предел lim		(x +1)2 +(x −1)3 .
	x→∞	(x +1)3 +(x −1)3
10. Вычислить предел	lim			x +1 −2 .
	x→3			x −3
11. Вычислить предел	lim ( x 2 +1 − x 2 −1).
	x→∞
12. Вычислить предел	lim			3x −4	x+1
				3x +2	.
	x→∞

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить

предел lim1+sin x −cos x . x→0 1−sin x −cos x

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел lim	esin 2 x		−etg2 x	.
			2x
x→π	ln
2
			π

152

1

15. Вычислить lim g(f (x)), если f (x)= 7 2−x , а g(x)= 1− x .

x→2+0

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

а) f (x)=				1	б) f (x)=	1	.
				sin x
1+						ln x
		1		−cos x

Вариант 2

1. Написать формулу общего члена последовательности 0, 2, 0, 2,… .

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

xn =

n2

;

xn

= cos2 (n); xn = e−n .

n +1

3.

Вычислить предел

lim

(n +1)3 −(n −1)3

.

n→∞

(n +1)2 +(n −1)2

4.

Вычислить предел

lim

3

n2

+2 −5n

2

.

n4 −n +1

n→∞ n −

1

sin

5.

Вычислить предел lim

n

.

n→∞

n2 +2

6.

Вычислить предел

lim

3n −2n

.

3n + 2n

n→∞

7.

Вычислить предел lim

(3n −1)!+(3n +1)!

.

n→∞

(3n)(! n −1)

3

+ n +1

n2

8.

Вычислить предел lim

n

.

3

n

+

2

n→∞

9.

Вычислить предел

lim

x2

−

x2 +1

.

x6 +1 − x

x→∞ 3

10.

Вычислить предел

lim

x2

−

x

.

x −

1

x→1

11. Вычислить предел

lim (

x 2 − 2x −1 − x 2 − 7 x + 3 ).

x→∞

12. Вычислить предел

2

+5x +7

x2

lim

2x2

.

x→∞

2x

+5x +3

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

153

lim ln(1+sin x). x→0 arcsin 4x

14.Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim	x2	−3x +	3 −1		.
		sinπx
x→1			1
15.Вычислить lim f (g(x)), если f		(x)= 7		, а g(x)=			x		.
			2−x
							x
x→0+0

16.Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

а) f (x)=

1

б) f (x)

= (1 + arctgx)x .

1

1−ex

Вариант 3

1.

Написать формулу общего члена последовательности 2,

4

,

6

,

8

,…

3

5

7

2.

Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными,

бесконечно большими, бесконечно малыми

xn =

n +1

;

xn

n

;

xn = e

n2

.

= tg

n

3

+1

n +1

3.

Вычислить предел

lim

(2n +1)3 −(3n + 2)3

(2n +3)3 −(n −7)3

.

n→∞

4.

Вычислить предел

lim n2 −

n3 +1 .

n→∞ 3

n6 +2 −n

n

sin

2

5.

Вычислить предел lim

.

n→∞

n +1

6.

Вычислить предел lim

2n

−5n+1

.

2n

+1

+5n+2

n→∞

7.

Вычислить предел lim (2n +1)!+(2n +2)! .

n→∞

(2n +3)!

8.

Вычислить предел

2n

2

+

2n +3

3n2 −7

lim

2

.

2n

+

2n +1

n→∞

9.

Вычислить пределn

lim

2x

+5x

.

2x+1 +6 5x−1

x→∞

10. Вычислить предел

lim

4

x −2

.

x −4

x→16

154

11. Вычислить предел	lim x ( x + 2 −						x + 3 ).
	x→+∞
	x +5				12x
					3x2 +1
12. Вычислить предел	lim						.
	x→∞ x −7

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

1+ x −1

lim ( ( )).

x→0 sin π x +2

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

вычислить предел

lim

1−2cos x

.

π

x→π

3

arctg x −

3

tgx

1

15. Вычислить lim g(f (x)), если f

(x)=

, а g(x)=

.

x2

+sin x

1

− x

x→0+0

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

	1			f (x)=	x2
а) f (x)= arctg			; б)			.
x −5					cos x −1

Вариант 4

1. Написать формулу общего члена последовательности

1, 0, −3, 0, 5, 0, −7, 0,…

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

	xn	= 3n2 −10n ; xn =		n	;	xn =	n2		.
				2n			n2 +1
	3. Вычислить предел	lim	(n +2)3 −(n −2)3 .
		n→∞	n4 +2n2 −1

4.Вычислить предел

5.Вычислить предел

6.Вычислить предел

7.Вычислить предел

	3	n −9n			2
lim		−4 9n8			.
n→∞ 3n					+1
lim sin n cos n .
n→∞	n +1
lim	2n+1 +		3n−1	.
	2n +
n→∞			3n
lim	(n +1)!−(n +2)! .
n→∞		(n +3)!

			3	−1		2n−n2
8. Вычислить предел	lim	n					.
			3
				+1
	n→∞ n

155

2x

3

x

2

9.

Вычислить предел

lim

−

.

2

−1 2x +1

x→∞ 4x

10.

Вычислить предел lim

x2 +1 −1 .

x→0

x2

+16 −4

11. Вычислить предел

lim 3

x 2 (3

x +1 − 3 x −1).

x→+∞

1

12. Вычислить предел lim(1+x)sin3x .

x→∞

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim 2(eπx −1). x→0 1+ x −1

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim	2 −2cos x .
x→π	π −4x
4	f (x)= x +3,	x ≥ 0
15. Вычислить lim g(f (x)), если			, а g(x)= x .
x→0−0	x +2,	x < 0

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

а) f (x)=	1−	2x					; б) f (x)=	x2
								ln(1+2x2 )	.
			x

Вариант 5

1. Написать формулу общего члена последовательности

− 3, 53 , − 75 , 97 , − 119 , …

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

	xn = n +		1		; xn =3−n ;	xn		=		1	.
			n						2	+cos n
					(3 −n)3
3.	Вычислить предел	lim					.
				(n +1)2 −(n +1)3
		n→∞
4.	Вычислить предел	lim		6n3 − n5 +1		.
					4n6 +3 −n
		n→∞
5.	Вычислить предел lim cos(n +1).
		n→∞			n2

156

6.

Вычислить предел

lim

8n −5n

.

8n

+

5n−1

n→∞

7.

Вычислить предел

lim (n +4)!−(n +2)!

.

n→∞

(n +3)!

3n + 2 n

8.

Вычислить предел lim

.

3n −1

n→∞

2x

2

x

2

9.

Вычислить предел

−

2

lim

4x

−1

2x

+1

.

x→∞

10. Вычислить предел

lim

x

3 +2x −3

.

x2 +3 −

2

x→1

11. Вычислить предел

lim (

4x 2 +1 − 2x).

x→+∞

1 1

12. Вычислить предел lim(1+x2 )x2 +x3 .

x→0

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

				ex −2−x
	lim					.
				3x
		x→0
14.	Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,
	вычислить предел lim(1− x)tg πx .
	x→1			2	= arctg (x3 + x			2 ), а g(x)= 1 .
15.	Вычислить lim f (g(x)), если			f (x)
	x→0−0							x
16.	Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае
	устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:
			1		f (x)=		1− x
	а) f (x)= ln 1	+		; б)				.
			x				1−
								x

Вариант 6

1. Написать формулу общего члена последовательности

0, 12 , 0, 18 , 0, 181 …

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

	xn =			1		; xn = ln(1+n); xn = 2−n2 +n .
		2	−cos n
	3. Вычислить предел			lim	(n +1)3 +2(n −1)2		.
				n→∞		5n2 (n +1)+6

157

4.

Вычислить предел

lim

n −23

n

.

n→∞ 5 +3 n

5.

Вычислить предел lim

n

n sin

.

n→∞

3

6.

Вычислить предел lim

3 4n−1 +5 6n

.

n→∞

2 3n +7 6n−1

7.

Вычислить предел

lim

(2n)!+1

n→∞ n(2n −1)! .

3n

2

+1

n

8.

Вычислить предел lim

.

2

2n

−1

n→∞

9.

Вычислить предел

lim

x3 +3x

2 +3x +1

.

x +1+

5(x +1)3

x→∞

10. Вычислить предел

lim

x +1 −1 .

x→0

(

x

x

x )

11. Вычислить предел

x

lim

+

−

.

x→+∞

12. Вычислить предел

6x +1 2x

lim

.

x→∞

6x −1

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

lim ln(1+ x3 ).

x→0 2x4 +5x3

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

			1	+1	x
		2 x
	вычислить предел lim				−1 .
	x→∞

1

15. Вычислить lim f (g(x)), если f (x)= 1+ x , а g(x)= 21−x .

x→1+0

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

а) f (x)=	sin x	; б)	f (x)=			x + 2			.
	x(x +1)(x +2)2			arctg(x + 2)

Вариант 7

1.Написать формулу общего члена последовательности

1, 12 , 16 , 241 , 1201 , …

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

158

1

xn = (n +1)n ; x n = 1 + (− 1)n .

xn = tg

;

n

3.

Вычислить предел

lim

n +1−(2n +1)2

.

n→∞

(n +1)3 −2n −1

4.

Вычислить предел

lim

n

n +5

n6

.

1)

n→∞ 4 n (54 n5 −

5.

Вычислить предел lim

n +1

.

1

n→∞

n sin

+1

n

6.

Вычислить предел lim

n2n +(n +1)3n

.

n→∞

n3n+2 +1

7.

Вычислить предел lim

(n)!(1+2n

2 )

.

(n

+2)!+n!

n→∞

n

2

+ 4

n

8.

Вычислить предел

lim

2

+1

.

n→∞ 3n

9.Вычислить предел

10.Вычислить предел

11.Вычислить предел

12.Вычислить предел

		x		2				x
lim					−					.
			2
		2x		−1 x				+3
x→∞
lim		x 2 − x − 2					.
		x 2 − 4
x→0

lim ( x 2 + x +1 − x).

x→+∞

x2

lim x +2 x+1 . x→∞ x +3

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

sin2 x . lim 2

x→0 e2 x −1

14. Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,

	1
вычислить предел	lim(cos x)		.
		x2
	x→0

15. Вычислить lim g(f (x)), если f (x)= x +3x2 , а g (x)= arctgx .

x→1+0

16. Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

	1					1		−1
				f (x)=	x
а) f (x)=(x +1)arctg			; б)						.
sin x				1			+1
						x

159

Вариант 8

1. Написать формулу общего члена последовательности

23 , 53 , 74 …

2.Указать, какие из заданных последовательностей будут ограниченными, бесконечно большими, бесконечно малыми

1

1

n n2 +1

xn

=

;

x

n

=

;

xn

=

(−

)

.

−n

2

n

+n +1

2

+1

1

n

3.

Вычислить предел

lim

n3 +n2 +4(n +1)

.

n→∞ (2n +1)3 −(n +1)3

4.

Вычислить предел

lim

n

2 5

n2

−4

n3

.

n→∞ 8n(5 n7 +6)

5.

Вычислить предел lim

2 −sin n

.

n→∞

3 +cos n

6.

Вычислить предел lim

3n2 +1

.

n→∞

3n +2n

7.

Вычислить предел lim

(3n)!+n!

.

n→∞

(2n)(! 2n)n

8.

2n +1 n2

Вычислить предел lim

.

n→∞

5n −1

9.

Вычислить предел

lim

x + x −(2x +1)2

.

x→∞

2x − x2

10. Вычислить предел

lim

x +3 −2

.

11. Вычислить предел

x→1

(

x −1

−

+

.

lim

x

2

+

4x

x

2

1)

x→+∞

x

2

+2

x

12.

Вычислить предел

lim

2

+1

.

x→∞ x

13. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, вычислить предел

					lim	7 1− x −1				.
						1−cos2			x
					x→0
14.	Используя преобразования и эквивалентные бесконечно малые функции,
			lim 1 + tg2			x	)	3
	вычислить предел							x .
			x→∞(						1 , а g(x)= 2−x .
15.	Вычислить lim g	(	f (x)	)	, если	f (x)=
	x→0+0								x
16.	Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае
	устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерывности»:

160