Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

Монотонность функции

Функция f (x), дифференцируемая на отрезке (a,b), возрастает (убывает) тогда и только тогда, когда f '(x)≥ 0 ( f '(x)≤ 0 ), x (a,b).

Правило отыскания экстремумов функции

Чтобы найти точки максимума и минимума функции f (x), надо:

1). Найти производную

f '(x), приравнять ее к нулю и решить полученное

уравнение f '(x)= 0.

2). Найти точки, в которых производная f '(x)

не существует.

3). Исследовать знак

производной

f '(x) слева и справа от каждой

критической точки.

f ′(x0 − ∆x)

f ′ (x0 )

f ′(x0 + ∆x)

Экстремум

> 0

0, ±∞,

> 0

нет

> 0

0, ±∞,

< 0

max

< 0

0, ±∞,

> 0

min

< 0

0, ±∞,

< 0

нет

С помощью второй производной:

Экстремум

f ′ (x0 )

f ′′(x0 )

max

0

< 0

0

> 0

min

0

0

Точки перегиба

Функция f (x), дифференцируемая на отрезке (a,b), выпукла вниз (вверх) тогда

и только тогда, когда f ''(x)≥ 0				( f ''(x)≤ 0 ), x (a,b).
	f ′′(x0 −∆x)	f (x)		f ′′(x0 )			f ′′(x0 +∆x)	f (x)	Перегиб
	> 0	вып. вниз		0,			> 0	вып. вниз	нет
	> 0	вып. вниз		0,			< 0	вып. вверх	есть
	< 0	вып. вверх		0,			> 0	вып. вниз	есть
	< 0	вып. вверх		0,			< 0	вып. вверх	нет
							221

Общая схема исследования функции и построения графика

1.Найти область определения функции; найти область значений функции; найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.

2.Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.

3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.

4.Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.

5.Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

6.Построить график.

222

9.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Вся высшая математика / М.Л. Краснов [и др.]. М.: Едиториал УРСС, 2003.

Т.1.

2.Ильин В.А. Курс математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.

М.: Наука, 1998. Т.1.

3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл - Пресс, 2001. Т 1.

5.Игнатьева А.В. Курс высшей математики / А.В. Игнатьева, Т.И. Краснощекова, В.Ф. Смирнов. М.: Высшая школа, 1968.

6.Мантуров О.В. Курс высшей математики / О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. М.: Высшая школа, 1986.

7.Сборник задач по математике для втузов / под ред. Ефимова А.Ф., Демидовича Б.П. М.: Наука, 1993. Т. 1.

8.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов. М.: Высшая школа, 1994.

223

Учебное пособие

Вигура Марина Александровна Кеда Ольга Анатольевна Мохрачева Людмила Павловна Рыбалко Александр Федорович Рыбалко Наталья Михайловна

МАТЕМАТИКА

Часть 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Редактор Н.П. Кубыщенко

Компьютерная вёрстка А.Ф. Рыбалко

____________________________________________________________________

Подписано в печать 29.07.2010			Формат 60x84 1/16
Бумага писчая	Плоская печать		Усл.печ.л. 12,8
Уч.-изд.л. 9,5	Тираж	экз.	Заказ

____________________________________________________________________

Редакционно-издательский отдел УрФУ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ООО «Издательство УМЦ УПИ» 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17