Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

Вариант 11

1.

Найти производную функций:

а)

sin x +1

ex +x

; в) y =

3

2x +1 −1

;

y = ln

x

; б) y =2

cos x

+ x

г) y = a rc s in (1 + tg 2 x ) x 2 + 1 .

2.

Найти производную функции

y = (1+ x)ln x

в точке x = e .

3.

Найти производную

′

y (x) в точке x =1, если

t

cost .

x = e

y = et

sin t

4.

Найти

y(45)(x), если

y(x)=

x2 +1

.

x

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

e2 x2 +y

+sin(2x − y)= x .

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

ln(0.95).

7.

Найти предел

lim(1−cos x)x2 .

x→0

8.

Написать уравнение касательной к кривой y = ln x в точке x =1.

9.

Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y =

1

в точке

cos x

x = 0 .

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.
11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 x	.
x +1

191

Вариант 12

1.

Найти производную функций:

x + 1

sin 2x

−2x

3

x

а)

y = ln

; б) y =3

; в) y =

;

ctgx −sin x

ln x

+1

г)

1

y = a rc s in

tg (4 x ).

x

x cos x

Найти производную функции y =

в точке x =

π

2.

1+

2

.

′

π

3.

Найти производную

y (x) в точке x = 0 , если

x = t + arctgt

.

2

y = et

+1 +t

Найти y(35)(x), если

4.

y(x)= xe3 x .

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

2

ln

x

+2x

+ y3 =1.

y

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

e−0.05 .

1

7. Найти предел lim (1+ ln x)x .

x→+∞

8. Написать уравнение касательной к кривой y = sin 2x в точке x = π6 .

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y =	1	в
	x2 + x +1

точке x = 0 .

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

192

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 ( x −1)2 .

		Вариант 13
1. Найти производную функций:
а) y = sin	ln x ; б) y =e2cos x ; в)		y =	tg2 (x +1)− x				;
г) y = x 3 arctg ( x ).					x(x +3)
2. Найти производную функции			y = (ctgx)x2 в точке x =						π .
3. Найти производную		′				x =1, если			4
		y (x) в точке
							2t3 +t
			x = e
						t −1 .
			y =			t +1
4. Найти	y(25)(x), если	y(x)= (x +1)ln(3x).
5. Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

5x2 +y2 −5x = y +3x .

6.С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение sin(1D ).

7.Найти предел lim cos x ln(tgx).

π−0x→

2

8. Написать уравнение касательной к кривой y = tg2x в точке x = π6 .

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = arcsin(x2 )в

точке x = 12 .

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

193

11. Провести полное исследование и построить график функции

y = 3 1+3

x .

Вариант 14

1.

Найти производную функций:

а)

y = tg (1 + ln (1 +

x )); б) y =32cos2 (x+1);

в)

y =

ex +1 −ex

;

arccos x +1

г)

y = sin 3 x 3

1 + 1 .

x

x=1.

2.

Найти производную функции

y = x2x

в точке

3.

Найти производную

′

x = 0 , если

y (x) в точке

sin t +t

x =

t +1 .

y =

t

cost

π

4.

Найти

y

(20)

(x), если

y(x)= (x

2

+1)cos x +

.

4

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

tg

x +1

+ x

2

y

= 2 .

y +1

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

cos(1D ).

1

7.

Найти предел

lim (1− x)e

1−x

.

x→1−0

π .

8. Написать уравнение касательной к кривой y = cos3x в точке x =

6

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

y = arccos(x2 ) в

точке x =

1 .

2

10. По графику функции

194

				2
				1
	−3 − 2	−1		0		1		2	3
построить график производной.
									3	x2
11. Провести полное исследование и построить график функции y =										.
									3	x +1
				Вариант 15
1.	Найти производную функций:					= arcsin(x +1)+ x ;
а)	y = 1−ln3 x ; б)	y =2−sin(x2 +1);			в) y
г)	y = c o s (x + 1)e a rctg x .						3	x +1
					y = (x2 +1)ln x
2.	Найти производную функции							в точке	x=e.
3.	Найти производную			′		x = 0 , если
			y (x) в точке
					x = t lnt		.
						= tet
	Найти y(25)(x), если		y(x)= x		y
4.					1+ x .

5.Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

x+ y + ctg (2 y + x)= x .

x− y

6.С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение sin(29D ).

		1
7. Найти предел lim		sin x x		.
x→0+0		1−cos x

8. Написать уравнение касательной к кривой y = ex2 в точке x = 0 .

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = arctgx x в точке

x =1.

10. По графику функции

195

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции

					Вариант 16
1. Найти производную функций:
а)		x −	1	; б)	arcsin x	; в) y =
	y = tg log3				y =5
			x

3x −3cos 2x ; 3 +sin x

г)	1	1 + x	2	.
	y = arctg
	x								π .
					1
2.	Найти производную функции y = (ctgx)						в точке x =
						x+1
3.	Найти производную			′	x = 0 , если				4
			y (x) в точке
				x = ln cost +t				.
					1+t 2 +t
	Найти y(30 )(x), если			y =
4.			y(x)= (2x +1)2x .

5.Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

x+ y − y = xy .

3	x2
y =	.
3	x −1

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение cos(61D ).

7.	Найти предел lim		π	−arctgx x−1 .
	x→1−0		4
8.	Написать уравнение касательной к кривой y = arcsin 2x в точке x = 0 .

196

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции	y = ln(2x +1)	в
точке x = 0 .	x +1
10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 (x4 −1)2 .

Вариант 17

1.

Найти производную функций:

sin(x2 +1)− x

x

2(tgx+ctgx)

а)

y = ln

; б)

y =4

; в)

y =

;

arcsin x

x +1

г)

y = cos (2 x + 1)3 x − 1x .

y = (ln(x +e))arccos x в точке x=0.

2.

Найти производную функции

3.

Найти производную

′

x = 0 , если

y (x) в точке

2

2

x = (t +1)tg

t

+ t

.

Найти y(35)(x), если

y(x)

y = 2t − 2−t

4.

= x2 32 x+1 .

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

ln(x + y)− x

= 4 .

y

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

tg (43D ).

7.

Найти предел

lim

π arctgx

.

x→0+0

x

197

	8.	Написать уравнение касательной к кривой	y = arccos 2x в точке	x =	1	.
					4
	9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = 2−x2 +1 в точке
	x =1.
	10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции

y = 3 x2 −1 . x

			Вариант 18
1.	Найти производную функций:				arcsin x −2
а)	y =	1+ ln sin x ; б) y =33 tgx ; в)		y =					;
		1 + e x cos (x 2	+ 1).			arccos2 x
г)	y =
2.	Найти производную функции			y = sin xcos2 x в точке x=						π.
3.	Найти производную		′							2
			y (x) в точке x = 0 , если
				x =		2t −1
								.
						t 2 +1
			y = arccos(t 2 )
4.	Найти y(40)(x), если		y(x)= x sin2 x .
5.	Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):
			2x + y + ctg(x + y)= 2 .
6.	С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение
ctg (46D ).
7.	Найти предел lim		(1+ tgx)cos x+sin x .
		x→−π +0
		4

198

8. Написать уравнение касательной к кривой y = arctg (2x) в точке x = 12 .

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = x2 +x 1 в точке

x =1.

10. По графику функции построить график производной.

2

1

−3

− 2

−1

0

1

2

3

11. Провести полное исследование и построить график функции y =

3 x

.

3

x +1

Вариант 19

1. Найти производную функций:

ln(ln x)+ x

1

arctg2x

а) y =sin

+ x ; б)

y =6

; в)

y =

x +2

;

cos x

г) y = (3 x 2 − x )e x 2 +1 .

y = (1+ x3 )ex

2. Найти производную функции

в точке x = 0 .

3. Найти производную

′

x =1, если

y (x) в точке

t 2 +t

+t

x = 3

1 .

y =

sin t +2

4. Найти

y(45)(x), если

y(x)= (3x −1)cos2 x .

5.Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

x+sin y + xy ++11 = 3 .

6.С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

3 27.2 .

199

7.	Найти предел	xlim→1−0 (1− x )x−1 .		1 .
8.	Написать уравнение касательной к кривой		y = arcctg3x в точке x =
				3
9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = x −1 в точке

x +1

x =1.

10. По графику функции

2

1

−3

− 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции

3

x

+ x .

y =

3 x +1

Вариант 20

1. Найти производную функций:

sin (tgx)

а) y = arccos(

ln x ); б)

y =7

−x2 cos(2x)

;

в) y =

;

3 x +1

г) y =

x

+ 2 x .

arctg

4 5

x +

1

2. Найти производную функции y =(ctgx)

π

π

ctg

+x

в точке

x=

.

4

4

3. Найти производную

′

x =1, если

y (x) в точке

e

−t

x =

.

t +1

1+

t +1

y =

4. Найти y(50 )(x), если

y(x)= (2x2 +1)ln(

x ).

x

5. Найти дифференциал неявно заданной функции

y(x):

x + y −

y2

=1.

+1

200