Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

5.266

Используя логическую символику,

ε > 0 A > 0

4

записать следующее утверждение

(

x

> A

f (x)

<ε )

lim f

(x) = 0

x→+∞

5.269

Используя логическую символику,

ε > 0 A > 0

5

записать следующее утверждение

(

x

> A

f (x)− 2

<ε )

lim f (x)= 2

x→∞

5.273

Вычислить предел рационального

2

6

выражения lim

x2

+3

x2

−3

x→3

5.276

Вычислить предел рационального

∞

7

выражения

lim

1

−

3

2 − x

8 − x

3

x→2±0

5.282

Вычислить предел рационального

1/4

8

выражения lim

x3

−

x2

2x

2

−1

x→∞

2x +1

5.285

Вычислить предел рационального

+∞

9

выражения

x + 2

x

− 4

lim

+

2

2

x→1

−5x

+ 4 3(x

x

−3x + 2)

10

5.288

Вычислить предел lim

3x +1

3/5

5x + 3 x

x→∞

11

5.289

Вычислить предел lim

x −1 −3

1/6

x −10

x→10

5.290

Вычислить предел

2 / 2

12

lim

x + x −1 −1

x2 −1

x→1

13

5.292

Вычислить предел lim

x2 −

x

3

x→1

x −1

5.294

Вычислить предел

2 / 3

14

lim

2x

x→+∞ 3x +

3x +

3x

15

5.295

Вычислить предел lim

n x +1 −1

1/n

x→0

x

16

5.297

Вычислить предел lim

x

2

+ 4

− 2

3/2

x2 +9 −3

x→0

17

5.300

Вычислить предел

1/2

131

lim

x + x + x

−

x

x→+∞

5.301

Вычислить предел

-7/4

18

limx→∞

(

4x2 −7x + 4 − 2x)

5.302

Вычислить предел

x3 − 2 )

2

19

limx→∞ x3 / 2 (

x3 + 2 −

5.304

Используя первый замечательный

-7/3

20

предел, вычислить lim sin 7x

x→π

tg3x

5.306

Используя первый замечательный

¾

21

предел, вычислить lim

3arcsin x

4x

x→0

5.307

Используя первый замечательный

2

22

предел, вычислить lim

1 −cos 2x

x2

x→0

5.308

Используя первый замечательный

(β2

−α2 )/ 2

23

предел, вычислить

lim cosαx −cos βx

, α ≠ β

x→0

x2

5.309

Используя первый замечательный

0

24

1

предел, вычислить lim

− ctgx

x→0

sin x

5.311

Используя первый замечательный

−

2 / 4

25

предел, вычислить

lim

2 − 2cos x

π − 4x

x→π

/ 4

5.312

Используя первый замечательный

1

26

предел, вычислить

lim

π

− x

2

tgx

x→π /2

5.317

Доказать соотношение:

27

lim

loga (1 + x)

= loga e

x→0

x

5.318

Доказать соотношение:

28

lim ax −1

= ln a

x→0

x

5.319

Доказать соотношение:

29

lim

(1 + x)a −1

= a

x

x→0

30

5.320

Используя второй замечательный

e10

132

предел, а также результаты задач

5.317-5.319, вычислить предел

lim

x +3

2 x+1

x→∞

x − 2

5.322

Используя второй замечательный

e−1/ 2

31

предел, а также результаты задач

5.317-5.319, вычислить предел

lim

(cos x)1/ x2

x→0

5.324

Используя второй замечательный

2

32

предел, а также результаты задач

5.317-5.319, вычислить предел

lim x

(

ln

(

2 + x

)

−ln x

)

x→∞

5.327

Используя второй замечательный

a ln a

предел, а также результаты задач

33

5.317-5.319, вычислить предел

lim

ax

− a

x −1

x→1

5.330

Используя второй замечательный

1

34

предел, а также результаты задач

5.317-5.319, вычислить предел

lim

(cos x)1/ sin x

x→0

5.331

Используя второй замечательный

-1/2

предел, а также результаты задач

35

5.317-5.319, вычислить предел

lim ln cos x

x→0

x2

5.334

Доказать, что lim f (x)= a в том и

x→x0

только в том случае, когда для

любой последовательности

36

аргументов

(xn )n N , сходящейся к

x0 , соответствующая

последовательность (f (xn ))n N

значений функции сходится к a .

5.335

Используя результат задачи 5.334,

доказать, что для функции

37

f (x)= cos x

не существует

lim f

(

x

)

,

x

= ∞.

x→x

0

0

38

5.336

Используя результат задачи 5.334,

133

доказать, что для следующей

функции f

(x) = sin1/ x не

существует

x→x

(

x

)

,

0

lim f

x =0.

0

5.349

Определить порядок малости α (x)

3/2

39

относительно β (x) = x при x → 0 ,

если α (x)= 3

x3 .

1 − x

5.359а

Доказать, что α (x)− β (x) имеет 2-

40

й порядок малости относительно x

при x → 0 , если α (x)

=1/ (1 + x),

β (x)=1 − x .

5.364

Доказать, что если α (x) α1 (x) и

41

β (x) β1 (x) при x → x0 , то

α (x)

α1

(x)

lim

= lim

.

β1

x→x0

β (x)

x→x0

(x)

5.365

Используя результат задачи 5.364,

-1

вычислить предел

)

42

arcsin (x / 1 − x

2

lim

ln (1 − x)

x→0

5.366

Используя результат задачи 5.364,

−ln10

43

вычислить предел lim

1 − x

x→1

lg x

5.367

Используя результат задачи 5.364,

3

44

вычислить предел lim

cos x −cos 2x

1 −cos x

x→0

5.370

Используя результат задачи 5.364,

8/9

45

вычислить предел

lim

1 −cos 4x

2sin2 x + xtg7x

x→0

5.351

Определить порядок малости α (x)

1

46

относительно β (x)= x при x → 0 ,

если α (x)= 1 −cos x

x

5.359в

Доказать, что α (x)− β (x) имеет 2-

47й порядок малости относительно x при x → 0 , если α (x)= (1 + x)n ,

134

β (x) =1 + nx (n

).

ДЗ № 3. ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ.

Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной перемен-

ной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов,

А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова,

А.

С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№

№ по

п/

Задание

Ответ

п

Еф.

Укажите все номера целых чисел

данного множества

1)

8 −2

15 (

5 +

3 ), 2) ( 7 )log1

5 25 ,

1

3)

7 + 2 , 4) 33 0,(15), 5) (3 7 6 )6 .

5)

7 −

2

1) 1,

2,

4

2) 4,

5

3) 2,

4

4) 1,

3,

4

5) 1,

4,

5.

5.102

Найти f (

−

(

−

0,001), f

(100),

0, -6, 4

2

1), f

если

f (x) = lg x2 .

5.105

Найти f (

0), f (−x),

f (x +1),

1 + x

x

2

f (x)+1,

1

1

, если

1, 1 − x

, − 2 + x

,

1 + x ,

3

f

,

f

(x)

x

x −1

1 + x

f (x)= 11+− xx .

x +1,

1 − x .

5.106

Найти естественную область

D = (−3,+∞),

4

определения D и множество

E = (−∞,+∞)

значений E функции y = ln (x +3).

5.108

Найти естественную область

D =

4π2k 2 ,π2 (2k +1)2

,

5

определения D и множество

k {0}

E =[

0,1]

значений E функции y = sin

x .

0, π

5.113 Найти естественную область опре-

D =

[

−1,1 , E =

6

деления D и множество значений E

]

4

135

функции y = arcsin	1 − x2	.
	2
5.116 Найти множество G, на которое			G =[0,4]

7данная функция отображает множество F: y = x2 , F ={−1,2}.

5.117	Найти множество G, на которое	G =[1,2]
8	данная функция отображает
	множество F: y = x ,

F =

{

x

x

}

1 ≤

≤ 2 .

5.119

Найти множество G, на которое

G = (0,1/ 2]

9

данная функция отображает

0,1).

множество F: y = x − x2 , F = (

5.121

Найти множество G, на которое

G = 0, 2 / 2)

данная функция отображает

10

множество F:

y = sin

πx

,

2

F =[0,1/ 2).

5.123

Найти множество нулей

D0 ={−1,2}, D+ = (−1,2),

D0 ={x

f (x) = 0}, область

D− = (−∞,−1) (2,+∞)

11положительности D+ ={x f (x)> 0}

иобласть отрицательности

{x f (x)< 0} для даннойD− =

функции: f (x)= 2 + x − x2 .

5.127 Показать, что функция y = f (x) удовлетворяет соответствующему

12функциональному уравнению: f (x + 2)− 2 f (x +1)+ f (x)= 0 ,

		f (x)= kx +b .
	5.131	Определить функцию y = f (x),									f (x)= x2 − 2
13		удовлетворяющую данному
			1		2		1
		условию: f x +		= x		+			,	x ≠ 0.
							x	2
			x
	5.137	Какова функция	f (x)= ex +1								Нечетная
14						ex −1
		(четная, нечетная, или ни четная, ни
		нечетная)?
15	5.140	Доказать, что произведение двух

136

четных или двух нечетных функций

есть функция четная, а произведение

четной и нечетной – нечетная

функция.

5.145

Выяснить, является ли функция

Непериодическая

16

f (x) = sin x2 периодической, и оп-

ределить ее наименьший период Т.

5.154 Найти обратную функцию и область

а)

y = − x +1 ,

ее определения, если исходная

D

3

,+∞

функция задана в указанном

= −

4

17

промежутке: y = x2 −1: а)

x (−∞;−1/ 2); б) x [1/ 2,+∞).

б)

y =

x +1 ,

D

3

,+∞

= −

4

5.161

Найти композиции (f

g) и (g

f)

(f g) = x ,

функции f (x)= sin x ,

x [−π,π

],

(g

f)

g (x)= arcsin x .

18

x +π, x [−π, −π / 2),

[−π / 2,π / 2),

= x, x

π, x (π / 2,π].

x −

5.164

Элементарную функцию f (x)=

x

f (u)=

u , u = x2

19записать в виде композиции основных элементарных функций.

5.176а

Построить график элементарной

Парабола y = x2 ,

20

функции y = y0 + a(x − x0 )2 , если

смещенная вдоль оси Оу

a =1, x0 = 0 , y0 = −1.

вниз на 1

5.177а

Построить график элементарной

Гипербола y =1/ x ,

21

функции y = y0 +

k

, если k =1,

смещенная вдоль оси Оу

x − x0

вниз на 1 и вдоль оси Ох

x0 =1,

y0 = −1.

вправо на 1

5.186

Построить график элементарной

(x +3)2

, x (−∞,0],

22

функции y = x2 −6

x

+9 .

y =

(x −3)2

, x (0,+∞).

5.187

Построить график

1 2

25

1

[0,+∞),

элементарной функции

6

x

+

−

, x −∞,−

24

6

23

12

y =

6x

2

+ x

−1.

y =

1

2

23

1

−6

x

+

−

, x

−

,0

.

12

24

6

137

5.200

Построить график

π

,(2k +

1)

π

элементарной функции

3x −

2kπ, x 2k

3

3

,

,

24

y = arccos(cos3x).

y =

(2k +1)π, x (2k +1)π ,2(k +1)π

3x −

3

3

k

5.209

На плоскости Оху изобразить

Квадрат с вершинами

25

множества точек, координаты

(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)

которых удовлетворяют заданным

условиям:

x

+

y

=1.

5.211

На плоскости Оху изобразить

Кривая, симметричная

множества точек, координаты

относительно обеих осей

которых удовлетворяют заданным

координат и биссектрисы

26

условиям:

x

−

y

=1.

первого и третьего

квадрантов; в области

G ={(x, y)| x ≥ 0, y ≥ 0, x ≥ y

- луч y = x −1

5.339

Найти односторонний предел

−∞, +∞

27

lim

2 + x

.

4 − x2

x→2±0

28

5.340

Найти односторонний предел

+∞

lim (2 + x)1/ x .

x→±0

5.341

Найти односторонний предел

0, +∞

29

1

lim 72−x .

x→2±0

30

5.342

Найти односторонний предел

π / 2, −π / 2

lim arctgx .

x→±∞

31

5.382

Доказать, что функция

f (x)= sin x

непрерывна в каждой точке ее

естественной области определения.

5.384

Задана функция f (x). При каком

A = 3

выборе параметров, входящих в ее

определение, f (x) будет

32

непрерывной, если

x2

+ x − 2

, x ≠1

f (x)=

x −1

A, x =1.

5.387

Найти точки разрыва функции,

x1 = 0 , x2 =1 - точки

33

исследовать их характер,

разрыва второго рода

в случае устранимого разрыва

138

		доопределить функцию
		«по непрерывности», если
		f (x)=			1				.
			x2 (x −1)
	5.392	Найти точки разрыва функции,									x1 = 2 , x2 = −2 - точки
		исследовать их характер,									разрыва второго рода
34		в случае устранимого разрыва
		доопределить функцию «по
		непрерывности». f (x)= 3x /(4−x2 ).
	5.394	Найти точки разрыва функции,									x = −2 - точка разрыва
		исследовать их характер, в случае									первого рода
		устранимого разрыва доопределить
35		функцию
		«по непрерывности», если
		f (x)=			x + 2					.
			arctg (x + 2)
	5.396	Найти точки разрыва функции,									x = 0 - точка устранимого
		исследовать их характер,									разрыва
		в случае устранимого разрыва
36		доопределить функцию
		«по непрерывности», если
		f (x)= 1 ln				1 + x	.
			x			1 − x

139

ДЗ № 4. Дифференцирование функций

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№	№	Задание	Ответ
	по
п/п Еф.
	6.11	Пользуясь только	2x ln 2

1определением производной, найти f ′(x), если f (x)= 2x .

	6.12	Пользуясь только определением																																					1 log2 e
2		производной, найти f ′(x), если																																						x
		f (x) = log2 x .
	6.15	Для заданной функции																												f '− (−1)= −2 ,									f '+ (−1)= f '− (1)= 0 ,
3		f (x)=							x −1								+				x +1					, x0 = ±1												f '+ (1)= 2
		найти f '− (x0 )																			и f '+ (x0 ).
	6.21	Найти производную функции																																				−2 + 83 x3
4															2						4
		y = 3 − 2x +													3 x								.										(															)
	6.26	Найти производную функции																													2x				3x				4		+8x				2
5																																														− 41
		y =	(		x2						)(				x2				− 4					)(		x2 +9	)	.
							−1
																																										2
	6.32	Найти производную функции
6		y =	2 +								x																											x	(	2		−			x	)	2
				2 −							x			.
	6.36	Найти производную функции																											1										2				−		3
7				4									3
		y =									−									.												x						3 x2						4 x3
				4 x3
											3						x2														1
8	6.40	Найти производную функции																																			sin x +								x cos x
		y =			x sin x .																										2 x								1
	6.51	Найти производную функции
9		y = sin				2					x																												2 sin x
												.
											2																												1
	6.54	Найти производную функции
10		y = cos					2				π					−			x																				2 cos x
																							.
											4								2

140