Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

4.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

11	6.56	Найти производную функции
11		y = x2e−2 x .
	6.57	Найти производную функции
12		y = e		x / 3		cos	2	x		.
		y = e				cos		3		.
								3
	6.63	Найти производную функции
13		y = cos			2				x
						sin					.
						sin					.
									3
	6.68	Найти производную функции
14		y =	e−x2			.
		y =	2x			.
			2x
	6.70	Найти производную функции

15y = 2 sin2 x .

6.71Найти производную функции

16y = 32x .

6.73Найти производную функции

17y = log2 ln 2x .

6.81Используя предварительное логарифмирование, найти

18производную функции

y = (x −3)2 (2x −1). (x +1)3

6.87	Используя предварительное
19	логарифмирование, найти
19	производную функции
	y = x3 x .

6.88Используя предварительное логарифмирование, найти

20производную функции y = (ln x)1/ x .

6.89Используя предварительное логарифмирование, найти

21производную функции

	y = (sin x)arcsin x .

6.94	Вводя промежуточные
22	переменные, вычислить
22	производную функции
	y = (arccos x)2 ln (arccos x).

2xe−2 x (1 − x)

1	e		x / 3					2 x	−sin		2x
					cos
3								3
											3
−		1		cos		x	sin			2sin	x

		3				3
											3

−e−x2 1 + 22x2 2x

2 sin2 x ln 2 cos x sgn (sin x)

32x 2x ln 3 ln 2

xln 2 ln 2x

(x −3)(19x −17)

(x +1)4

x3 x 3 + ln x

6 3 x2

( )1/ x 1 −ln x ln ln x ln x x2 ln x

(sin x)	arcsin x	ln sin x
			+ arcsin x ctgx
		1 − x2	+ arcsin x ctgx
		1 − x2

−arccos x (2ln arccos x +1) 1 − x2

141

ДЗ № 5. Дифференцирование функций

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.

№ № по						Задание
п/п Еф.						Задание
п/п Еф.
6.106	Найти производную функции
1	y =	1		ln	x	3 −	2	.
	y =	2	6	ln	x	3 +	2	.

6.134 Докажите, что производная

2периодической функции есть функция также периодическая.


	6.165	Пусть y = a(x) - функция, обратная
3		заданной y = f (x). Выразить a '(x)
3		через x и a(x), если y = 1 x + x3 .
		через x и a(x), если y = 1 x + x3 .
		2
4	6.184	Найти производную 2-го порядка от
4		функции y = cos2 x .
5	6.185	Найти производную 2-го порядка от
5		функции y = arctgx2 .

6	6.192	Найти yIV (1), если y = x3 ln x .
	6.199	Найти формулу для n-й производной
7		функции y = xm , m N .

8	6.202	Найти формулу для n-й производной
8		функции y = ln x .
		функции y = ln x .

	6.220	Показать, что функция y = e−x cos x

9удовлетворяет дифференциальному уравнению y(IV ) + 4 y = 0 .

6.168	Для функции, заданной параметрически,
10	найти y 'x , если: x = 2t , y = 3t2 −5t ,
	t (−∞;+∞).
6.181	Найти y 'x в указанной точке, если
11	x = t (t cost − 2sin t ), y = t (t sin t + 2cost ),
	x = t (t cost − 2sin t ), y = t (t sin t + 2cost ),

	Ответ
1		,	x	<	2

3x2 − 2					3

1 + 6 a 2 (x )

−2cos 2x

2 −6x4

(1 + x4 )2

( m! ) xm−n , если m − n !

n ≤ m ; 0, если n > m .

(−1)n−1 (nx−n1)!

3t − 52

-1

142

t = π4 .

6.232 Найти производную 2-го порядка

12функции, заданной параметрически:

x= arctgt , y = ln (1 +t2 ), t (−∞;+∞).

6.146	Найти y 'x					для функции, заданной
13	неявно:			x	2		+	y2	=1.
			a		2			b2

6.147	Найти y 'x					для функции, заданной
14	неявно: x4 + y4 = x2 y2 .

6.149	Найти y 'x					для функции, заданной
15	неявно: 2 y ln y = x .


6.153	Найти y 'x					для функции, заданной
16	неявно: x − y = arcsin x −arcsin y .

6.224	Найти производную 2-го порядка от
17	функции, заданной неявно: y =1 + xey .

6.238	Написать уравнение касательной и
18	нормали к графику функции y = f (x) в
	данной точке, если: y = tg2x , x0 = 0 .
6.248	Показать, что касательные к гиперболе
19	y =	x − 4			в точках ее пересечения с
		x − 2

	осями координат параллельны между
	собой.
6.250	Составить уравнение такой нормали к
	параболе y = x2 −6x + 6 , которая

20перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

21	6.256 Найти углы, под которыми пересекаются
	кривые y = sin x и y = cos x , x [0,2π].

2(1 +t2 ) или 2sec2 x ,

x −π , π2 2

− b2 x a2 y

x(y2 − 2x2 )

y(2 y2 − x2 )

2(1 + ln y)

1 − y2			1 −	1 − x2
1 − x2			1 −	1 − y2
e	2 y		2 − xey
	(			y	)	3
		1 − xe

y − 2x = 0 , 2 y + x = 0

4x − 4 y − 21 = 0

arctg2 2

143

ДЗ № 6. Дифференциал. Правило Лопиталя

	№ № по	Задание
	п/п Еф.

	6.288 Найти дифференциал функции при

1произвольном значении аргумента x и при произвольном его приращении

∆x = dx , если sin x − xcos x + 4 .

6.291	Найти дифференциал неявно заданной
2	функции x4 + y4 = x2 y2 .

6.305	Найти дифференциал 2-го порядка
3	функции y =	sin x	.
		x
6.316	Функция f (x)= 5 − x2 имеет на
			x4
	концах отрезка [-1,1] равные значения
	(проверьте!). Ее производная f '(x)

4равна нулю только в двух точках

x= ± 10 (проверьте!), расположенных за пределами этого отрезка. Какова причина нарушения заключения теоремы Ролля?

6.317 Показать, что функция f (x) = x2 −1 на

5отрезке [-1,1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти все стационарные точки этой функции.

6.322 Записав формулу Лагранжа дл

функции f (x) = 3x3 +3x на отрезке

[0,1], найти на интервале (0,1) соответствующее значение ξ .

	6.328 Записав формулу Коши для
7	f (x)= 2x3 +5x +1 и g (x) = x2 + 4 на
	отрезке [0,2], найти значение ξ .

Ответ ln xdx

x(y2 − 2x2 )dx

y(2 y2 − x2 )

(2 − x2 )sin x − 2xcos x

x3 dx2

f(x) разрывна при

x= 0 [−1,1]

ξ =1/ 3

ξ1 =1/ 2 , ξ2 = 5/ 3

144

6.333

Указать тип неопределенности

или

∞

и вычислить lim ln sin ax .

∞

x→0

ln sin bx

6.334

Указать тип неопределенности

или

e2 x −1

∞

и вычислить lim

∞

arcsin 3x

x→0

6.338

Указать тип неопределенности

или

∞

π − 2arctgx

и вычислить lim

∞

x→+∞

e3/ x −1

6.343

Указать тип неопределенности

или

∞

и вычислить lim

x3 − 4x2 +5x − 2

∞

x3 −5x2 + 7x −3

x→1

6.347

Указать тип неопределенности

или

∞

и вычислить lim

cos x ln (x −3)

∞

x→3+0

ln (ex −e3 )

6.354 Указать тип неопределенности 0 ∞

13 или ∞ −∞ и вычислить

lim(ex + e−x − 2)ctgx .

x→0

6.355 Указать тип неопределенности 0 ∞

14									2 1/ x2	.
		или ∞ − ∞ и вычислить lim x e								.
									x→0
	6.358	Указать тип неопределенности 0 ∞
15		или ∞ − ∞ и вычислить
		lim ln x ln				(x −1).
		x→1+0
	6.359	Указать тип неопределенности 0 ∞
16		или ∞ −∞ и вычислить
16				1			x
				1			x
		lim			−				.
		lim			−				.
		x→1+0	ln x				ln x
	6.360	Указать тип неопределенности 0 ∞
17		или ∞ − ∞ и вычислить
17				1		− 1

		lim						.
		lim						.
		x→0 arctgx					x
18	6.361	Указать тип неопределенности 0 ∞
18		или ∞ −∞ и вычислить
		или ∞ −∞ и вычислить

2/3

1/2

cos3

+∞

-1

1/12

145

			1			1
		lim	1		−	1			.
		lim	(1 −	x )	−				.
		x→1 2	(1 −	x )		3(1 − 3 x )
19	6.364	Указать тип неопределенности 00 , ∞0 ,											1
19		1∞ и вычислить lim xsin x .
						x→+0							1
20	6.366	Указать тип неопределенности 00 , ∞0 ,											1
20		1∞ и вычислить				lim		(π − 2x)cos x .
						x→π / 2−0							2
21	6.369	Указать тип неопределенности 00 , ∞0 ,											2
21		∞					x + 2			x	1/ x	.
		1 и вычислить lim					x + 2				)	.
						x→+∞(					)		1
22	6.371	Указать тип неопределенности 00 , ∞0 ,											1
22		1∞ и вычислить				lim		(tgx)2 x−π .
						x→π /2−0
23	6.374	Указать тип неопределенности 00 , ∞0 ,											e−6
23		1∞ и вычислить lim(cos 2x)3 / x2 .
						x→0

ДЗ № 7. Формула Тейлора

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

6.380

Для многочлена

7 +11(x −1) +

+ 4 x2 − x + 3 написать

+10(x −1)2

формулу Тейлора 2-го порядка в

+ 4[1 +θ(x −1)](x −1)3 ;

точке x0

=1 .

0 <θ <1

6.390

Написать первые n членов

формулы Маклорена (без

−

остаточного члена) для функции

−

(5x)3

+..

y = sin

2 .

.. + (−1)

(5x)2n+1

22n+1 (2n +1)!

146

6.388

Написать первые n членов

формулы Маклорена (без

1 −

остаточного члена) для функции

−

+..

y = e

−x

22 2!

23 3!

.. + (−1)n

2n n!

6.392

Написать первые n членов

формулы Маклорена (без

−

1+ 3

остаточного члена) для функции

y = 3 8 + x2 .

−

3! 82

1 3

+..

n−1 1 3 5 8... (3n −4)

x2n

+(−1)

3n n!

6.397а

Вычислить число sin1 с

0,842

точностью до 0,001.

6.397б

Вычислить число

e с

1,648

точностью до 0,001.

6.400б

Используя разложение по

1/2

формуле Маклорена, вычислите

предел lim

1 − cos x

x2 + x3

x→0

147

ДЗ №8. Исследование функций

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

6.404

Найдите интервалы возрастания и

убывания и точки экстремума

,1 ;

функции y = x

1 − x

−∞,

;

ymax

6.411

Найдите интервалы возрастания и

убывания и точки экстремума

; ymin

;

,∞

функции y = xx

6.415

Определите наибольшее М и

0,6; −1

наименьшее m значения функции

y =

x −1

на отрезке [0,4]

x +1

6.418

Определите наибольшее М и

наименьшее m значения функции

y = arctg

1 − x

на отрезке

[

]

0,1

1 + x

6.422

Докажите неравенство

cos x >1 −

, x ≠ 0

6.425

Два тела движутся с постоянными

av1 +bv2

[cек]

скоростями v1 м/с и v2 м/с.

v21 + v2

Движение происходит по двум

6прямым, образующим угол π2 , в

направлении к вершине этого угла, от которой в начале движения первое тело находилось на

148

расстоянии а м, а второе – на

расстоянии b м. Через сколько

секунд после начала движения

расстояние между телами будет

наименьшим?

6.431

Цилиндр вписан в конус с высотой

h и радиусом основания r. Найдите

πh

наибольший объем вписанного

цилиндра.

6.435

На параболе y

найдите точку

1,1

(

)

N, наименее удаленную от прямой

y = 2x − 4 .

6.443

Найдите интервалы выпуклости

∩ (−1,1); (−∞,−1) и (1,∞)

графика функции

M1 (−1, 3 2 ), M1 (1, 3 2 );k1 = k2

y = 3

x +1 − 3

x −1 ,точки перегиба

и угловые коэффициенты k

касательных в точках перегиба.

6.446

Найдите интервалы выпуклости

∩ (−∞,0); (0,∞);

графика функции y = xln

,точки

M (0,0);k = ∞

перегиба и угловые коэффициенты

k касательных в точках перегиба.

6.452

Найдите асимптоты графика

x = 2, y =1

функции y =

−

6.457

Найдите асимптоты графика

y = 0

функции y =

sin x

6.471

Постройте график функции

y =

x2 − 4

6.495

Постройте график функции

y = sin x + cos x .

6.481

Постройте график функции

y = 3 x +1 + 3 x −1 .

6.491

Постройте график функции

y =

x2 − 3

6.498

Постройте график функции

y =

+ arctgx .

6.507

Постройте график функции

149

		y =	(		x2	+1 e−	x2
		y =			x2	+1 e−	2	.
						)
	6.511	Постройте график функции
19		y =		ln x		.
		y =			x	.
20	6.520	Постройте график функции
20		y = xx , x > 0 .
	6.524	Постройте кривую
21		x = tet , y = te−t , t R , заданную
		параметрически.
	6.525	Постройте кривую							Парабола с вершиной в
22		x = t2 − 2t, y = t2 + 2t, t R ,							начале координат, ось
22		заданную параметрически.							которой – прямая
									которой – прямая
									y = x, x > 0, y > 0
									y = x, x > 0, y > 0

	6.527	Постройте кривую							Астроида
23		x = a cos3 t, y = asin3 t, t [0,2π ),
		заданную параметрически.
24	6.529	Постройте кривую ρ = asin 3ϕ ,							Трехлепестковая роза
24		заданную в полярной системе
		координат.
	6.530	Постройте кривую ρ = a(1 + cosϕ),							Кардиоида, полюс – точка
25		заданную в полярной системе							возврата,
		заданную в полярной системе							ρmax = ρ(0)= 2a ,
		координат.							ρmax = ρ(0)= 2a ,
									ρmin = ρ(π )= 0

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR

#
29.05.20151.95 Mб18Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy.pdf
#
29.05.20154.52 Mб26Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29.pdf
#
29.05.20154.89 Mб19Chast_3__Mat_an_2010_23_09.pdf
#
29.05.20151.09 Mб37Chast_5_DifUr.pdf
#
29.05.2015934.06 Кб26Chast_6_FNP.pdf
#
29.05.2015608.76 Кб16Модуль 2_4 Формулы пр.pdf