Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

Итак, если f (x) обладает указанным выше свойством, то формулу Тей-

лора можно использовать для приближенных вычислений с любой наперед заданной точностью.

3.10. Приложения формул Тейлора и Маклорена

1). Вычисление приближенных значений функций по формуле:

f (x)≈ f (x0 )+ f ′1!(x0 )(x − x0 )+... + f (nn) (!x0 )(x − x0 )n .

Погрешность (ошибка) вычисления находится по оценке остаточного члена. Rn+1 (x) ≤ ε , где ε - погрешность.

ПРИМЕР

Вычислите число e с точностью ε =10−3 .

Рассмотрим ex , x =1, x

= 0 .

0

e =1 + 1 +

1

+...

+

1

+ R

(1) ,

R

(1)=

eθ

, 0 <θ <1.

1!

2!

n!

n+1

n+1

(n +1)!

Rn+1 (1)

e

, e < 3

Rn+1

(1)

3

≤ ε .

<

<

(n +1)!

(n +1)!

3

Найдем наименьшее n , удовлетворяющее условию

≤ 0,001: n = 7 .

(n +1)!

e =1+1!1 + 2!1 +... + 6!1 = 2 +0,5 +0,167 +0,042 + 0,008 +0,001 = 2,718 .

2). Вычисление пределов функций.

ПРИМЕР

sin x − x

{x −

x3

+

x5

+...}− x

−

x3

+...

1

3!

5!

3!

lim

= lim

= lim

= −

.

x3

x3

x3

3!

x→0

x→0

x→0

71

III. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Область определения и область изменения функции, четность, нечетность, периодичность, точки разрыва были изучены ранее.

1. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Определение. Если расстояние от точки, лежащей на кривой, до некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

1.1. Вертикальные асимптоты

Прямая x = x0

является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x),

если хотя бы одно из предельных значений

lim f (x) или

lim f

(x) равно

+∞ или −∞ .

x→x0 −0

x→x0 +0

ПРИМЕРЫ

1

1.

График функции y

=

имеет вертикальную

x

1

1

асимптоту x = 0 , поскольку lim

= −∞,

lim

= +∞.

1

x→0−0

x

x→0+0

x

2. Для кривой y =

вертикальными асимптота-

x2 −

1

ми будут прямые x = −1 и x =1.

3.

Функция

y = ln x

определена в

интервале

0 < x < +∞, и для нее

lim ln x = −∞, так что прямая

x→0+0

x = 0 (ось Oy ) является вертикальной асимптотой графика функции y = ln x .

1.2. Горизонтальные асимптоты

Прямая	y = b называется правой горизонтальной асимптотой графика
функции y = f (x), если lim f (x)= b .
	x→+∞
Прямая	y = b называется левой горизонтальной асимптотой графика

функции y = f (x), если lim f (x)= b .

x→−∞

ПРИМЕРЫ

1) Для f (x)= x2 горизонтальных асимптот нет;

72

2) для f (x)= ex существует левая горизонтальная асимптота

y = 0 , т.к. lim f (x)= 0 ;

x→−∞

3) для f (x)= e−x существует правая горизонтальная асимптота

y = 0 , т.к. lim f (x)= 0 ;

x→+∞

4) обе горизонтальных асимптоты существуют и совпадают

	( f (x)=	1	, lim f (x)= lim f (x)= 0 ,
		x
			x→−∞		x→+∞
	y = 0 - уравнение обеих горизонтальных асимптот).
	5) для f (x)= arctgx				существуют, но не совпадают, обе гори-
	зонтальные асимптоты. y = −					π - левая горизонтальная асимпто-
				f (x)= −π	, y = π	2
	та, т.к. lim					- правая горизонтальная асимпто-
	x→−∞			2	2
	та, т.к. lim			f (x)= π .
	x→+∞			2

1.3. Наклонные асимптоты

Прямая y = kx +b называется правой наклонной асимптотой графика

функции y = f (x), если lim	(	f (x)− kx −b		)	= 0.
x→+∞
Существование асимптоты			y = kx +b			у кри-
вой y = f (x) при x → +∞ означает,			что функция			y = f (x)

отличается от линейной функции y = kx +b на бесконечно

малую величину при x → +∞. Геометрически это означает, что на бесконечности график функции неограниченно близко приближается к прямой y = kx +b , не пересекая ее.

Теорема. Для того чтобы график функции y = f (x) при x → +∞ имел наклонную асимптоту y = kx +b , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

	1) lim	f (x)	= k ;
		x
	x→+∞

2) xlim→+∞ f (x)−kx = b .

Аналогично исследуется случай левой наклонной асимптоты ( x → −∞).

73

ПРИМЕР.

Найдите

асимптоты

графика

функции

y = x +arctgx .

lim

x +arctgx

= k+ = lim

x +arctgx

= k− =1,

x→+∞

x

x→−∞

x

b = lim arctgx =

π ,

b

= lim arctgx = −π ,

+

x→+∞

2

−

x→−∞

2

график имеет две несовпадающие наклонные асимптоты:

левую y = x − π

и правую y = x + π .

2

2

x2 + 2x −3

ПРИМЕР. Постройте график функции

y =

без использования произ-

x2

+ x

−2

водной. Преобразуем выражение:

x2 + 2x −3

(x −1)(x +3)

x2 + 2x −3

x +3

( x ≠1),

=

,

=

x2 + x − 2

(x −1)(x + 2)

x2 + x −2

x + 2

x +3

=

1+(x + 2)

=

1

+1

, т.е.,

y =

1

+1, ( x ≠1).

x + 2

x + 2

x

+ 2

x + 2

График этой функции получается смещением графика

y =

1

на две единицы влево, на одну единицу вверх и

x

выкалыванием точки графика с абсциссой x =1.

2.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

2.1. Монотонность функции

Теорема. Пусть функция f (x) в точке x = x0 имеет производную f '(x). Если

f '(x0 )> 0 , то функция f (x) возрастает в точке x0 ; если f '(x0 )< 0 , то f (x) убывает в точке x0 .

Пусть функция f (x) определена на отрезке [a,b].

Если для любых x1, x2 [a,b] из условия x1 < x2 следует неравенство

1)f (x1 )≤ f (x2 ), то функция f (x) - неубывающая на [a,b];

2)f (x1 )< f (x2 ), то функция f (x) - возрастающая на [a,b];

3)f (x1 )≥ f (x2 ), то функция f (x) - невозрастающая на [a,b];

4)f (x1 )> f (x2 ), то функция f (x) - убывающая на [a,b].

Функции всех этих типов носят общее название монотонных; возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Интервалы знакопостоянства производной f '(x) являются интервалами монотонности функции f (x).

74

2.2. Локальный экстремум функции

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 , включая и саму точку x0 .

Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x), если существует такое δ > 0 , что для всех х из интервала (х0 −δ, х0 +δ ) верно неравенство

∆f = f (x)− f (x0 )< 0 ( ∆f = f (x)− f (x0 )> 0 ).

Значение функции f (x) в точке максимума назы-

вается локальным максимумом, а значение функ-

ции в точке минимума - локальным минимумом

данной функции.

Локальные максимум и минимум называются экс-

тремумами.

Термин локальный связан с тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью.

2.3. Необходимые условия экстремума
Теорема. Функция f (x)			может иметь экстремум только в тех точках,			в кото-
рых ее производная f '(x)			либо равна нулю, либо не существует.
Доказательство. Пусть			в точке x0		функция f (x) имеет производную и
f '(x0 ) ≠ 0 . Пусть для определенности					f '(x0 ) > 0 . Тогда функция f (x)	в точке
x0 будет возрастающей. Поэтому найдется такое δ > 0 , что для всех x						из ин-
тервала (x0 −δ, x0 ) верно неравенство					f (x)< f (x0 ),
а для всех	x из интервала (x0 , x0 +δ ) верно нера-
венство f (x) > f (x0 ). (см. рисунок).
Из этого следует, что не существует окрестности
точки x0 , в которой величина				f (x0 )	была бы наи-
большим	или	наименьшим		значением функции
f (x), и поэтому точка x0			не будет ни точкой максимума, ни точкой минимума
функции f (x).
Аналогичными рассуждениями придем к тому
же выводу при f '(x0 )< 0 .
Итак, если в		точке x0	существует производная
f '(x0 ) ≠ 0 , то в точке x0 не может быть ни максиму-
ма, ни минимума функции				f (x).	Следовательно,

75

экстремум функции f (x) может быть только в такой точке, в которой производная f '(x) либо равна нулю, либо не существует, что показано на рисунке. Функция y = f (x) имеет экстремумы в точках x1 , x2 , x3 , x4 ; при этом в точках x1 и x4 производная f '(x) не существует, а в точках x2 и x3 она равна нулю.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для функции f (x), называются критическими точками этой функции. Они определяются

как корни уравнения

f'(x) = 0

икак точки, где f '(x) не существует ( в частности, где f '(x) - бесконечно

большая функция).

Корни уравнения f '(x) = 0 называют стационарными точками функции f (x): скорость изменения f (x) в такой точке равна нулю.

Утверждение, обратное к теореме, неверно: не в каждой своей критической точке функция f (x) обязательно имеет максимум или минимум.

Например, для функции f (x) = x3 f '(0) = 0 , поэтому точка x = 0 является критической для данной функции. Но функция f (x) = x3 в точке x = 0 экстремума

не имеет: f (0) = 0 , для x < 0				f (x)< 0 , для x > 0
f (x)> 0 , так что в точке x = 0 данная функция воз-
растает.
	1
xsin				, x ≠ 0,
Для функции f (x) =	x			в точке x = 0
0, x = 0
производная не существует, однако экстремум от-
сутствует.
2.4. Достаточные условия экстремума
Теорема. Пусть x = x0 есть критическая точка для функции f (x),									то есть либо
f '(x0 )= 0 либо f '(x0 )	не существует, но сама функция							f (x) непрерывна в
точке x0 .
Пусть существует такое δ > 0 , что для всех x из интервала (x0 −δ, x0 ) про-
изводная f '(x)> 0 , а для всех x из интервала (x0 , x0 +δ )								имеем	f '(x)< 0 , то
есть при переходе x через точку x0 производная f '(x)							меняет знак с плюса на
минус. Тогда в точке x0	функция f (x)				имеет максимум.
Доказательство. Так как по условию					f '(x)> 0	в интервале (x0 −δ, x0 ), то на
отрезке [x0 −δ, x0 ] функция				f (x) возрастает;		так как	f '(x)< 0		в интервале

76

(x0 , x0 +δ ), то на отрезке [x0 , x0 +δ]		функция f (x)
убывает. Следовательно, f (x0 ) есть наибольшее зна-
чение функции	f (x) в окрестности (x0 −δ, x0 +δ )
точки x0 , а это означает, что f (x0 )		есть локальный
максимум функции f (x).
Теорема. Пусть	x = x0 есть критическая точка для
функции f (x),	то есть либо f '(x0 ) = 0 либо f '(x0 )			не существует, но сама
функция f (x) непрерывна в точке x0 .					(x0 −δ, x0 )
Пусть существует такое δ > 0 ,		что для всех	x	из интервала
производная f '(x)< 0 , а для всех x		из интервала	(x0 , x0 +δ ) имеем		f '(x)> 0 ,
то есть при переходе x через точку x0 производная			f '(x) меняет знак с минуса
на плюс. Тогда в точке x0 функция f (x) имеет минимум.

2.5. Правило отыскания экстремумов функции

Чтобы найти точки максимума и минимума функции f (x), надо:

1)найти производную f '(x), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение f '(x)= 0;

2)найти точки, в которых производная f '(x) не существует;

(эти точки и корни уравнения	f '(x)= 0 будут критическими точками
для функции f (x));	f '(x) слева и справа от каждой критиче-
3) исследовать знак производной
ской точки.		производная f '(x) ме-
Если при переходе x через критическую точку x0
няет знак с плюса на минус, то в точке x0 функция f (x)		имеет максимум; если
знак f '(x) меняется с минуса на плюс, то в точке x0 функция			f (x) имеет ми-
нимум. Если при переходе x через критическую точку x0 знак			f '(x) не меня-

ется, в точке x0 функция f (x) не имеет ни максимума, ни минимума.

f ′(x0 − ∆x)	f ′ (x0 )			f ′(x0 + ∆x)	Экстремум
> 0	0, ±∞,			> 0	нет
> 0	0, ±∞,			< 0	max
< 0	0, ±∞,			> 0	min
< 0	0, ±∞,			< 0	нет

77

3.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

3.1. Исследование функций на максимум и минимум с помощью второй производной

Теорема. Пусть в точке				x0	функция f (x)		имеет первую и вторую производ-
ные, причем f '(x0 ) = 0 ,				а	f ''(x0 ) ≠ 0 . Тогда в точке x0 данная функция						f (x)
имеет максимум, если f ''(x0 )< 0 , и минимум, если f ''(x0 ) > 0 .
Доказательство. Точка x0					является критической точкой для данной функции
f (x), так как f '(x0 ) = 0 . Пусть f ''(x0 )< 0 . Из этого следует, что в точке x0
первая	производная		f '(x)		убывает, то есть существует				такая	окрестность
(x0 −δ, x0 +δ ) точки			f (x), что для всех x из интервала (x0						−δ, x0 )	верно нера-
венство	f '(x)> f '(x0 ) = 0 , а для					всех	x из	интервала	(x0 , x0 +δ )		верно
f '(x)< f '(x0 ) = 0 .		Таким образом,				при переходе		x через критическую точку
f (x) производная		f '(x) меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно,
функция f (x) в точке f (x) имеет максимум.

Подобными же рассуждениями доказывается, что если в критической точке
f (x)	вторая производная f ''(x0 ) > 0 , то функция f (x) в точке x0 имеет мини-
мум.
				Экстремум
		f ′ (x0 )	f ′′(x0 )
		0	< 0	max
		0	> 0	min

3.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой

Пусть кривая задана уравнением y = f (x) и пусть функция f (x) в точке М0 (x0 , f (x0 )) имеет

конечную производную			f '(x0 ),	то	есть в	точке
М0 (x0 , f (x0 ))	существует касательная к данной кри-
вой, не параллельная оси Oy .
Определение.	Если	существует		такая окрестность
(x0 −δ, x0 +δ )	точки	М0	(x0 , f (x0 )),		что все	точки

данной кривой, абсциссы которых содержатся в этой окрестности, расположены выше касательной к кривой в точке M0 , то говорят, что выпуклость данной

кривой в точке M0 направлена вниз (см. рисунок)

78

Если все точки кривой с абсциссами из некоторой окрестности точки x0 находятся ниже касательной к этой кривой в точке M0 , то говорят, что выпуклость данной кривой в данной точке направлена вверх.

Определение. Будем говорить, что график функции y = f (x), дифференцируемой в окрестности точки M0 (x0 , f (x0 )), имеет на этом интервале выпуклость,

направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала (a,b) лежит не выше ( не ниже) любой своей касательной.

О графике, выпуклом вверх, часто говорят как о просто выпуклом, график, выпуклый вниз, называется вогнутым.

Теорема. Если во всех точках интервала (a;b) функция f (x) имеет отрицательную вторую производную f ''(x)< 0 , то график функции в этом интервале

выпуклый вверх. Если f ''(x) > 0 - график выпуклый вниз.

Определение. Точка М0 (x0 , f (x0 )) называется точкой перегиба кривой y = f (x), если: 1) в точке x0 существует касательная;

2) существует такая окрестность (x0 −δ, x0 +δ ) точ-

ки х0 , что для x < x0 из этой окрестности выпук-
лость кривой направлена в одну сторону, а при
x > x0 - в противоположную (см. рисунок).
Теорема. Точка М0 (x0 , f (x0 )) может быть точкой перегиба кривой			y = f (x)
только если f ''(x0 ) = 0 (или f ''(x0 ) не существует).			f (x) = x4
Это условие не является достаточным. Так, например, для функции
имеем	f ''(x) =12x2 и f ''(0) = 0 , но точка O(0,0) не является точкой перегиба
кривой	y = x4 : в этой точке выпуклость кривой на-
правлена вниз.
Теорема. Пусть функция f (x) имеет вторую про-
изводную в некоторой окрестности точки x0 , не-
прерывную в точке x0 . Если f ''(x0 ) = 0 и при пере-
ходе x	через точку x0 вторая производная f ''(x)
меняет знак, то точка М0 (x0 , f (x0 ))		есть точка пе-
региба кривой y = f (x).		имеет в точке М0 (x0 , f (x0 )) касательную,
Обобщение. Пусть кривая y = f (x)

хотя бы и параллельную оси Oy . Пусть функция f (x) в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 , имеет непрерывную вторую производную. Если f ''(x) в точке x0 равна нулю или не существует и при перехо-

79

де через точку x0 производная			f ''(x) меняет свой знак, то точка М0 (x0 , f (x0 ))
является точкой перегиба кривой y = f (x).
	f ′′(x0 − ∆x)	f (x)	f ′′(x0 )	f ′′(x0 +	f (x)	Пере
						гиб
	> 0	вып.	0,	> 0	вып.	нет
		вниз	не сущ.		вниз
	> 0	вып.	0,	< 0	вып.	есть
		вниз	не сущ.		вверх
	< 0	вып.	0,	> 0	вып.	есть
		вверх	не сущ.		вниз
	< 0	вып.	0,	< 0	вып.	нет
		вверх	не сущ.		вверх

3.3.Общая схема исследования функции и построения графика

1.Найти: область определения функции; область значений функции; точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.

2.Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.

3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и

ееодносторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.

4.Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.

5.Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

6.Построить график.

80