Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

	Р(х) называется	_____
4. Отрицанием предиката		предикат Р(х), имеющий
значение 1 при тех значениях	x M , при которых	Р(х) имеет значение 0 и
имеющий значение 0 при тех значениях x M ,		при которых Р(х) имеет

значение 1.

Для описания субъекта используются кванторы существования и всеобщности. С помощью кванторов описывается область изменения свобод-

ных переменных, входящих в предикат.	.	Выражение
Квантор существования обозначается символом
х М Р(х) читается как «существует x M , для которого Р(х) истинно».
Квантор всеобщности обозначается символом . Выражение		х М Р(х)
читается как «для любого x M Р(х) истинно».

Для двухместных предикатов возможны следующие высказывания:

х у Р(х, у), х у Р(х, у), х у Р(х, у), х у Р(х, у).

При записи сложного высказывания предикат обычно заключают в скобки. Иногда поле действия кванторов отделяют от предиката двоеточием.

ПРИМЕРЫ

1. x(х >1 x > 0). Истинное высказывание. Вариант записи

x : х >1 x > 0 . Читается «для любого х из неравенства x >1 следует x > 0 . 2. x(х R x Z ). Ложное высказывание. Варианты записи

1) x : х R x Z ; 2) х R (x Z ). Читается « любое х одновременно принадлежит множеству R и множеству Z».

3. x(х R x Z ). Истинное высказывание. Варианты записи

1) x : х R x Z ; 2) х R (x Z ). Читается « существует х, одновременно

принадлежащее множеству R и множеству Z» или «существует х принадлежащее множеству R, такое, что х принадлежит и множеству Z».

4.x y (y > x). Истинное высказывание. Вариант записи x y : y > x . Читается « для любого х существует у, такое, что у > x ».

5.х y((x + y <1) (xy <1)). Истинное высказывание. Вариант записи

x y : (х+ y <1) (xy <1).Читается « существуют х и у, такие, что одновременно выполнены неравенства х+ у <1 и ху<1 ».

Отрицания сложных высказываний, записанных с помощью кванторов, строятся по следующим правилам:

_____________	_____	_____________	_____
x Х Р(х)≡х Х Р(х),		x Х Р(х)≡ х Х Р(х).

ПРИМЕРЫ

11

______________

1. Отрицанием высказывания x(х >1 x > 0) будет x(х >1 x > 0).

		_____
С учётом равносильностей x y ≡ х y и х у ≡ х у эту формулу можно
	______________	______________	x ≤ 0).
записать так: x(х >1 x > 0)≡x(х≤1 x > 0)≡ x(х >1
2. Отрицанием высказывания		x y(y > x) будет высказывание
_____________	_______
x y(y > x)≡ х у(y > x)≡ х у(y ≤ x).

1.2. Множества и операции над множествами

Под множеством понимают совокупность элементов, объединённых общим свойством. Элементы множества обозначаются малыми буквами a1,a2 ,... ,

b1,b2 ,... , а сами множества большими буквами А, В... . Если х есть элемент

множества Х, то отношение принадлежности элемента множеству обозначается символом , т.е. х Х . Если х не принадлежит множеству Х, то это записывается в виде x X . Множества А и В равны, т.е. А= В, если они состоят из одних и тех же элементов, и А≠ В в противном случае. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В и множества А и В связаны отношением включения, которое обозначается символом , т.е. А В. Если при этом А≠ В, то А называется собственным подмножеством и в этом случае для отношения включения используется символ , т.е. записываем А В. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Задать множество можно непосредственным перечислением его элементов, т.е. А={а1,а2 ,...}или путём описания общего свойства, которым обладают эле-

менты некоторого основного множества U , т.е. А={x U |α (x)}, где α (х) есть описание свойства. Например, А={x R| x > 2} задаёт множество дейст-

вительных чисел, которые больше двух. Вместо вертикальной черты свойст-
воα (х) иногда отделяют двоеточием, т.е. записывают в виде А=	{		}
		x U :α (x) .
Над множествами определены следующие операции:
1). Объединением множеств А и В называется множество
Ŕ B ={x| x A čëč x B}.
Иногда для операции объединения вместо символа используют знак			+ и

саму операцию называют сложением множеств, т.е. вместо А B записывают А+ B . Такая запись более наглядна и удобна для описания свойств операций и сложных операций.

	Операция объединения обладает следующими свойствами:
1.	А B = B A, (A + B = B + A)
2.	А A = A
3.	А = A

12

4.Если A U , то А U =U

5.А A B

6. А (B C)=(A B) C, (A +(B +C)= (A + B)+C )

Видно, что свойства 1 и 6 совпадают со свойствами коммутативности и ассоциативности операции сложения.

2). Пересечением множеств А и В называется множество

А∩B ={x| x A и x B}.

Операцию пересечения иногда записывают без использования символа ∩ в виде произведения АВ, и саму операцию называют произведением множеств А

иВ.

Операция пересечения обладает следующими свойствами:

1. А∩B = B ∩ A, (AB = BA)

2.А∩ A = A

3.А∩ =

4.Если A U , то А∩U = А

5.A ∩B А

6. А∩(B ∩C ) = (A ∩B)∩C, (A(BC ) = (AB)C )

Операция пересечения дистрибутивна относительно операции объединения, т.е. 7. А∩(B C ) = (A ∩B) (А∩C ), (A(B +C ) = АВ+ АC ).

3). Разностью множеств А и В называется множество

А\ B ={x| x A и x B}.

Разность А\ B записывают также в виде А− B . Операция разности имеет следующие свойства:

1.А\ (B C ) = (A\ B)∩(А\ C )

2.А\ (B ∩C ) = (A\ B) (А\ C )

Если А U , то разность U \ А называется дополнением множества А до множества U и обозначается А. Операция дополнения рефлексивна, т.е.

___

(

)= А. Если А U и В U , то операция дополнения имеет следующие свой-

А

ства:

______

______

1.

А В =

∩

,

или

(А+ В)=

А

В

АВ

______

_____

2.

А∩В

=

,

или

(АВ)=

+

.

А

В

А

В

Свойства 1 и 2 называются законами двойственности.

13

1.3.Числовые множества. Верхние и нижние грани

1.Множество натуральных чисел N. Множество натуральных чисел образуют числа 1,2,3,… .

2.Множество целых чисел Z. Множество целых чисел образуют числа

0,±1,±2,... .

3. Множество рациональных чисел Q. Множество рациональных чисел

образуют числа x = m , m Z , n Z,			n ≠ 0 .
		n
4.	Множество	действительных	чисел	R	. Действительным числом
называется бесконечная десятичная дробь.					Множество	рациональных
чисел	является	подмножеством	множества		R ,	образованным
периодическими десятичными дробями.
5.	Множество иррациональных чисел I. Действительные числа, которые не

являются рациональными, называются иррациональными. Множество иррациональных чисел обозначается I.

Далее будут использоваться следующие подмножества множества действительных чисел:

1). Интервал (a,b)={x R|a < x < b}. Если одно или оба значения a и b бесконечны, то получаем следующие интервалы: (a,+∞), (−∞,b), (−∞,+∞).

2). Сегмент

[

a,b

]

=

{

}

x R|a ≤ x ≤ b .

}

(

]

{

}

3). Полуинтервалы

[

a,b

)

=

{

х R|a

a,b

=

≤ x < b ,

х R|a < x ≤ b . Частные

случаи: [a,+∞), (−∞,b].

4). ε -окрестность точки х0 : О(х0 ;ε )={х| x0 −ε < x < x0 +ε}.

Пусть

Х R .

Множество Х называется

ограниченным сверху,

если

существует

такое

действительное

число

М R ,

что для любого

х Х

выполняется неравенство х≤ М . Наименьшее из всех чисел М (конечных или

бесконечных), ограничивающих множество			Х сверху называется точной
верхней гранью множества Х и обозначается sup{ő} или sup X .
			x X
Аналогично определяется точная нижняя грань для множества, ограни-
ченного	снизу: если	m R , и для любого	х Х выполняется	неравенство
x ≥ m , то множество		Х называется ограниченным снизу. Наибольшее из всех
чисел	m называется	точной нижней гранью и обозначается		inf {х} или
				x X

inf X .

1.4. Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу n по определенному закону поставлено в соответствие некоторое число xn , то множество {xn} ={x1, x2 , x3 ,....xn ,...}

14

нумерованных чисел	x1, x2 , x3 ,.... называется числовой последовательностью.
Элементы этого множества xn называются членами последовательности.
Если заданы две последовательности {xn}, {yn}, то последовательности
{x1 + y1, x2 + y2 ,...} и	{x1 − y1, x2 − y2 ,...} называются суммой и разностью этих

последовательностей соответственно,	последовательность								{x1 y1, x2 y2 ,...} назы-
вается произведением, а последовательность			x1		,	x2	,...	-	частным этих после-
		y1				y2
довательностей. Частное определено,	если yn ≠ 0					n =1,2,... . Кроме того, опре-

делена операция умножения последовательности на число λ R , при которой все члены последовательности умножаются на это число: {λx1,λx2 ,...}. Заме-

тим, что членами последовательности могут быть не только действительные, но и комплексные числа.

Так как последовательности являются числовыми множествами, то они могут быть ограниченными сверху, снизу и просто ограниченными.

Определение. Последовательность {xn}называется неограниченной сверху

(снизу), если для любого сколь угодно большого М (малого m) найдётся такой

номер n, что xn ≥ М

(хn ≤ m).

С помощью логической символики эти определения можно записать так:

1) M > 0 n (xn ≥ M )

2) m < 0 n (xn ≤ m)

ПРИМЕРЫ

{

)

}

{

}

1 ,

{ } {

}

(

−1 n

=

−1,1,

−1,1,...

; n −1 =

0,

2

,...

;

n = 1,2,3,... .

n

2

3

Последовательность {xn}={−n}={−1,−2,−3,... − n,...} - неограниченная снизу

и ограниченная сверху, поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству xn ≤ −1.

Последовательность {xn}={n2}={1,4,9,16,.....}				- неограниченная сверху и ог-
раниченная снизу, т.к. x = n2 ≥1 .
n
Последовательность {x	}= 1		ограничена. Для любого n N 0 < 1		≤1, т.е.
n				n
	n

M =1, m = 0 .

15

1.5. Свойства ограниченных последовательностей

Сумма, разность и произведение двух ограниченных последовательностей дают ограниченную последовательность.

Частное двух ограниченных последовательностей может быть как ограниченной, так и неограниченной последовательностью.

Если xn =

1

, а

yn =

1

, то

xn

= {n} – неограниченная последовательность,

n

n2

yn

тогда как

y

n

1

– последовательность ограниченная.

=

xn

n

1.6. Предел числовой последовательности

Конечное число a называется пределом числовой последовательности

{xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N (ε ) (вообще говоря, зависящее от ε ), что при всех n > N выполняется неравенство xn −a < ε .

lim x = a ε > 0 N (ε ) n > N (ε ) :		x − a		<ε .
n→∞ n		n

Последовательность {xn} сходится к a , если общий член последовательно-

сти xn → a стремится к a , т.е., начиная с некоторого номера, все члены по-

n→∞

следовательности попадают в сколь угодно малую ε -окрестность числа a .

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.

ПРИМЕРЫ.	n −1			, lim xn	= lim	n −1		−	1	=1.
	Дано: {xn}=	n				n	= lim 1
				n→∞	n→∞		n→∞		n

Докажем по определению, что lim n −1 =1.

n→∞ n

Доказательство.

ε > 0,

n −1

−1 <ε 1 −

1

− 1 <ε;

1 <ε,

n > 1 .

n

n

n

ε

В качестве N (ε ) выберем

N (ε )

1

1

=

ε

+1, где

ε

- символ целой части числа,

n −1

тогда неравенство

−1

< ε будет выполнено, если n > N (ε), что и требо-

валось доказать.

n

16

Геометрическая интерпретация:
												0								1		2			3			4					5		1
																			2
													x1										3			4			5				6
При этом −ε < xn −1 < ε ,																			x			x3			x4			x5					x6
																			2
1 − ε			<		x n	< ε + 1 . Если
ε =	1	,	N		1	= 3; n > 3		xn −1		<	1	, если		ε =	1	,		1	= 6;			n > 6										xn −1				<	1	.
																	N
	2				2						2				5			5																			5

Последовательность {(−1)n} не имеет предела, так как нельзя указать но-

мер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа.

Последовательности, не имеющие предела, называются расходящимися.

1.7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для лю-

бого положительного числа M можно указать такое натуральное число N (зависящее от M ), что при всех n > N выполняется неравенство xn > M .

M > 0 N (M ) n > N (M ) : xn > M .

Бесконечно большая последовательность является неограниченной последовательностью. Обратное утверждение неверно. Например, неограниченная последовательность 0, 4, 0, 8, 0, 12,…не является бесконечно большой, т.к. не все члены последовательности после некоторого n становятся больше произвольного M.

Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого

сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N (зависящее от ε ), что при всех n > N (ε) выполняется неравенство xn < ε .

lim xn = 0 ε > 0 N (ε ) n > N (ε ): xn < ε .

n→∞

1.8. Свойства бесконечно малых последовательностей

1.Бесконечно малая последовательность ограничена.

2.Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей дает бесконечно малую последовательность.

3.Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

17

4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

5. Если элементы бесконечно малой последовательности {xn} не равны нулю,

1

то последовательность будет бесконечно большой.

xn

6. Если {xn} бесконечно большая последовательность и xn ≠ 0 , то последова-

1

тельность – бесконечно малая.

xn

ПРИМЕРЫ бесконечно малых последовательностей:

1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия xn = qn при |q| <1является бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого ε > 0 из неравенства qn < ε следует, что при n > log q ε неравенство выполняется, начиная с номера

N (ε )= loqq ε +1 .

2.Последовательность sin n – бесконечно малая, т.к. ее элементы являются

n

произведением элементов ограниченной последовательности {sin n} и бесконеч-

но малой последовательности			1	.
		n
3. Последовательность	n +1			– бесконечно				малая, т.к. является суммой
n3
бесконечно малых последовательностей					1		и		1	.
				n2				n3

4.Последовательность e−n – бесконечно малая, т.к. является произведением

n

двух бесконечно малых последовательностей {e−n} и 1 .

⎩n

ПРИМЕР. При каких значениях α последовательности {nα} являются бесконечно большими или бесконечно малыми?

1). Последовательности {nα} при α >0 являются бесконечно большими, так как для любого M >0, если n > α M , выполняется неравенство nα > M ;

18

2). Последовательности {nα} при α <0 являются бесконечно малыми, так как

1

1

1

неравенство | nα|< ε ,

< ε , начинает выполняться, если

n

α

>

,

n >

, с

n

α

ε

1

−

1

ε

α

номера

N (ε ) = ε

α

+1.

ВЫВОД. Последовательности {nα} при α >0 являются бесконечно большими, а при α <0 - бесконечно малыми последовательностями.

1.9. Свойства сходящихся последовательностей

1. Элементы сходящейся последовательности имеют вид: xn = a +αn ,

где a = lim x ,

{α

n

} – бесконечно малая последовательность, limα

n

= 0 .

n→∞ n

n→∞

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

Допустим, что последовательность {xn}

имеет два раз-

ных предела: a = lim x

n

и b = lim x , a ≠ b . Пусть число r такое,

что a < r < b .

n→∞

n→∞

n

Тогда, по определению,

для ε > 0 N1

n > N1 :

xn − a

<

r − a

или xn < r , и

одновременно

ε > 0 N2

n > N2

xn −b

<

b − r

или

xn > r .Выберем

N = N (ε)= max{N1 ,N2 }

и n ≥ N : тогда

должно одновременно

выполняться

xn < r и xn > r , что невозможно, значит, a = b .

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

πn

Обратное утверждение неверно, например, последовательность {xn } = sin

2

является ограниченной, но предела не имеет.

4. Сумма, разность, произведение и также частное (при условии,		что
n yn ≠ 0 и lim yn ≠0) двух сходящихся последовательностей	{xn} и	{yn}
n→∞

есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных последовательностей.

Доказательство (сумма). Пусть

{xn}

и {yn}

– сходящиеся последователь-

ности, lim x

= a , lim y

n

= b . Тогда x

n

= a +α

n

,

y

n

= b + β

n

,

где {α

n

} и

{β

n

} –

n→∞ n

n→∞

бесконечно малые последовательности, и xn + yn = a +b +αn + βn , т.е. последовательность {xn + yn − a −b} – бесконечно малая, и поэтому {xn + yn} сходится и имеет своим пределом a +b .

19

6. Пусть {xn} и {zn}

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами.

5. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ b ( xn ≥ b ), то и предел этой по-

следовательности lim xn = a удовлетворяет неравенству a ≤ b ( a ≥ b ).

n→∞

Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn , то их пределы

удовлетворяют такому же неравенству: lim xn ≤ lim yn .

n→∞ n→∞

Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на отрезке [a,b], то и ее предел также находится на этом отрезке.

– сходящиеся последовательности и lim xn = lim zn = a .

n→∞ n→∞

Пусть, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn} удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn . Тогда последовательность {yn} сходится,

и lim yn = a .

n→∞

7.Последовательность {xn1 , xn2 ,…, xnk ,…}, извлечённая из элементов данной

{x1, x1,…, xn ,…} с сохранением порядка, называется её

подпоследовательностью.

Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

1.10. Монотонные последовательности

Последовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей),

если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров n справедливо неравенство xn ≤ xn+1 ( xn ≥ xn+1 ).

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Если вместо нестрогих неравенств xn ≥ xn+1 и xn ≤ xn+1 имеют место строгие неравенства xn < xn+1 или xn > xn+1 , то последовательности называются возрас-

тающей и убывающей соответственно.

20