Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_3__Mat_an_2010_23_09

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение arccos(−0.51).

7. Найти предел lim (sin(sin x))x .

x→0+0

	8.	Написать уравнение касательной к кривой y =	x +1		в точке x = 0 .
			x2 +1
						1
	9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y =					в точке
						sin x

x = π2 .

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y =

3 x

.

x −1

3

Вариант 21

1.

Найти производную функций:

tg (x

2 )+ x

−x

x2

а)

y = sin(cos x); б) y =2

+xe

; в) y =

;

x +1

г)

y = 3 ln x + 1 .

1

x

x

в точке x=1.

2.

Найти производную функции

y = arcsin

′

2

3.

Найти производную

x =1, если

y (x) в точке

t +1

x =

t2 +1 .

y = tgt +t

4.

Найти y(35)(x), если

y(x)= sin2 x .

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

201

arccos(x + y)+ xy ++11 = 2 .

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

15.95 .

1

7. Найти предел lim (tgx +ctgx)x .

x→0+0

8. Написать уравнение касательной к кривой y = x2 + 1x в точке x =1.

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = xsin2 +x1 в точке

x = 0 .

10. По графику функции

		2
		1
−3 − 2	−1	0	1	2	3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 x3 −1 .

			Вариант 22
1. Найти производную функций:				y = arcsin(x +1)
а)	y = cos2 (sin x); б) y =2xsinx ; в)								;
	1						3	x +1
г)			.
	y =
		ln (ln x )		y = x3x в точке x=1.
2. Найти производную функции
			′		x = 0 , если
3. Найти производную y (x) в точке
				x =t −			1
							t
					πt	2		.
			y =tg					+t
					4

202

	4. Найти	y (40 )(x), если	y (x)=			1		.
				1		+ tg2	(2x)

5. Найти дифференциал неявно заданной функции y(x): ctg (x + 2 y)− 2xy =1.

6. С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

1 .

16.05

	7.	Найти предел lim	(	x + x2	)	sin 1x	.
		x→+∞
							1			3
	8.	Написать уравнение касательной к кривой y = sin							в точке x =		.
										π
							x
	9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции							y = ex +e−2 x в
	точке x = 0 .
	10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 1−3 x2 .

Вариант 23

1.

Найти производную функций:

2

1

x

cos

x

2

(

2 )

а)

y = tg(

sin x ); б) y =3

x

;

в) y =

;

x +1

г) y = 3 x ln (x 2 + 1).

y = (x +1)sin (x2 )

2.

Найти производную функции

в точке x=0.

3.

Найти производную

′

x =1, если

y (x) в точке

2

x = t

−lnt

1

+1

.

y =

t

4.

Найти

y(45)(x), если

y(x)=

x

.

x +1

203

5.Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

x− y ln(x + y)=1.

6.С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение tg 2 (46D ).

			1	π	−x
7.	Найти предел lim			4		.
	x→π −0		1−arctgx
	4
8.	Написать уравнение касательной к кривой y = arctg2 x в точке x = −1.

9. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = ex1+1 в точке

x = 0 .

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 x2 − x .

Вариант 24

1.

Найти производную функций:

1

1

+tgx ; в)

y = x + x2 +1

а)

y =

; б) y =5x

;

x

cos x

ln

sin x

г)

y = arcsin

x 3 1 + x .

2.

Найти производную функции

π

x=0.

y = arctg (x +1)ctg x+

4 в точке

3.

′

Найти производную y

(x) в точке x = 0 , если

x = sht +sin t

.

y = cht +t

204

4.	Найти y(45)(x), если			y(x)=			1+2x	.
							x +2
5.	Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):
							ex+y +1 +2xy =1.
6.	С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение
arccos2 (0.1).
7.	Найти предел lim	(	x +ex		)	x2 .
	x→+∞
8.	Написать уравнение касательной к кривой y = 1								в точке x = 0 .
								x2 +1	y = tg2 x в точке
9.	Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

x = π4 .

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции

						Вариант 25
	1.	Найти производную функций:
	а)	y =		x		; б) y =6sin2 x ; в) y = arccos(arcsin x)		;
			ln x +1
	г)	y =		tg x		.
				x + 1
	2.						π	в точке x=0.
		Найти производную функции y = (cos x)arctg x+					4
	3.					′
		Найти производную y (x) в точке x = −1, если

3	x2
y =	.
	x +1

205

x =

t −1

−t

t +1

.

πt

y = 3

ctg

4

4. Найти y(50 )(x), если

y

(x

) =

1

.

1

+ c t g 2 x

5.

Найти дифференциал неявно заданной функции y(x):

2x2 +y2 −sin(xy)= x .

6.

С помощью первого дифференциала вычислить приближённо значение

ln2 (1.05).

7.

Найти предел lim

sin

(

x2

1−cos x .

x→0 (

))

1

x = π .

8.

Написать уравнение касательной к кривой y =

в точке

arctgx

4

1

9.

Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции y = 4

x

в точке

x =1.

10. По графику функции

2

1

−3 − 2

−1

0

1

2

3

построить график производной.

11. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 x2 −3 x .

206

7. ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что

lim x = A,

определив для ε > 0 натуральное число N = N (ε) , такое, что

n→∞

n

для любого натурального n > N справедливо неравенство

xn − A

< ε , если

x =

2n2

−1

, A =

2

, ε =10

−3

.

n

3n2

+1

3

Ответ: n > 23 .

2.

Найдите предел функции: lim

ln cos 6x

.

x→π ln cos 4x

Ответ

9

.

4

x+2

x ≤ −2 будет непрерывной в

3.

При каком значении a функция y = 3

,

a − x2 ,

x > −2,

точке x = −2 ? Постройте ее график. Ответ: 5.

4.Найдите точки разрыва функции y = arcsinsin 2xx и установите их характер. В

точке устранимого разрыва определите функцию так, чтобы она была непрерывна в точке разрыва.

Ответ: y (0)= 12 .

5.Исследуйте на непрерывность и постройте

x

схематически график функции y = e6−2 x . Ответ:

207

8. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Арифметическая прогрессия { an } – числовая последовательность

a1 , a2 , … ,an , … , n N такая, чтоn >1, an = an−1 + d

( d – разность).
an	=	an−1 + an+1			(n >1).
		2				2a1	+d (n −1)
Sn	=	a + a	n	n	=			n .
		1
		2					2

{xn} – последовательность xn.

Геометрическая прогрессия { bn } –

числовая последовательность b1 , b2 , … , bn , …, n N такая, что b1 ≠ 0

и n >1,			bn = bn−1 q
	( q – знаменатель).
b2	= b	b	(n >1).
n	n−1	n+1

Sn = bn qq−−1b1 , q ≠1.

	S = lim S	n	=		b1	, если 0 <		q		<1.
				1 − q
	n→∞

xn = f (n) - формула общего члена последовательности.

a = lim xn - предел последовательности {xn}.

n→∞

Если {xn} бесконечно малая последовательность, то lim xn = 0 .

n→∞

Если lim xn = a , то xn = a +αn , где {αn} – бесконечно малая последовательность.

n→∞

Если lim xn = a и lim xn = b , то:
		n→∞						n→∞
lim(xn + yn ) = lim xn + lim yn										= a + b ;
n→∞			n→∞						n→∞
lim(xn − yn ) = lim xn − lim yn										= a −b ;
n→∞			n→∞						n→∞
lim(xn yn ) = (lim xn ) (lim yn ) = a b ;
n→∞			n→∞						n→∞
	xn		(lim x	n	)			a	, если yn ≠ 0, b ≠ 0 ;
lim		=	n→∞				=
			(lim yn )
n→∞ yn								b
			n→∞
lim(xn + b) = lim xn								+ b = a + b ;
n→∞			n→∞
lim(C xn ) = C lim xn = C a .
n→∞					n→∞

Если для любого n	xn ≤ b ,	то lim xn		≤ b .
			n→∞
Если для любого n	xn ≥ b ,	то lim xn		≥ b .
			n→∞
Если для любого n	xn ≤ yn	≤ zx	и lim xn =
			n→∞

lim zn = a , то lim yn = a .

n→∞ n→∞

Бесконечно малая последовательность ограничена.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

208

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Если элементы бесконечно малой последовательности {xn } не равны нулю, то

последовательность

1

будет бесконечно большой.

Если {xn }

xn

– бесконечно большая последовательность и

xn ≠ 0 ,

то

последовательность

1

– бесконечно малая.

xn

1

n

,

e ≈ 2,7182 .

e = lim 1 +

n

n→∞

n!=1 2 3 ... n ,

формула Стирлинга: n!~

n n

2πn

.

e

Неравенство Бернулли:

(1 +α)n

≥ 1 + nα,

α > −1,

n N .

Формула бинома Ньютона

n(n −1)(n −2)

(a +b)

n

= anb0 + nan−1b1 +

n(n −1)

an−2b2 +

an−3b3 +....

2!

3!

... +

n(n −1)(n −2)...(n −(n −1))

a0bn .

n

n!

1

1

1

2

1

1

1

+

=1+Cn

+Cn

+...

+

=

n

n

n

2

n

n

=1+n

1

+

n(n −1)

1

+

n(n −1)(n −2)

1

+... +

n(n −1)(n −2)...(n −(n −1))

1

.

n

2

3

n

2

n

3!

n

n!

n

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число

A

называется

пределом функции y = f (x)

в

точке

a ,

если

для любой

последовательности {xn}

такой,

что xn D(

f ),

xn ≠ a,

lim xn = a , выполняется

n→∞

равенство lim f

(xn )= A , которое обозначают: lim f (x)= A .

n→∞

x→a

Определение предела по Коши (на языке ε

- δ ).

Число A называется пределом функции y = f (x) в

точке a , если

ε > 0 δ

(ε )> 0 x : 0 <

x − a

<δ (ε ) .

f (x)− A

< ε

209

Понятие

Обозначение

Определение

Предел функции

lim f

(

x

)

= A

ε >

0

δ

(

ε

)

>

<

x

−

a

≤δ

f (x)

−

A

<ε

f (x) в точке x = a

x→a

0 x : 0

«Обращение

lim f (x)= +∞

δ

(M )

>

<

x

−

a

≤δ

f

(x)

>

M

функции f (x)в

x→a

M

0 x : 0

бесконечность» в

lim f

(x)= −∞

M δ (M )>0 x : 0 <

x −a

≤δ f (x)< M

точке x = a

x→a

lim f

(

x

)

= ∞

δ

(M )

>

<

x

−

a

≤δ

f (x)

>

M

x→a

M

0 x : 0

Предел функции

lim f

(x)= A

ε > 0

M (ε )

x : x ≥ M

f (x)− A

<ε

f (x) при x → +∞,

x→+∞

соответственно

lim

f

(

x

)

= A

ε > 0

M (ε )

x : x ≤ M

f (x)− A

<ε

x→−∞

x → −∞

«Обращение

lim f

(x)= +∞

M x0 (M )

x :

x ≥ x0 f (x)> M

функции f (x)

x→+∞

lim f

(x)= −∞

M x0 (M )

x :

x ≥ x0 f (x)< M

в бесконечность»

x→+∞

при x → +∞,

lim f

(x)= +∞

M x0 (M )

x :

x ≤ x0 f (x)> M

соответственно

x→−∞

x → −∞

lim f

(x)= −∞

M x0 (M )

x :

x ≤ x0 f (x)< M

x→−∞

lim f

(x)= ∞

M x0 (M )

x :

x ≥ x0

f (x)

> M

x→+∞

lim f

(x)= ∞

M x0 (M )

x :

x ≤ x0

f (x)

> M

x→−∞

Пределы справа и

lim

f

(x)= A

ε > 0 δ (ε )> 0 x : 0 < x − a <δ

f (x)− A

< ε

слева

x→a+0

lim

f

(x)= A

ε > 0 δ (ε )> 0 x : 0 < a − x <δ

f (x)− A

< ε

x→a−0

«Обращение

lim

f

(x)= +∞

M δ (M )> 0 x : 0 < x − a <δ f (x)> M

функции f (x) в

x→a+0

lim

f

(x)= +∞

M δ (M )> 0 x : 0 < a − x <δ f (x)> M

бесконечность»

x→a−0

справа и слева в

lim

f

(x)= −∞

M δ (M )> 0 x : 0 < x − a <δ f (x)< M

точке x = a

x→a+0

lim

f

(x)= −∞

M δ (M )> 0 x : 0 < a − x <δ f (x)< M

x→a−0

lim

f

(x)= ∞

M δ (M )> 0 x : 0 < x − a <δ

f (x)

> M

x→a+0

lim

f

(x)= ∞

M δ (M )> 0 x : 0 < a − x <δ

f (x)

> M

x→a−0

210