Оптимальная фильтрация случайного сигнала

В задачах восстановления переданного сигнала неизвестной формы полезный сигнал считается случайным, некоторые статистические характеристики сигнала и помехи предполагаются известными.

Линейный оптимальный фильтр, выделяющий полезный сигнал x(t) из принятого сигнала z(t) = x(t) + n(t) по критерию минимума дисперсии D_e сигнала ошибки фильтра e(t) = x(t) – x*(t), называют фильтром Колмогорова – Винера ( x*(t) – выходной сигнал фильтра, n(t) – помеха). Сигналы x(t) и n(t) с известными спектрами мощности P_x(ω) и P_n(ω) предполагаются гауссовыми, независимыми друг с друга.

Определение частотной характеристики оптимального фильтра

Спектр мощности сигнала ошибки

Значение P_e(ω) минимально при условии, что φ(ω) = 0, cos φ(ω) = 1:

Функция A(ω), минимизирующая P_e(ω) на всех частотах, находится из условия

откуда

Усиление фильтра надо уменьшать на тех частотах, где мощность помехи велика по сравнению с мощностью полезного сигнала.

Определение импульсной характеристики оптимального фильтра

,

Как и в задаче идентификации объекта, дисперсия D_e минимальна, если значения h_i – решения системы

Выделение полезного сигнала с использованием модели источника сигнала

При построении ряда алгоритмов оптимальной фильтрации предполагается, что случайный сигнал источника x(t) – это результат прохождения случайного сигнала v(t) типа белого шума через линейный формирующий фильтр источника (ФФИ). Оптимальный фильтр приемника (ОФ) формирует копию x*(t) переданного сигнала x(t) с помощью формирующего фильтра приемника (ФФП), идентичного ФФИ. Математическая модель ФФИ предполагается известной. Она составляется на основе априорной информации о спектральных и корреляционных характеристиках сигнала x(t) и может корректироваться в процессе работы системы.

Чтобы сигнал x*(t) копировал сигнал x(t), состояние ФФП должно следить за состоянием ФФИ. Максимально возможная точность слежения обеспечивается соответствующим выбором оператора «усиления» К, формирующего сигнал U(t) возбуждения ФФП. С повышением уровня сигнала U(t) уменьшается длительность переходного процесса сигнала ошибки e(t), но увеличивается шумовая составляющая сигнала x*(t). Оптимальный оператор К обычно рассчитывается по критерию минимума среднего квадрата ошибки e(t). Выбор временного интервала усреднения и весовых коэффициентов, с которыми суммируются квадраты ошибок, текущих и предыдущих, зависит от конкретной задачи.

При вычислениях используются рекуррентные алгоритмы определения текущих значений переменных состояния и оператора усиления.

Рассмотренный фильтр называют фильтром Калмана. В отличие от фильтра Колмогорова – Винера, он применим при нестационарных сигналах. При стационарных сигналах фильтры Калмана и Винера дают одинаковые результаты.

Аналоговые фильтры

Линейные фильтры применяются на разных этапах формирования сигналов для прогнозирования последующих значений сигнала, выделения полезной составляющей сигнала и определения его параметров, выравнивания характеристик канала и т.д. Наиболее часто применяются фильтры, пропускающие сигнал только в определенной полосе частот.

Вид частотной характеристики фильтра зависит от корней многочленов в числителе («нулей») и знаменателе («полюсов») передаточной функции фильтра, порядок фильтра определяется числом полюсов. Меняя значения корней, можно получить фильтры различных типов, оптимизирующие отдельные параметры частотной характеристики. Фильтр Баттерворта имеет максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания. У фильтра Чебышева и эллиптического фильтра минимальна ширина зоны между полосами пропускания и задерживания, но есть пульсации АЧХ в этих полосах. Фильтр Бесселя имеет наиболее линейную ФЧХ.

Аналоговые фильтры выполняются на RLC-цепочках, полосковых линиях, операционных усилителях с RC-цепочками.

Примеры фильтров порядка 2:

Параметры фильтра низкой частоты:

– граница полосы пропускания ω_р ,

– граница полосы задерживания ω_s,

– допустимая неравномерность в полосе пропускания R_p,

– минимально необходимое затухание в полосе задерживания R_s.