Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (сигнал типа «меандр»)

Рассматриваемая функция четная, комплексные амплитуды С_n действительные.

Если изменить начало отсчета времени, комплексный спектр изменится, при этом спектр амплитуд C_n сохранится, а спектр фаз изменится.

При  = T/2 в спектре присутствуют только нечетные гармоники:

:

Спектр непериодического сигнала конечной длительности

Спектр периодической последовательности импульсов:

При Т спектральные линии сливаются, и спектр становится сплошным, форма огибающей сохраняется, линейчатый спектр заменяется непрерывной комплексной спектральной функцией S().

Преобразование Фурье:

прямое –обратное

Вид функции S(ω) и огибающей C_n одинаков, они отличаются множителем.

N гармоник в интервале Δf можно заменить одним гармоническим сигналом

с амплитудой

S(ω) – отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала, заменяющего все спектральные составляющие в малом частотном интервале Δf, к длине интервала Δf, или плотность амплитуд, спектральная плотность, спектральная функция, спектр сигнала s(t). Размерность [А/Гц] или [А с].

Непериодический сигнал имеет конечную энергию, поэтому его называют «энергетическим». Энергия сигнала (P = U²/R, E = Pt, R = 1)

Физический смысл функции  S() ² - спектральная плотность энергии.

Спектральные функции видеоимпульсов

τ_э – эффективная длительность: интервал времени, в котором сосредоточено 90% энергии сигнала,

F_э – эффективная ширина спектра,

F_э τ_э – база сигнала.

Динамические характеристики линейного элемента

Элемент линейный, если его реакция на сумму сигналов равна сумме отдельных реакций на эти сигналы (справедлив принцип суперпозиции), а изменение масштаба входной величины не изменяет форму выходного сигнала.

Импульсная характеристика h(t) – реакция элемента на δ-импульс

(функцию Дирака) с бесконечно малой длительностью, бесконечно большой амплитудой и единичной площадью.

Переходная характеристика – реакция на ступенчатое воздействие

Гармонический сигнал, проходя через линейный элемент, сохраняет свою частоту и форму, но может изменять амплитуду и фазу (искажение линейное).

Амплитудно-частотная характеристика А() = А_вых /А_вх – зависимость, от частоты, отношения амплитуды установившихся колебаний выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала.

Фазочастотная характеристика () – зависимость, от частоты, фазового сдвига установившегося выходного гармонического сигнала относительно входного гармонического сигнала.

Комплексный коэффициент передачи элемента (амплитудно-фазовая частотная характеристика)

Спектр выходного сигнала элемента равен спектру входного сигнала, умноженному на комплексный коэффициент передачи

Определение реакции элемента на входной сигнал

Входной сигнал x(t) представим суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов малой длительности dτ.

В момент t реакция на выделенный импульс пропорциональна площади импульса и равна x(t–τ)h(τ)dτ, или, при другом выборе переменной τ, x(τ)h(t–τ)dτ.

Суммируя реакции на все импульсы, составляющие сигнал x(t), и переходя от суммирования к интегрированию при dτ→0, получим выходной сигнал

Реакция не может опережать воздействие. При t < 0 h(t) = 0, поэтому интегрировать можно в пределах от –∞ до +∞.

Интеграл

называют сверткой функций x(t) и h(t), интегралом Дюамеля, интегралом наложения. Выходной сигнал y(t) линейного элемента – это свертка входного сигнала x(t) и импульсной характеристики h(t).