Автокорреляционная функция

(длительность сигнала конечна) –

мера сходства сигнала x(t) со своей копией, сдвинутой на время τ

Функция R_x(τ) четная , физический смысл R_x(0) – энергия сигнала.

Интервал корреляции – нормированнаяR_x(τ)

Автокорреляционная функция прямоугольного импульса:

Шире спектр сигнала – уже автокорреляционная функция.

Спектральная плотность энергии E(ω) и автокорреляционная функция R(τ) связаны между собой преобразованием Фурье:

Для периодического сигнала

Функция взаимной корреляции R_xy(τ) – мера сходства сигналов x(t) и y(t)

Функция взаимной корреляции прямоугольного и треугольного импульсов:

Основные характеристики случайных величин

Функция распределения F(x) = P(X < x) – вероятность того, что значение случайной величины Х меньше х.

Плотность вероятности p(x) = dF(x)/dx, p(x)dx = P(x < X <x+dx) – вероятность попадания случайной величины в интервал dx в окрестности значения х.

Математическое ожидание – оценка среднего значения непрерывной и дискретной величины:

Дисперсия D и среднеквадратичное отклонение (СКО) σ:

Характеристики случайных сигналов (процессов)

Математическая модель случайного сигнала – cлучайная функция.

Выборочная функция – конкретная реализация случайной функции.

Ансамбль – воображаемое множество выборочных функций, полученных от бесконечного множества одинаковых систем на одном и том же интервале времени.

Сечение случайной функции – значения всех выборочных функций ансамбля в некоторый момент времени.

Сечение случайного процесса характеризуется случайными величинами: средним значением, дисперсией и т.д., которые могут быть функциями времени.

Случайный процесс, статистические характеристики которого не зависят от времени, называется стационарным.

Случайный процесс, статистические характеристики которого одинаковы при усреднении по ансамблю и по одной реализации случайного процесса на бесконечном интервале времени, называется эргодическим.

Амплитудный состав случайного сигнала, порожденного эргодическим процессом, описывается функцией распределения вероятностей случайной величины, частотный состав – корреляционной функцией или спектральной плотностью мощности.

Примеры плотностей распределения вероятностей

Равномерное распределение

p(x) = 1/(x₂–x₁).

Распределение Пуассона

Это вероятность появления m событий за время τ при появлении в среднем λ событий в единицу времени.

Гауссово (нормальное) распределение

Наиболее часто используется для описания «аддитивных» случайных помех.

Распределение случайной величины – суммы взаимно независимых случайных величин с любым распределением вероятностей, при увеличении числа слагаемых стремится к нормальному распределению.

Распределение Релея

Характеризует амплитуду узкополосного колебания со случайной медленно меняющейся амплитудой и фазой.

Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности

случайного сигнала

Центрированная случайная функция – разность случайной функции и ее математического ожидания (среднего значения).

Автокорреляционные функции:

детерминированного сигнала конечной длительности,

периодического сигнала,

случайного сигнала

вычисляют для центрированных случайных функций. Аналогичные функции, вычисленные для не центрированных функций, называются ковариационными

(в иностранной литературе – наоборот)

Спектральный состав случайного сигнала описывают спектральной плотностью мощности Р(ω). Средняя мощность реализации случайного процесса

Согласно теореме Винера – Хинчина (1934 г)

Функции R(τ), Р(ω) четные, поэтому